Введение в теорию массового обслуживания (836665), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Здесь 0– доля времени простоя системы, 1 – доля времени, приходящегося на обслуживание обычных заявок, 2 = 1 − 0 − 1 – долявремени, приходящегося на обслуживание приоритетных заявок.49Рис. 9.Вероятности состояний СМО с приоритетным входным потокомВ дальнейшем при исследовании системы мы сконцентрируемвнимание на характеристиках, основанных на предельных вероятностях.Как следует из описания работы СМО, приоритетные заявкиведут себя так, как если бы поток обычных заявок отсутствовал.
Таким образом, характеристики обслуживания приоритетных заявок совпадают с характеристиками, рассмотренными в§ 2.2. С обычными заявками ситуация несколько иная. Найдемвероятность того, что обслуживание принятой обычной заявкибудет завершено до появления приоритетной. Вероятность того,что обычная заявка, находящаяся на обслуживании в момент ,будет обслуживаться в течение элементарного промежутка времени равна равна 1 ·−1 · ·. Вероятность того, что к моменту не поступила приоритетная заявка −2 · . По формуле полной50вероятности искомая вероятность∫︁+∞1 · −(2 +1 )· · =01.2 + 1Итак, 1 /(2 +1 )− вероятность того, что принятая заявка будетобслужена, а, соответственно, 2 /(2 + 1 )− вероятность того,что обслуживание принятой заявки будет прервано.
Обе вероятности условные, т. е. при условии, что заявка принята. Согласно (31), безусловная вероятность обслуживания обычной заявкиравна:1 · 21=;(2 + 1 )(1 + 2 + 1 ) · (2 + 2 )22 · 2= 0 ·=.(2 + 1 )(1 + 2 + 1 ) · (2 + 2 )обычн_обсл = 0 ·обычн_прервРазумеется, обычн_обсл + обычн_прерв = 0 – вероятность принятия обычной заявки на обслуживание.Характеристики СМО с отказами и приоритетнымизаявками1.
Ожидаемое время между двумя последовательнымизаявками в обычном потоке11¯Ожид_об =, в приоритетном потоке ¯Ожид_пр =.12512. Ожидаемое время обслуживания обычной заявки11¯обсл_об =и приоритетной ¯обсл_пр =.123. Относительная пропускная способность по приоритетным заявкам пр = 0 + 1 =22 +2– доля приоритет-ных заявок, принимаемых на обслуживание.
Все принятыезаявки обслуживаются.4. Абсолютная пропускная способность по приоритетным заявкампр = 2 · пр = 2 · 22 + 2– ожидаемое количество обслуживаемых в единицу времени приоритетных заявок.5. Относительная пропускная способность по обычнымзаявкамоб = обыч_обсл =21·2 + 2 1 + 2 + 1– доля обычных заявок, принимаемых на обслуживание.Интересно, что относительная пропускная способность (ОПС)по обычным заявкам равна произведению ОПС по приоритетным заявкам на ту ОПС, которая была бы, если бы отменили приоритеты, т. е. если бы все заявки обслуживалиськак обыкновенные.526. Абсолютная пропускная способность по обычным заявкамоб = обыч_обсл · 1 = 1 ·21·2 + 2 1 + 2 + 1– ожидаемое количество обслуживаемых в единицу времени обычных заявок.7. Интенсивность выходящего потока приоритетных заявок, получивших отказ,2 · 2 =22 2 + 2– ожидаемое количество приоритетных заявок в единицувремени, получающих отказ по причине занятости единственного канала обслуживанием другой приоритетной заявки.8.
Интенсивность выходящего потока обычных заявок,получивших отказ,(1 − 0 ) · 1 = (1 −2 · (2 + 1 )) · 1(1 + 2 + 1 )(2 + 2 )– ожидаемое количество обычных заявок в единицу времени, получивших отказ по причине занятости канала.539. Интенсивность выходящего потока обычных заявок,принятых на обслуживание, но не обслуженных попричине появления приоритетной заявкиобыч_прер · 1 = 1 · 2 · 2(1 + 2 + 1 )(2 + 2 )– количество обычных заявок в единицу времени, вытесненных из системы приоритетными заявками, т. е. заявок,принятых на обслуживание, но необслуженных.Приведем пример расчета интенсивностей выходящих потоковдля представленного на рис. 9 случая: 1 = 4, 1 = 6 , 2 = 1 ,2 = 4.№Интенсивности выходящих потоковОбычные заявкиПриоритетные заявки1Обслуженных заявок1,7450,82Заявок, получивших отказ1,9640,23С прерванным обслуживанием0,29104ИТОГО41Очевидно, сумма интенсивностей всех выходящих потоков равнаинтенсивности соответствующего входящего потока.54Глава 3.
Процессы гибели и размноженияПусть СМО имеет множество состояний { }, где = 0, 1, . . . , .В частности, не исключается случай = ∞. По-прежнему справедливы допущения (18) о вероятностях переходов. При этомвозможны только переходы вида,+1 и +1, , где = 0, 1, . . . − 1.Тогда процесс функционирования системы называют процессом гибели и размножения. Таким образом, для процессовгибели и размножения характерны только последовательные переходы слева направо или справа налево (рис.
10). Этот классРис. 10.Процесс гибели и размноженияпроцессов впервые начали изучать в связи с исследованиямидинамики численности популяций, распространения эпидемий идругими подобными задачами. Отсюда и закрепившееся за процессами название. Если возможны переходы только слева направо, процесс называют процессом чистого размножения. Еслиже возможны переходы только в обратном направлении, говорято процессе гибели.Запишем уравнения Колмогорова для произвольной системы ги-55бели и размножения. Согласно схеме первое уравнение0′ () = −01 · 0 () + 10 · 1 (),далее′ () = −1, · −1 () − (,−1 + ,+1 ) · () + +1, · +1 (),где > 0.
Если множество состояний конечно и номер крайнегосправа – , то систему будет замыкать уравнение′ () = −1, · −1 () − ,−1 · ().Уравнения Колмогорова для случая процессов гибели и размножения иногда называют уравнениями Эрланга.§ 3.1. Формулы ЭрлангаАналитическое решение систем уравнений Колмогорова даже дляпростых процессов гибели и размножения с конечным числомсостояний часто оказывается довольно громоздким.
Однако если существует установившееся решение, получить его нетрудно.Система уравнений Колмогорова для установившегося решения56принимает вид⎧⎪⎪−01 · 0 + 10 · 1 = 0;⎪⎪⎪⎪⎪⎨01 · 0 − (10 + 12 ) · 1 + 21 2 = 0;⎪⎪...⎪⎪⎪⎪⎪⎩−1, · −1 − (,−1 + ,+1 ) · + +1, +1 = 0.Положим, = ,+1 · − +1, · +1 , тогда0 = 0,0 − 1 = 0,...−1 − = 0.Отсюда, независимо от того, конечна система или нет,0 = 1 = · · · = = · · · = 0и, следовательно, +1 =,+1+1,· , где > 0. По индукцииполучим выражение предельных вероятностей через−1∏︁ = (,+1 /=0−1∏︁+1, ),=0где > 0.
Введем обозначение:−1∏︁ = (−1∏︁,+1 /=0+1, ),=0где > 0. Тогда = ·0 . Таким образом, чтобы получить ,надо просто произведение интенсивностей всех переходов, ведущих на схеме 10 слева направо к , разделить на произведение57интенсивностей всех переходов, ведущих справа налево от .∑︀Если положить 0 = 0 , то из условия =0 = 1 непосредственно следует∑︁ · 0 = 1=⇒∑︁0 = ( )−1 .=0=0Все сказанное справедливо и для случая = ∞, если соответствующая сумма сходится.
Итак,⎧⎨1, если = 0; =∏︀−1⎩(∏︀−1 =0 ,+1 / =0 +1, ), если > 0. = · (∑︁ )−1 .(32)(33)=0Выражения (32–33) известны как формулы Эрланга, посколькуименно Эрланг впервые получил их для установившегося процесса в многоканальной СМО с отказами. Ниже мы рассмотримпримеры использования формул (32 - 33) для различных типовСМО.§ 3.2. Многоканальная СМО с отказамиСистема с отказами и каналами обслуживания имеет конечноемножество состояний { }, где = 0, 1, . .
. , : 0 – свободны всеканалы, 1 – занят один канал, 2 – заняты два канала и такдалее, – заняты все каналов обслуживания. Интенсивностьвходящего потока – , интенсивность обслуживания – . Как58видно на схеме (рис. 11), интенсивности переходов по возрастанию индекса совпадают с интенсивностью входящего потока, аинтенсивности переходов по убыванию индекса зависят от индекса состояния.Рис.
11.Многоканальная СМО с отказамиТак, интенсивность перехода → −1 равна · , т. е. произведению интенсивности обслуживания одним каналом на количество задействованных каналов .Применим формулы Эрланга 0 = 1 и =Введем обозначения =1·2·...··для k>0.– приведенная интенсивность входя-щего потока или нагрузка системы.Тогда = , где = 0, 1, . . . , ,!∑︁ −10 = () .!=0Отказ в обслуживании заявка получает только тогда, когда система находится в состоянии , т. е. все каналы заняты.
Вероятность этого события .59Характеристики многоканальной СМО с отказами1. Относительная пропускная способность системы. = 1 − 2. Абсолютная пропускная способность, она же интенсивность выходящего потока обслуженных заявок = · = (1 − ) · .3. Интенсивность выходящего потока заявок, получивших отказ, · .4. Среднее число занятых обслуживанием каналов,т.
е. математическое ожидание числа занятых каналов¯ = () =∑︁ · ==0∑︁ · ==1∑︁ · 0 =!=1−1∑︁∑︁ −1= ·· 0 = ·· 0 =( − 1)!!= ·=1−1∑︁=0 = · (1 − ).=0Таким образом, среднее число занятых каналов равно произведению приведенной интенсивности входящего потока60на относительную пропускную способность системы.5. Среднее число свободных от обслуживания каналов¯¯0 = − .¯ .6.
Коэффициент занятости каналов /7. Коэффициент простоя каналов ¯0 /.Иногда рассматривают СМО с бесконечным числом каналов. Хотя кто-то может вполне резонно возразить, что таковых не бывает, названная модель вполне адекватно описывает некоторыереальные ситуации. Например, если каналы обслуживания – номера в гостинице на курорте в мертвый сезон, а также в другихситуациях, когда каналов очень много, а заявок очень мало. Очевидно, в такой системе обслуживаются все заявки.В этом случае∞∑︁ −1) = − ,0 = (! ==0 −· .!Среднее число занятых каналов¯ =∞∑︁=0∞∞∑︁∑︁ −−1 · = · =· − =!( − 1)!=1=1∞∞∑︁∑︁ ′ −= ·( )′ · − = · () · = · ( )′ · − = .!! =1=161Таким образом, среднее число занятых каналов в «бесконечно¯ = определяется только отношением инканальной» СМО тенсивности входящего потока к интенсивности обслуживания.§ 3.3.
Одноканальная СМО без ограничений на длинуочередиРис. 12.Одноканальная СМО без ограничений на длину очередиОдноканальная система без ограничений на длину очереди (рис.12) имеет бесконечное множество состояний { }, где где =0, 1, . . . : 0 – единственный канал свободен, 1 – канал занят обслуживанием заявки, 2 – канал занят, и одна заявка находитсяв очереди, 3 – канал занят, и две заявки находятся в очереди ит.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
