Неровный В.М. Теория сварочных процессов (841334), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Фиктивный источник обеспечивает встречный поток теплоты через границу, причем в силу симметрии схемы суммарный поток через границу оказывается равным нулю, т. е, выполняется условие адиабатической границы. Встречный тепловой поток через границу от фиктивного источника иногда называют отраженным, а описанный метод учета адиабатической границы — методом отражения. (6.14) Приращение температур точек полубесконечного тела, на поверхности которого действуют источники теплоты, согласно принципу наложения оказывается вдвое более высоким, чем для тех же точек бесконечного тела.
Т вЂ” Т, -и =е Та Тс 6.5.3. Граница с теплообменом П и р сварке на воздухе массивных металлических изделий теплоотдача с поверхности, как правило, несоизмеримо мала в сравнении с отводом теплоты внутрь изделия за счет теплопроводности. Поэтому для массивных тел внешние границы обычно считаются адиабатическими. Для схем пластины и стержня теплоотдача с поверхности мо- В жет играть ощутимую роль в формировании температурного поля.
связи с этим теплоотдача с поверхности была а учтена в двумерном (5.23) и одномерном (5.24) дифференциальных уравнениях теплопроводности. В решениях (6.2) и (6.3) этих дифференциальных уравнении присутствуют экспоненциальные множители е с помощью которых учитывается свободное охлаждение через поверхность. Температура пластины или стержня с теплоотдачей всегда ниже температуры изолированной пластины или стержня.
Для каждого момента времени множитель е имеет постоянное значение во всем объеме пластины или стержня. Одним из простейших случаев использования граничного условия третьего рода является учет свободного охлаждения тонкой пластины толщиной б и объемной теплоемкос тью ср, равномерно нагретой до начальной температуры Т„. Закон охлаждения такой пластины описывается дифференциальным уравнением с1Т вЂ” =-Ь(Т-Т,), (6.13) где Ь = 2а ! (срб) — коэффициент температуроотдачи, 1!с; Т вЂ” температура окружающей среды.
Число 2 в выражении для Ь указывает на то, что теплоотдача осуществляется с двух поверхностей. В случае, когда пластина имеет одну теплоотдающую поверхность, С учетом начальных условий (Т = Т„при г = 0) решение уравнения (6.! 3) можно записать в виде зависимости 216 Для равномерно нагретого стержня дифференциальное уравнение процесса свободного охлаждения также имеет вид (6.13), но в выражение для коэффициента температуроотдачи входят периметр р и площадь сечения Ь' стержня: (6.15) Ь = ар ! (срЕ ). Изменение температуры пла- Т- Т стины (или стержня) в процессе ҄— Т, свободного охлаждения описы ваемое экспоненциальной зависимостью (6.14), можно проиллюстрировать графиком, представленным на рис.
6.9. В начале процесса темп охлаждения наиболее высок, 0 1 2 3 4 Ь~ по мере уменьшения разности Рис. 6.9. Изменение температуры температур пластины (или стерж- равномерно нарстой пластины в нЯ) и окРужающей сРеды Умень- ессе св б ого о е шается и пропорциональная ей скорость охлаждения. С течением времени температура пластины (или стержня) асимптотически стремится к температуре окружающей среды, 6,6. Подвижные источники теплоты При выводе выражений, описывающих температурные поля подвижных источников, используем принцип наложения.
Как было отмечено в разд. 6.2, перемещающийся (подвижный) источник можно представить совокупностью мгновенных источников, действующих последовательно во времени в соответствующих областях пространства. 6.6.1. Подвижный точечный источник на поверхности полубееконечного тела По поверхности массивного тела прямолинейно и равномерно со скоростью с перемещается непрерывно действующий точечный источник теплоты постоянной мощности д.
Выберем неподвиж- 217 Тх (1) = Тн + ~г1ТА (Т). (6. 17) О) хо', х Т(хс, УО, хб, 1) = 219 218 ную декартову систему координат, начало которой совместим с точкой Оо положения точечного источника теплоты в момент времени г = 0 начала его действия. Оси Оохо и Ооуо выберем в граничной плоскости тела, причем ось Оохо совместим с направлением перемещения источника, ось Оохо направим в глубь тела (именно такое направление координатных осей принято в классической теории распространения теплоты при сварке).
При постоянной скорости движения источник в момент времени г будет находиться в некоторой точке О на расстоянии щ от начала координат Оо. Выберем подвижную декартову систему коор- в Рис. 6.10. Схемы к расчету температурных полей от подвижных источников: а — подвижный точечный источник ив поверхности полубесконечного тела; б— подвижный линейный источник в бесконечной пластине; в — подвижный плоский источник в бесконечном стержне динат, начало которой совместим с точкой О текугцего положения источника.
Оси Ох, Оу и Ог подвижной системы координат направим аналогично осям неподвижной системы координат Оохоуо го (рис. 6.10, а). Пусть в некоторый момент времени г' после начала нагрева источник находится в точке О' с координатами (пг', О, О). За беско- печно малыи проме межуток времени с(г' источник выделяет элементарное количество теплоты ЫД =- 0с(1'. Выделенное в момент времени 1' в точке О' элементарное количество теплоты Щ распространи няясь в течение времени г — 1', вызовет к моменту времени г в точке А массивного тела с фиксированными координатами (хо, уо, хо) изменение температуры ,2 2 2~ 2дй' ~ (хо — И1 ) ~ Уо + ~о (6 16) г7ТА(Т) = З ~х 4а(1 — 1'),Г ср [4яа(1 — 1)1 где (хо — И') Уо хо ив + + — квадрат расстояния от точки О' до точки А.
Множителем 2 в числителе выражения (6.!6) учитываем наличие адиабатической границы (плоскости хоОоуо). пу наложения суммарное изменение темпера- Согласно принципу ы в точке А массивного тела от действия подвижного источника в течение времени 1 может быть вычислено интегрированием по формуле о В неподвижной системе координат температурное поле точечвижного непрерывно действующего источника постоянного подви пол бесконечной мощности, перемещающегося по поверхности полу м (6.16) и (6.17) выра- ного тела с постоянной скоростью, с учетом ( . ) и ( . жается формулой ~2 2+ 2 2Ч (хо ™) +Уо+хо Й'. (6.18) о ср 14яа(г — г')1 Выражение для температурного поля (6.18) упрощается, если рассматривать процесс в подвижной системе координат Охух, связанной с подвижным источником теплоты.
За р . 3 пишем коо динаты неподвижной точки А массивного тела в подвижной системе координат: х =хо-и; у=уо,' к=хо Введем переменную времени т = 1 — 1', выражающую длительность процесса распространения тепла элементарного источника. Замена переменных в выражении (б.18) и элементарные преобразования подынтегральной функции приводят к следующему выражению температурного поля подвижного источника в подвижной системе координат: ср (4ла)3 о ~ 4а 4ат ~ т322 ' 2 2 где Я= х +у +г — длина радиус-вектора точки А в подвижной системе координат.
6.6.2. Подвижный линейный источник в бесконечной пластине Линейный источник постоянной мощности а распределен равномерно по отрезку оси Ог, равному толщине пластины б, и перемещается прямолинейно с постоянной скоростью и в плоскости пластины х000уо (рис. 6.10, б). Пластину считаем бесконечной, а ее граничные плоскости г = 0 и х = 8 отдают теплоту в окружающую среду с нулевой температурой при коэффициенте поверхностной теплоотдачи а. Выражение для температурного поля определяем согласно принципу наложения так же, как и выражение (6.18) для полубесконечного тела. В неподвижной системе координат оно имеет вид 6.6.3. Подвижный плоский источник в бесконечном стержне Плоский источник постоянной мощности д равномерно распределен по сечению стержня г" и перемещается с постоянной ско- Р остью о вдоль оси бесконечного стержня Оохо (рис.
б.!О, в). Боковая поверхность стержня отдает теплоту в окружающую среду с нулевой температурой при коэффициенте поверхностной теплоотдачи а. Выражение для температурного поля определяется согласно принципу наложения так же, как и выражения (6.18) и (6.20). В неподвижной системе координат оно имеет вид Т(хо, 1) =Т„+ + ( (х — ) „„-,,-7,,- 4.р-~, ~ (б.гг) Переходя к подвижной системе координат, связанной с источником теплоты, и вводя переменную времени т = 1 — 1, получим выражение для температурного поля в подвижной системе координат: Т ( х Е ) Т н + (хО Уо 0- Т(х, у, 1) = 221 220 д ( (хо — гр)2+у2 Р— ', -нр-о+ ~6дч о срб4ла(г — Т) ~ 4а(~ — Т) Переходя к подвижной системе координат, связанной с источником теплоты, и вводя переменную времени т = 1 — г', получаем выражение температурного поля в подвижной системе координат г = в + ехр~ — — / ~ехр — — + Ь т —— ~хХб ~ 2а 4а ~ 4 ! т ' Г2 2 где г= ~/х +у — длина радиус-вектора точки А в подвижной системе координат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
