1625915088-e8ebe38cf39945169f45febc4019083c (842791), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Ключи выбираются наудачу по одной из следующих схем:а) испытанный ключ в дальнейших испытаниях не участвует;б) ключ каждый раз выбирается наудачу из всех ключей.Для каждой схемы найти ряд распределения, математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение числа попыток.7.4. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y = sin X, еслислучайная величина X имеет равномерное распределение на: а) [0; π]; б) [0; 2π].7.5. Случайные величины X и Y — декартовы координаты точки, брошенной наудачу вединичный квадрат. Найти математическое ожидание и дисперсию их разности.7.6.
Случайные величины X и Y независимы, X имеет стандартное нормальное распределение, Y имеет распределение Бернулли с параметром 1/3. Найти математические ожидания и дисперсии случайных величин (а) 2X + 3Y ; (б) X − 9Y − 1.7.7. На отрезок [0; θ] бросают наудачу n точек. Найти математические ожидания и дисперсии случайных величин X(1) — координаты крайней справа точки и X(n) — координатыкрайней слева точки.7.8.
Вычислить момент k-го порядка случайной величины, имеющей:(а) равномерное распределение,(б) гамма-распределение.7.9. Случайная величина X принимает натуральные значения с вероятностями P{X = k} =Ck −10 , k = 1, 2, . . . . Как найти C? Какого порядка моменты существуют у этой случайнойвеличины X?7.10.
Случайнаявеличина X имеетплотность распределения f (t) = 3t−2 при t ≥ 1. ТогдаRR∞∞EX −1 = 1 3t−3 dt = 3/2, EX −2 = 1 3t−4 dt = 1, DX −1 = 1 − (3/2)2 < 0. Но известно, чтодисперсия отрицательной не бывает. Объяснить противоречие.87.11. Случайная величина X имеет показательное распределение с параметром α.
Найти,для каких значений параметра β существует математическое ожидание случайной величиныY = eβX .8.1. Найти коэффициент корреляции ρ (X, X + Y ), где X и Y независимы, одинаковораспределены и имеют конечную ненулевую дисперсию.8.2. Точка произвольным образом бросается в круг единичного радиуса.
Найти коэффициент корреляции ее декартовых координат.8.3. Точку бросают наудачу в треугольник с вершинами, координаты которых равны(0; 0), (2N – 15; 0), (0; N). Здесь N — номер студента по списку группы. Найтикоэффициент корреляции декартовых координат точки.8.4.
Вычислить коэффициент корреляции ρ (X, Y ), если двумерное распределение случайного вектора (X, Y ) задается таблицей:X \Y-11-1 010,5 000 0,1 0,48.5. Найти коэффициент корреляции ρ (X, X 2 ), где X имеет:(а) стандартное нормальное распределение;(б) показательное распределение.8.6. Найти характеристическую и производящую функции случайной величины, принимающей значения 0, 1 и 2 с равными вероятностями.8.7. Найти характеристическую и производящую функции:1) бернуллиевского распределения;2) биномиального распределения;3) пуассоновского распределения.8.8.
Найти константу C такую, что X12 + X22 совпадает по распределению со случайнойвеличиной CY , где (X1 , X2 ) — вектор с двумерным стандартным нормальным распределением, а Y имеет показательное распределение с параметром N (здесь N — номер студентапо списку группы).8.9. Пусть X — неотрицательная целочисленная случайная величина. Выразить EX иDX через производные производящей функции.8.10. Найти характеристическую функцию:1) показательного распределения;2) гамма-распределения;3) квадрата стандартной нормальной случайной величины;4) суммы квадратов n независимых стандартных нормальных случайных величин.8.11.
По характеристическим функциям восстановить распределения: cos t, (1 − 4it)−1 ,exp(2it − 2t2 ).9.1. Игрок в каждой игре (независимо от результатов других игр) выигрывает 80 рублейс вероятностью 0,1, проигрывает 20 рублей с вероятностью 0,9. Найти, к какой величинесходится средний выигрыш за n игр при n → ∞.9.2. Пусть X1 , X2 , . . . — случайные числа, то есть независимые случайные величины,имеющие равномерное распределение на отрезке от 0 до 1. Найти пределы п. н. следующихвыражений при n → ∞:X 1 2 + . . . + Xn 2a);npX 1 2 + . .
. + Xn 2;б)n1в)n11+ ... +1 + X11 + Xnг) arctg9;2(X1 + . . . + Xn ) .n9.3. Случайные величины X1 , X2 , ... независимы и одинаково распределены по законуПуассона с параметром λ. К чему сходится с вероятностью единица последовательностьX12 + ... + Xn2−nX1 + . . . + Xnn2?9.4. Студент получает на экзамене 5 с вероятностью 0.2, 4 с вероятностью 0.4, 3 с вероятностью 0.3 и 2 с вероятностью 0.1. За время обучения он сдает 100 экзаменов. Найтипределы, в которых с вероятностью 0.95 лежит средний балл.9.5.
Игральная кость подбрасывается до тех пор, пока общая сумма очков не превысит700. Оценить вероятность того, что для этого потребуется более 210 бросаний.9.6. Известно, что вероятность рождения мальчика приблизительно равна 0.515. Какова вероятность того, что среди 10 тыс. новорожденных окажется мальчиков меньше, чемдевочек?9.7. Для лица, дожившего до двадцатилетнего возраста, вероятность смерти на 21-м годужизни равна 1/400. Застрахована группа из 104 лиц 20-летнего возраста, причем каждыйзастрахованный внес 350 рублей страховых взносов за год. В случае смерти застрахованногоего родственникам выплачивается 105 рублей. Оценить вероятность того, что:(а) к концу года страховое учреждение окажется в убытке;(б) его доход превысит 106 рублей;(в) его доход превысит 2 · 106 рублей.9.8.
Известно, что вероятность выпуска сверла повышенной хрупкости (брак) равна 0.02.Сверла укладываются в коробки по 100 шт. Чему равна вероятность того, что в коробке неокажется бракованных сверл? Какое наименьшее количество сверл нужно класть в коробкудля того, чтобы с вероятностью, не меньшей 0.9, в ней было не менее 100 исправных?9.9. Игральная кость подбрасывается 120 раз. Вычислить приближенно вероятность каждого из двух событий:Вариант 1. Выпало не менее 10 единиц; выпало не менее 60 четных чисел.Вариант 2.
Выпало не менее 10 шестерок; сумма выпавших чисел меньше 300.Вариант 3. В сумме выпало не менее 400 очков; сумма выпавших четных чисел не менее250.Вариант 4. Выпало менее 30 единиц; сумма выпавших нечетных чисел не менее 180.Вариант 5. Сумма выпавших чисел не меньше 320; тройка выпала не менее 10 раз.Вариант 6. Пятерка и шестерка выпали всего не менее 20 раз; единица и двойка выпалименее 30 раз.Вариант 7. Выпало не менее 70 нечетных чисел; выпало не менее 20 пятерок.Вариант 8.
Выпало менее 15 двоек; выпало не менее 60 нечетных чисел.Вариант 9. Выпало не менее 10 единиц; сумма выпавших чисел не меньше 400.Вариант 10. В сумме выпало менее 300 очков; сумма выпавших нечетных чисел менее200.Вариант 11. Выпало не менее 15 шестерок; сумма выпавших очков меньше 390.Вариант 12.
Сумма выпавших чисел меньше 250; четверка выпала не менее 15 раз.Вариант 13. Пятерка и шестерка выпали всего менее 20 раз; единица и двойка выпали неменее 25 раз.Вариант 14. выпало не менее 65 четных чисел; выпало менее 20 шестерок.Вариант 15. Выпало не менее 15 единиц; выпало не менее 70 четных чисел.9.10. Сколько в среднем изюминок должны содержать калорийные булочки, чтобы с вероятностью не менее 0,99 в булочке была хотя бы одна изюминка?9.11. При производстве матрицы каждый из 2 · 107 пикселей может быть поврежден свероятностью 10−7 независимо от других. Какова вероятность того, что будет поврежденоболее 3 пикселей?109.12.
Вероятность угадывания 6 номеров в спортлото (6 из 49) равна 7.2·10−8 . При подсчете оказались заполненными 5 млн. карточек. Какова вероятность, что никто не угадал все 6номеров? Какое наименьшее количество карточек нужно заполнить, чтобы с вероятностьюне менее 0.9 хотя бы один угадал 6 номеров?10.1. По данной реализации выборки ~x =(0; 0; 1; 1; 0; 0; 0; 0; 0; 1):а) построить график реализации эмпирической функции распределения;б) вычислить реализации выборочного среднего и выборочной дисперсии.10.2. По реализации выборки 1; 0; 1; 1; 0; 1; 0; 0; 0; 1 вычислить реализации выборочногосреднего, выборочной дисперсии, выборочного среднеквадратического отклонения, несмещенной выборочной дисперсии, выборочных асимметрии и эксцесса.10.3.
По данной реализации выборки ~x = (x1 , . . . , xn ):а) построить графики эмпирической функции распределения, гистограммы и полигоначастот (число промежутков выбрать в соответствии с формулой Стеджеса);б) вычислить выборочные среднее, дисперсию, асимметрию и эксцесс.Вариант 1. (1; 2; 0; 0; 4; 6; 6; 2; 3)Вариант 2. (0; 7; 1; 0; -1; 6; -1; 2; 3; 4)Вариант 3. (8; 2; 3; 3; 1; 5; 5; 2)Вариант 4. (-1; 4; 1; 1; -1; 0; 3; 2; 3)Вариант 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
