Введение в теорию массового обслуживания (836665), страница 7
Текст из файла (страница 7)
д. Таким образом, состояние , где > 1, – это когда в очереди находится − 1 заявка. Интенсивность входящего потока– , интенсивность обслуживания – . Интенсивности всех переходов в порядке возрастания индекса равны , а интенсивностивсех переходов в обратном направлении, в отличие от случая из§ 3.2, совпадают и равны .Если заканчивается обслуживание очередной заявки при наличии очереди, система переходит к обслуживанию следующей, адлина очереди уменьшается на единицу.62Формулы Эрланга теперь примут вид == , где = 0, 1, 2 . .
. ;∞∑︁0 = ( )−1 = 1 − .=0Разумеется, должно выполняться условие < 1 . В противномслучае, когда ≥ , интенсивность обслуживания не превышает интенсивности поступления заявок, очередь со временемстремится к бесконечности и сам разговор о предельных вероятностях теряет смысл.В дальнейшем мы не будем специально выделять основные характеристики рассматриваемых СМО.Вероятности состояний системы = (1 − ) · .
Любая поступившая заявка принимается в очередь и рано или поздно обслуживается. Отсюда относительная пропускная способность = 1,а абсолютная = . Выходящий поток только один и образованобслуженными заявками, его интенсивность равна интенсивности входящего потока .¯ оч для установившегося решеНайдем среднюю длину очереди ния. Вероятность нулевой длины равна 0 +1 , и далее при > 163вероятность длины k равна +1 .
Таким образом,¯ оч = () == (1 − )∞∑︁ · +1 ==1∞∑︁ · +1 = (1 − ) · 2 · · −1 ==1=1= (1 − ) · 2 · (∞∑︁∞∑︁ )′ = (1 − ) · 2 · (=1 ′2) =.1−1−Пусть оч – время нахождения вновь поступившей заявки в очереди. (оч / ) – ожидаемое время пребывания заявки в очереди, при условии, что система на момент поступления заявкинаходится в состоянии . Тогда⎧⎨0, если = 0; (оч / ) =⎩ , если > 0.По формуле полной вероятности ожидаемое время пребываниязаявки в очереди¯оч =∞∑︁ ( ) · (оч / ) ==0=∞∑︁=1∞∑︁ · (оч / ) ==1∞1 − ∑︁ · =· · =.(1 − )=1¯ оч = · ¯оч .Отсюда – первая формула Литтла: Среднее время пребывания заявки в системе равно сумме среднего времени пребывания в очереди и среднего времени обслу-64живания:¯сис = ¯оч + ¯обс =1+ .(1 − ) ¯ обсл =Среднее число заявок, находящихся под обслуживанием, = 1 − 0 = .
Тогда среднее число находящихся в системе заявок¯ сис = ¯ оч + ¯ обс =2+=.1−1−Отсюда легко получается соотношение между количеством заявок в системе и временем пребывания заявки в системе (34) –вторая формула Литтла. Таким образом,¯ оч = · ¯оч ,¯ сис = · ¯сис .(34)Рассмотренная нами в этом параграфе система без ограниченийна длину очереди является довольно распространенной модельюреальных систем.
Например, пусть пропускная способность городского травматологического пункта – 10 пациентов в час, ав городе в этот период времени случается 9 травм в час. Чему¯ оч и среднее время пребыванияравна средняя длина очереди пациента в очереди ¯оч ? Итак: = 9 , = 10 . Следовательно,¯ оч = 8, 1 пациента; ¯оч = 0, 9 часа, или 54 минуты.
При = 0, 9; этом, если смена длится 6 часов, то из них 0,6 часа, или 36 минут,пункт простаивает. Эти моменты важно учесть при подготовкеорганизационных решений, связанных с медицинским обслуживанием и другими видами обслуживания населения.65§ 3.4. Одноканальная СМО с ограничением на длинуочередиТеперь рассмотрим систему, аналогичную исследованной в предыдущем параграфе, но с ограничением на длину очереди. Пустьсистема имеет + 1 состояние: 0 – единственный канал свободен, 1 – единственный канал занят обслуживанием заявки, 2 –канал занят и одна заявка находится в очереди и т. д.
Последнеесостояние +1 – в очереди n заявок (рис. 13).Рис. 13.Одноканальная СМО с ограничением на длину очередиФормулы Эрланга:+1∑︁ = = , где = 0, 1, 2 . . . , + 1;0 = ( )−1 .=0Выполнение условия < 1 теперь не требуется. = 0 · .Вероятность принятия заявки на обслуживание равна 1 − +1 ,вероятность отказа – +1 . Система имеет два выходных потока:поток обслуженных заявок с интенсивностью = (1 − +1 ) ипоток заявок, получивших отказ, с интенсивностью = +1 · .Средняя длина очереди¯ оч = () =∑︁ · +1 = 0 ·=1∑︁=166 · +1 .(35)Аналогично тому, как это делалось в предыдущем параграфе,¯ обс , ¯ сис , ¯оч , ¯сис . Разумеется, формулы Литтнетрудно найти ла также выполняются.§ 3.5. Одноканальная СМО с нетерпеливыми заявкамиОписание системы совпадает с представленным в § 3.2. Единственное отличие – новый выходящий поток, поток нетерпеливых заявок.
Для него мы вводим новый параметр – интенсивность ухода заявки из очереди. Таким образом,1– среднеевремя ожидания заявки в очереди. Схема СМО изображена нарис. 14.Рис. 14.Одноканальная СМО с нетерпеливыми заявкамиВ рассматриваемом примере заявки иногда покидают очередьпо своей инициативе, не дождавшись обслуживания.
ФормулыЭрланга:0 = 1, = ∏︀=1 (0 = (+1∑︁+ ( − 1) · )= , для > 0; )−1 , = · 0 .=0Также рассматривают приведенную интенсивность потока ухо-67дов =.Тогда = ∏︀=1 (1+ ( − 1) · ).¯ оч = () = ∑︀ · +1 . КаждаяСредняя длина очереди =1заявка «испытывает желание» уйти с интенсивностью . Поэтому интенсивность выходящего потока покинувших очередь¯ оч · . Поскольку в очередь принимаются все беззаявок равна исключения заявки, абсолютная пропускная способность систе¯ оч · .мы = − § 3.6. Замкнутая одноканальная СМОДо сих пор мы рассматривали СМО, в которых входной потокне зависит от того, сколько заявок в данный момент обслуживается или находится в очереди. Так, в большом городе вы можетесчитать, что ваш звонок не окажет влияния на общую интенсивность звонков по городу и, хотя население даже очень большогогорода конечно, вы можете в модели считать количество источников заявок бесконечным.
Другое дело, например, когда в цехевсего десять станков и один мастер по их ремонту. Тогда моделью цеха будет СМО с состояниями { }, где = 0, 1, . . . , : 0 –работают все станки, 1 – один станок в ремонте, остальные работают, 2 – один в ремонте, один в очереди, остальные работаюти, наконец, – один в ремонте, остальные в очереди на ремонт!Интенсивность потока заявок на ремонт с одного станка, т. е.
интенсивность потока отказов – , интенсивность обслуживания –68 . Величину 1/ в теории надежности называют наработкойна отказ. Такие системы называют замкнутыми, или системамиЭнгсета (рис. 15).Рис. 15.Замкнутая одноканальная СМОФормулы Эрланга:0 = 1 и =0 = (∑︁!· , для = 1, 2 . . . ;( − )! )−1 , = · 0 .=0Абсолютная пропускная способность СМО = зан · , где зан– вероятность того, что система занята обслуживанием заявки.Напомним, что здесь – производительность системы при условии, что она обслуживала бы заявки непрерывно, без простоев.В замкнутой СМО можно выделить некоторые количества активных акт и пассивных пас источников заявок. Например,пассивные источники – это находящиеся в ремонте или в очереди на ремонт станки.
Только активный источник может податьновую заявку на обслуживание. Очевидно, акт + пас = .¯акт + ¯ пас = . Средняя интенсивностьТакже и для средних: входящего потока¯ пас )· =⇒Λ̄ = = (1−0 )· = (− 69¯ пас = − 1 − 0 .Здесь¯ пас = сис ;¯ оч = ¯ сис − ¯ обсл == −1 − 01− (1 − 0 ) = − (1 − 0 ) · ( + 1).Вероятность того, что заявка активна, т. е. доля активных заявокакт = 1 −¯ сис;·70¯ оч.¯оч =Λ̄***К сожалению, объем пособия не позволил рассмотреть многоканальные системы с ограничением и без ограничений на длинуочереди, многоканальные системы с нетерпеливыми заявкамии замкнутые многоканальные системы.
Также не рассмотренымногофазовые системы, пропущен ряд теоретических вопросовсуществования решений уравнений Колмогорова, а также особые случаи входящего потока и порядка обслуживания, случаи,когда нарушается ординарность потока или когда заявки поступают по законам простейшего потока, но отдельные заявки необслуживаются. Например, занятия на курсах английского языка начинаются по мере комплектования групп.
В таких случаяхне всегда классические учебники дадут ответ на все вопросы иприходится обращаться к дополнительной литературе. Однакостудент, освоивший методы моделирования СМО и основные характеристики СМО на рассмотренных в книге примерах и вооружившись необходимой литературой, сможет самостоятельноисследовать многие пропущенные нами классы СМО. В концеконцов для чего-то существуют и «толстые» книги.71Биографические справки1. Вентцель Елена Сергеевна (1907–2002) – советский математик,доктор технических наук, профессор, автор научных работ иучебников по теории вероятностей, исследованию операций итеории массового обслуживания.
Елена Сергеевна является также автором ряда романов, повестей и рассказов.2. Гнеденко Борис Владимирович (1912–1995) – советский математик, академик АН УССР, специалист по теории вероятностей иматематической статистике. Занимался задачами, связанными собороной страны. Автор многих работ по теории массового обслуживания, один из основоположников теории надежности.3.
Йохансон Фредерик Фердинанд (1855–1934) – датский инженер,директор Копенгагенской телефонной компании. Изложил первые идеи теории очередей в 1907 году в статье «Время ожиданияи число вызовов».4. Каштанов Виктор Алексеевич (1934) – советский математик, доктор физико-математических наук, лауреат Государственной премии СССР 1979 года.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
