1625915088-e8ebe38cf39945169f45febc4019083c (842791), страница 2
Текст из файла (страница 2)
. , n.Найти вероятность того, что:а) произойдет ровно одно из Ai ;б) не произойдет ни одно из Ai ;в) произойдет хотя бы одно из Ai .3.3. Производят 3 независимых случайных перестановки букв Вашей фамилии. Вычислить вероятность того, что:а) хотя бы раз получилась Ваша фамилия;б) каждый раз получалась Ваша фамилия.Сравнить вероятности, найденные в пунктах (а) и (б).3.4. Пусть событие A не зависит от самого себя. Доказать, что тогда P (A) равна 0 или 1.3.5. В шар радиуса R наудачу бросаются n точек.
Найти вероятность того, что расстояниеот центра шара до ближайшей точки будет не меньше a, 0 < a < R.3.6. Стрелок A поражает мишень с вероятностью 0,6, стрелок B — с вероятностью 0,5,стрелок C — с вероятностью 0,4. Стрелки дали залп по мишени. Какова вероятность, чторовно две пули попали в цель?3.7. Что вероятнее, выиграть у равносильного противника 3 партии из 4 или 5 партий из8? Ничьих нет.3.8. Двое играют в игру, поочередно бросая монету. Выигравшим считается тот, кто первым получит герб. Найти вероятность того, что игра закончится на k-м бросании. Каковавероятность выигрыша для игрока, начинающего игру?3.9.
10 любителей подледного лова рыбы независимо друг от друга произвольным образомразмещаются на льду озера, имеющего форму круга радиуса 1 км. Какова вероятность того,что не менее 5 рыбаков расположатся на расстоянии более 200 м от берега?3.10. Найти вероятность того, что в n испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успехаp появятся m + l успехов, причем l успехов появятся в последних l испытаниях.3.11. Шахматисты A и B решили сыграть между собой матч. Известно, что A выигрываеткаждую партию у B с вероятностью 2/3, и с вероятностью 1/3 проигрывает. В связи с этимдля победы в матче игроку A нужно набрать 4 очка, а игроку B для победы достаточнонабрать 2 очка (за выигрыш в партии дается очко, за проигрыш — 0 очков, ничьих нет).Равны ли шансы на успех?3.12.
Найти вероятность того, что k-й по порядку успех в серии последовательных испытаний Бернулли произойдет на l-м испытании.3.13. Найти вероятность того, что при 12 подбрасываниях игральной кости 6 раз выпадетчетное число и 6 раз единица.3.14. В круг вписан квадрат. Найти вероятность того, что из 10 точек, брошенных наудачув круг, четыре попадут в квадрат, три — в нижний сегмент, и по одной — в оставшиеся трисегмента.4.1. Стрелок A поражает мишень с вероятностью 0,6, стрелок B — с вероятностью 0,5,стрелок C — с вероятностью 0,4.
Стрелки дали залп по мишени. Известно, что две пули изтрех попали в цель. Какова вероятность того, что промахнулся C?4.2. Наудачу выбирают число первых букв от 2 до m из Вашей фамилии (здесь m — общеечисло букв в фамилии) и осуществляют их случайную перестановку. Найти вероятность5того, что в результате получится Ваша фамилия.
Найти вероятность того, что выбрали двепервых буквы, если известно, что Ваша фамилия получилась.4.3. Из n экзаменационных билетов студент знает m, поэтому, если он зайдет первым наэкзамен, то с вероятностью m/n он вытащит «хороший» билет. Какова вероятность вытащить «хороший» билет, если студент зайдет на экзамен вторым?4.4. Допустим, что вероятность попадания в цель при одном выстреле равна p, а вероятность поражения цели при k попаданиях равна 1 − q k . Какова вероятность того, что цельпоражена, если было произведено n выстрелов?4.5. В продажу поступают телевизоры трех заводов. Продукция первого завода содержит5% телевизоров со скрытым дефектом, второго — 3%, и третьего — 1%.
Какова вероятностьприобрести исправный телевизор, если в магазин поступило 20% телевизоров с первогозавода, 30% — со второго и 50% — с третьего?4.6. По каналу связи может быть передана одна из трех последовательностей букв: AAAA,BBBB, CCCC, причем делается это с вероятностями 0,3, 0,4 и 0,3 соответственно.
Известно,что действие шумов на приемное устройство уменьшает вероятность правильного приемакаждой из переданных букв до 0,6, а вероятность приема каждой переданной буквы за дведругие равны 0,2 и 0,2. Предполагается, что буквы искажаются независимо друг от друга.Найти вероятность того, что была передана последовательность AAAA, если на приемномустройстве получено ABCA.4.7. Предположим, что 5% всех мужчин и 0.25% всех женщин — дальтоники. Наугад выбранное лицо страдает дальтонизмом.
Какова вероятность того, что это мужчина? Считать,что мужчин и женщин одинаковое число.4.8. Из урны, содержащей 3 белых и 2 черных шара, переложены 2 вытянутых наудачушара в урну, содержащую 4 белых и 4 черных шара. Затем из второй урны вынут шар.Найти вероятность того, что он белый.k4.9.
Некоторое насекомое с вероятностью λk! e−λ откладывает k яиц, где k = 0, 1, 2, . . ., ачисло λ положительно. Вероятность развития потомка из яйца равна p. Какова вероятностьтого, что у насекомого будет ровно m потомков?4.10. В условиях предыдущей задачи у насекомого развилось 10 потомков. Какова вероятность того, что при этом было отложено 20 яиц?5.1. Игрок выигрывает очко, если при подбрасывании монеты выпадает герб, и проигрывает очко в противном случае. Построить график функции распределения суммарноговыигрыша игрока после двух бросаний монеты.5.2.
Построить график функции распределения числа подбрасываний симметричной монеты, производимых до выпадения первого герба включительно.5.3. Выразить через функцию распределения случайной величины X вероятности следующих событий: P{a < X < b}, P{a ≤ X < b}, P{a < X ≤ b}, P{a ≤ X ≤ b}.5.4. Могут ли функции(а) f (y) = 12 e−|y| , (б) f (y) = e−y , (в) f (y) = cos y, (г) f (y) ≡ 1быть плотностями распределения?5.5.
Плотность распределения случайной величины X задается формулойCy 2 , y ∈ [0, 1],f (y) =0,y 6∈ [0, 1].Найти C и функцию распределения случайной величины X.5.6. На отрезок длины l произвольным образом бросают две точки. Найти функцию распределения расстояния между ними.5.7. Вычислить функцию гамма-распределения Γα,λ в случае, когда λ = n — целое число.5.8.
В круг радиуса R наугад бросают точку. Найти:(а) функцию распределения и плотность распределения расстояния этой точки до центракруга;6(б) совместную функцию распределения полярных координат точки.5.9. Точку бросают наудачу в треугольник с вершинами, координаты которых равны(0; 0), (2N – 15; 0), (0; 15 – 2N).
Здесь N — номер студента по списку группы. Найтифункцию распределения и плотность распределения для каждой из декартовых координатточки.5.10. Дискретное совместное распределение случайного вектора (X, Y ) задается таблицей:X \Y-11-1 010,2 0,1 0,00,4 0,0 0,3Найти (а) одномерные распределения X и Y ; (б) закон распределения X + Y ; (в) законраспределения Z = Y 2 .5.11. Какова вероятность того, что значение случайной величины окажется целым, еслиизвестно, что она имеет нормальное распределение?5.12.
Случайные величины X, Y , Z независимы и имеют распределение Бернулли с параметром 1/2. Найти совместное распределение их суммы и произведения.5.13. n точек независимо друг от друга бросаются на отрезок [0; a]. Найти функциираспределения и плотности распределения случайных величин (а) Y1 (крайняя слева точка),(б) Yn (крайняя справа точка), (в) Yk (k-я по счету слева точка, k = 1, ..., n).6.1. Случайная величина X имеет равномерное распределение на [0; π]. Найти функциюраспределения и плотность случайной величины Y = sin X.6.2. Случайная величина X имеет равномерное распределение на [−π/2; π/2]. Найтифункцию распределения и плотность случайной величины Y = tg X.6.3. Плотность распределения случайной величины X задается формулой θ−1θt , t ∈ [0, 1],f (t) =0,t 6∈ [0, 1].Найти плотность распределения случайной величины Y = − ln X.6.4. Случайные величины X и Y независимы и имеют одно и то же дискретное распределение P{X = yk } = P{Y = yk } = pk , k ≥ 1.
Найти P{X = Y }.6.5. Случайные величины X и Y независимы и распределены равномерно на [0; 1]. Найтиплотность распределения случайной величины X − Y .6.6. Вычислить по формуле свертки плотность распределения суммы независимых случайных величин X и Y , имеющих показательное распределение с параметром 1.6.7. Случайная величина X имеет стандартное нормальное распределение. Найти функции распределения и плотности случайных величин (а) Y1 = X 2 , (в) Y2 = sin X.6.8. В условиях предыдущей задачи найти функцию распределения случайной величиныmax(0, X).6.9.
Случайная величина X имеет равномерное распределение на [0; 1]. Найти функциюраспределения и плотность случайной величины Y .Вариант 1. Y = (1 − X)−1 .Вариант 2. Y = 2/X.Вариант 3. Y = X 2 /2.Вариант 4. Y = 2 ln(1 − X).Вариант 5. Y = 2−X .Вариант 6. Y = 2X −2 .Вариант 7. Y = arcsin X.Вариант 8. Y = −1/X.Вариант 9. Y = (1 − X)−2 .Вариант 10. Y = −3/X.7Вариант 11. Y = 3/X 3 .Вариант 12. Y = −2 ln X.Вариант 13. Y = arctg X.Вариант 14.
Y = 2X−1 .Вариант 15. Y = −2/X 2 .6.10. X и Y независимы, причем P{X = 0} = P{X = 1} = 1/2, а P{Y < t} = t, 0 < t < 1.Найти функции распределения случайных величин X + Y и XY .6.11. Случайная величина X имеет показательное распределение с параметром α. Найтираспределения случайных величин (а)√ Y1 = [X] (целая часть X), (б) Y2 = X − [X], (в)Y3 = X 2 , (г) Y4 = α−1 ln X, (д) Y5 = X.6.12. Случайная величина X имеет плотность распределения f (t) = (π(1 + t2 ))−1 , t ∈ R.Найти функцию и плотность распределения случайной величины Y = arctg X.6.13.
Пусть X и Y — независимые случайные величины, имеющие показательные распределения. Найти P{X = 2Y }.6.14. Случайные величины X и Y независимы и распределены равномерно на [0; 1]. Найтиплотность распределения случайной величины max(X, 2Y ).7.1. Найти математическое ожидание и дисперсию числа очков, выпадающих при подбрасывании игральной кости.7.2. Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины, имеющей:(а) распределение Пуассона;(б) геометрическое распределение;(в) равномерное распределение на отрезке [a; b];(г) показательное распределение с параметром α;(д) гамма-распределение.7.3. Всего есть |N – 7| + 3 ключей (N — номер студента по списку группы), из них толькоодин подходит к замку.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
