1625915088-e8ebe38cf39945169f45febc4019083c (842791), страница 4
Текст из файла (страница 4)
(3; -2; -4; 0; -4; 2; 1; 0; 0; 0)Вариант 6. (1; 2; 0; 0; 4; 6; 6; 2; 3)Вариант 7. (1; -1; 2; 0; 3; 6; 5; 3; 2)Вариант 8. (3; -4; 1; 2; 2; -6; 5; 3; -4)Вариант 9. (-2; 2; 4; -2; 7; -3; 0; 2; 0; -1)Вариант 10. (-1; 3; 1; 0; -3; 8; -3; 2)Вариант 11. (0; 0; 0; 0; 1; 5; 4; 2; 1; 3)Вариант 12. (1; -2; 0; 0; -4; 6; -6; -2; 3)Вариант 13. (1; 2; 8; 8; 4; 1; 1; 2; 3)Вариант 14. (5; -2; -3; 0; 4; 0; 5; 2)Вариант 15. (4; 0; 4; 0; 2; 2; 2)10.4.
Пассажир маршрутного такси измерил 8 раз время ожидания такси и получил следующие результаты (в минутах): 8; 4; 5; 4; 2; 15; 1; 6. У него есть две гипотезы относительно графика движения такси: либо график движения соблюдается, и время ожиданияимеет равномерное распределение на отрезке [0; θ], либо график движения не соблюдается,и время ожидания имеет показательное распределение с параметром λ.а) Вычислить реализации оценок параметров θ и λ, использовав оценки θe = (n + 1)X(n) /ne = n−1 .иλnXб) Построить на одном графике реализацию эмпирической функции распределения итеоретические функции распределения равномерного и показательного законов, в которыевместо неизвестных параметров подставлены реализации их оценок.в) Построить на одном графике реализацию гистограммы и теоретические плотностираспределения равномерного и показательного законов, в которые вместо неизвестных параметров подставлены реализации их оценок.г) На основании проведенного исследования сделать вывод о том, какая из гипотез выглядит более соответствующей экспериментальным данным.10.5.
Пусть выборка из нормального распределения с параметрами a, σ 2 . ВычислитьEX, DX. Какое распределение имеет случайная величина X?10.6. Найти математическое ожидание и дисперсию эмпирической функции распределения в точке t, если элементы выборки объема n имеют функцию распределения F (t).10.7.
По выборке (X1 , . . . , Xn ) из бернуллиевского распределения Bp с неизвестным параметром p ∈ (0; 1) построить оценки параметра p:11a) по первому моменту;б) по второму моменту;в) по произвольному k-му моменту.Можно ли отдать предпочтение какой-либо из построенных оценок? Исследовать их состоятельность и несмещенность.10.8. По выборке (X1 , . .
. , Xn ) из биномиального распределения Bm,p построить оценкиметодом моментов:a) параметра p по первому и по второму моменту при известном m > 0;б) параметров p и m.Исследовать состоятельность построенных оценок.10.9. Методом моментов найти оценку параметра α > 0 по выборке из показательногораспределения с плотностью fα (t) = αe−αt , t > 0. Будет ли оценка несмещенной и состоятельной?10.10. Используя метод моментов, построить бесконечную последовательность различныхоценок параметра θ равномерного распределения на отрезке [0; θ]. Будут ли полученныеоценки состоятельными?10.11.
Найти оценки параметра по первому и второму моменту.Вариант 1. Случайные величины принимают значения 0, 1, 2 с вероятностямиP{X = 0} = (1 − p)2 , P{X = 1} = 2p(1 − p), P{X = 2} = p2 .Вариант 2. Плотность распределения равна 2x −x2 /θeпри x > 0;θf (x) =0 при x ≤ 0.Вариант 3. Плотность распределения равна 3x23e−x /θ при x > 0;θf (x) =0 при x ≤ 0.Вариант 4. Плотность распределения равна 1 −√x/θ√ eпри x > 0;2θ xf (x) =0 при x ≤ 0.Вариант 5. Случайные величины принимают значения 1, 2, 3 с вероятностямиP{X = 1} = p2 , P{X = 2} = 2p(1 − p), P{X = 3} = (1 − p)2 .Вариант 6. Плотность распределения равна 3√x√−x x/θeпри x > 0;2θf (x) =0 при x ≤ 0.Вариант 7. Плотность распределения равна 1 −(θ+1)/θxпри x > 1;θf (x) =0 при x ≤ 1.Вариант 8.
Плотность распределения равна(θ − 1)x−θ при x > 1;f (x) =0 при x ≤ 1.Вариант 9. Плотность распределения равна x −x/θeпри x > 0;θ2f (x) =0 при x ≤ 0.12Вариант 10. Плотность распределения равна x2e−x/θ при x > 0;2θ3f (x) =0 при x ≤ 0.Вариант 11. Случайные величины принимают значения 0, 1, 2, 3 с вероятностямиP{X = 0} = (1 − p)3 , P{X = 1} = 3p(1 − p)2 ,P{X = 2} = 3p2 (1 − p), P{X = 3} = p3 .Вариант 12. Плотность распределения равна 2 −x2 /θ√ eпри x > 0;πθf (x) =0 при x ≤ 0.Вариант 13. Плотность распределения равна 4x34e−x /θ при x > 0;θf (x) =0 при x ≤ 0.Вариант 14. Плотность распределения равна 2 −2x/θeпри x > 0;θf (x) =0 при x ≤ 0.Вариант 15.
Случайные величины принимают значения 2, 3, 4 с вероятностямиP{X = 2} = p2 , P{X = 3} = 2p(1 − p), P{X = 4} = (1 − p)2 .10.12. Пусть дана выборка из нормального распределения с параметрами α и σ 2 . Используя метод моментов, построить оценки:а) неизвестного математического ожидания α;б) неизвестной дисперсии σ 2 , если α известно;в) неизвестной дисперсии σ 2 , если α неизвестно.Исследовать полученные оценки на несмещенность и состоятельность.11.1.
По выборке (X1 , . . . , Xn ) из бернуллиевского распределения Bp с неизвестным параметром p ∈ (0; 1) построить оценку параметра p методом максимального правдоподобия.(Указание: показать, что вероятность попадания в точку t для элементов выборки равнаf (t, p) = pt (1 − p)1−t , где t может принимать только два значения — 0 и 1). Исследоватьсостоятельность и несмещенность полученной оценки.11.2. По выборке из показательного распределения Eα построить оценку максимальногоправдоподобия параметра α > 0. Исследовать состоятельность оценки.11.3. Найти оценку максимального правдоподобия. Проверить ее состоятельность.Вариант 1. Плотность распределения равна 3x23e−x /θ при x > 0;θf (x) =0 при x ≤ 0.Вариант 2.
Случайные величины принимают значения 0, 1, 2 с вероятностямиP{X = 0} = (1 − p)2 , P{X = 1} = 2p(1 − p), P{X = 2} = p2 .Вариант 3. Плотность распределения равна 2x −x2 /θeпри x > 0;θf (x) =0 при x ≤ 0.Вариант 4. Плотность распределения равна 3√x√−x x/θeпри x > 0;2θf (x) =0 при x ≤ 0.13Вариант 5. Плотность распределения равна 1 −√x/θ√ eпри x > 0;2θ xf (x) =0 при x ≤ 0.Вариант 6. Случайные величины принимают значения 1, 2, 3 с вероятностямиP{X = 1} = p2 , P{X = 2} = 2p(1 − p), P{X = 3} = (1 − p)2 .Вариант 7. Плотность распределения равна x −x/θeпри x > 0;θ2f (x) =0 при x ≤ 0.Вариант 8. Плотность распределения равна 1 −(θ+1)/θxпри x > 1;θf (x) =0 при x ≤ 1.Вариант 9.
Плотность распределения равна(θ − 1)x−θ при x > 1;f (x) =0 при x ≤ 1.Вариант 10. Плотность распределения равна 2 −x2 /θ√ eпри x > 0;πθf (x) =0 при x ≤ 0.Вариант 11. Плотность распределения равна x2e−x/θ при x > 0;2θ3f (x) =0 при x ≤ 0.Вариант 12. Случайные величины принимают значения 0, 1, 2, 3 с вероятностямиP{X = 0} = (1 − p)3 , P{X = 1} = 3p(1 − p)2 ,P{X = 2} = 3p2 (1 − p), P{X = 3} = p3 .Вариант 13. Случайные величины принимают значения 2, 3, 4 с вероятностямиP{X = 2} = p2 , P{X = 3} = 2p(1 − p), P{X = 4} = (1 − p)2 .Вариант 14. Плотность распределения равна 4x34e−x /θ при x > 0;θf (x) =0 при x ≤ 0.Вариант 15. Плотность распределения равна 2 −2x/θeпри x > 0;θf (x) =0 при x ≤ 0.11.4.
Построить оценку максимального правдоподобия по выборке из распределения Парето с плотностью θ, t ≥ 1;tθ+1fθ (t) =0,t < 1.Доказать состоятельность полученной оценки.11.5. Дана выборка из распределения с плотностью θ−te , t ≥ θ;fθ (t) =0,t < θ.Найти оценку для θ:а) методом моментов; б) методом максимального правдоподобия.14Будут ли полученные оценки состоятельными? Вычислить смещения оценок и получитьисправленные несмещенные оценки.11.6. Пусть дана выборка из нормального распределения с параметрами α и σ 2 . Используяметод максимального правдоподобия, построить оценки:а) неизвестного математического ожидания α;б) неизвестной дисперсии σ 2 , если α известно;в) неизвестной дисперсии σ 2 , если α неизвестно.Исследовать полученные оценки на несмещенность и состоятельность.11.7.
По выборке из равномерного распределения на отрезке [a, b] построить оценки параметров a и b методом максимального правдоподобия.12.1. Пусть Yi = Xi + θ + εi , i = 1, . . . , n. Здесь Xi , θ ∈ R. Найти оценку для θ по методунаименьших квадратов.
Найти оценку дисперсии регрессионных ошибок σ 2 .12.2. Для регрессионной модели Yi = a + bXi + εi , i = 1, . . . , n, найти оценки параметровa, b по методу наименьших квадратов. Найти ковариационную матрицу оценок. Найтиоценку дисперсии регрессионных ошибок σ 2 .12.3. По реализации двумерной выборки X1 = 1, Y1 = 0, X2 = 2, Y2 = 2, 5, X3 = 3,Y3 = 0, 5, найти реализации оценок параметров модели из предыдущей задачи. Вычислитьреализацию коэффициента детерминации.12.4.
Пусть Yi = θXi + εi , i = 1, . . . , n. Здесь Xi , θ ∈ R. Найти оценку для θ по методунаименьших квадратов. Найти оценку дисперсии регрессионных ошибок σ 2 .12.5. Концентрация лекарства Y > 0 в крови пациента обратно пропорциональна массетела X > 0. Найти оценку коэффициента пропорциональности θ для следующих моделей:1) Yi = θ/Xi + εi , i = 1, . . .
, n;2) ln Yi = ln(θ/Xi ) + εi , i = 1, . . . , n.Найти дисперсию оценки в первой модели и дисперсию логарифма оценки во второймодели.12.6. Найти выражения для оценок параметров регрессии2πin+1Yi = a + b i −+ εi , i = 1, . . . , n.+ c sin2n12.7. Для данной реализации Y~ = (Y1 , .
. . , Yn ) рассмотреть трендовые трехпараметрические модели:a) модель с синусоидальным трендом2πj2πjYj = a0 + a1 cos+ b1 sin+ εj ;nnб) модель с квадратическим трендомYj = a + bj + cj 2 + εj .Оценки параметров найти по методу наименьших квадратов.Для каждой из моделей вычислить долю объясненной дисперсии.Выбрать ту модель, для которой доля объясненной дисперсии является наибольшей. Построить график выбранной линии регрессии.Вариант 1. -1,8 -6,4 -13,3 -22,2Вариант 2. 0,6 3,1 3,6 1,6Вариант 3. 4,8 3,1 0,1 -4,6Вариант 4. -2,0 0,0 2,8 2,5Вариант 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
