Введение в теорию массового обслуживания (836665), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Из второгоуравнения выразим · 0 () = 1′ () + ( + ) · 1 ().(24)Левую и правую части первого из уравнений (23 ) умножим на и подставим в полученное уравнение значение · 0 () из (24).После приведения подобных членов получим линейное однородное уравнение второго порядка1′′ () + (2 · + ) · 1′ () + 2 · 1 () = 0.Составим соответствующий ему характеристический многочлен: 2 + (2 · + ) · + 239и найдем его корни: = 4 + 2 ;1 =2 =√︀−(2 · + ) − 4 + 2< 0;2 √︀−(2 · + ) + 4 + 2.2Поскольку 4+2 < (2·+)2 , 2 также меньше нуля. Все корнихарактеристического уравнения отрицательны. Многочлен, вещественные части всех корней которого отрицательны, называют textbfустойчивым.
Устойчивость означает, что, как и в примере предыдущего параграфа, все экспоненты, линейной комбинацией которых является решение уравнения, при → +∞стремятся к нулю и уравнение имеет предельное решение.Общее решение уравнения запишем в виде√1 () = −2+·2· (1 · 4+2·2√+ 2 · −4+2·2).Подставив в уравнение = 0 и применив начальное условие1 (0) = 0, получим 2 = −1 . С целью экономии пространстваи времени введем обозначения:2 + =и2√︀4 + 2= .2Теперь уравнение перепишем в виде1 () = · − · ( − − )40и возьмем производную1′ () = · − · (( − ) · + ( + )− ).(25)Подставив во второе уравнение (23) = 0, и, учитывая 0 (0) == 1 и 1 (0) = 0, получим недостающее для дифференциальногоуравнения второго порядка начальное условие 1′ (0) = . При = 0 из (25) следует: · ( − + + ) = или =1 () =2 . −·· ( − − ).2Теперь легко из (24) получим уравнение0 () =1· − · (( + ) · + ( − ) · − ).222Вероятность безотказной работы системы в течение времени () = 0 () + 1 () =1 −·· (( + ) · − ( − ) · − ).
(26)2Разумеется, 2 () = 1 − (). Причем lim→+∞ 2 () = 1, и, значит, система в конце концов закончит свой путь в состоянии 2 .Однако нас в этой задаче прежде всего интересует вероятностьбезотказной работы системы в течение заданного времени. Подставив в правую часть (26 ) значения и , после ряда преобразований получим:− 2+·2() = √︀√︀4 + 24 + 2·[ √︀·ℎ()+ℎ(·)].224 + 2(27)2 + 41Чтобы найти вероятность безотказной работы соответствующейСМО с резервом без восстановления, достаточно устремить к нулю .lim −2+2→0= −· ;√︀4 + 2· ) = 1;lim ℎ(→02√︀4 + 2 √︀ℎ( · )lim ℎ()/ 4 + 2 = lim=→0→022 − − · ( − − )= lim= lim= .→0→0442Следовательно,lim () = −· · (1 + · ).→0На рис.7 представлены графики функции () при > 0 (си-Рис.
7.График R(t) при = 2.Сплошная линия: = 4,пунктир:=0стема с восстановлением) и = 0 (система без восстановления).Теперь найдем ожидаемое время наработки системы на отказ.Функция распределения времени безотказной работы () = 1 −(). Соответственно, плотность распределения () = ′ (). Вер-42немся к более компактной, чем (28), формуле (26). Тогда () =2· (−(−)· − −(+)· ).2Обозначим наработку на отказ системы ¯сист в отличие от наработки на отказ каждого устройства ¯отк :¯сист = () =∫︁∞ · () · =0211·(−).22 ( − )( + )2Подставив значения и , получим:2¯сист = + 2 . Здесь2– увеличение наработки системы на отказ за счет восстановления.
При = 0 значение ¯сист = 2 = 2 · ¯отк . То естьнаработка на отказ системы без восстановления равна сумме наработок на отказ основного и резервного устройств. Тот же результат можно получить, взяв() = −· · (1 + · ), () = 1 − () =⇒ () = ′ () = 2 · · −· .∫︁ ∞∫︁¯сист = () = · () · =00∞2 · 2 · −· · =2.Например, система, где = 0, 5 без восстановления будет иметьнаработку на отказ ¯сист = 4, а при интенсивности восстановления = 2 получим ¯сист = 12.43§ 2.4. СМО с приоритетными заявкамиСистемы массового обслуживания с приоритетами мы наблюдаем в железнодорожных кассовых залах, когда вне очереди оформляют билеты ветеранам войн и другим категориям граждан, накоторые распространяется соответствующая льгота; в стоматологическом кабинете, где принимают без очереди пациентов сострой болью.
Можно привести много подобных примеров.Системы с приоритетами классифицируют прежде всего по количеству категорий заявок. Так, в военно-полевой медицине принято делить раненых на четыре группы по срочности оказаниямедицинской помощи. Такая классификация впервые была предложена выдающимся российским хирургом Николаем Ивановичем Пироговым. На телеграфе когда-то выделяли три категориителеграмм: простые, срочные и молния. СМО с приоритетамиможет быть с отказами или с очередями. Кроме того, при поступлении приоритетной заявки обслуживание «рядовой» можетпрерываться или же система будет ждать завершения обслуживания. Например, в противовоздушной обороне при появленииболее опасных целей система может отпустить неприоритетнуюзаявку и переключиться на обслуживание «дорогих гостей».Мы рассмотрим СМО (рис. 8) с отказами и с двумя входящими потоками заявок: обычный с интенсивностью 1 и приоритетный с интенсивностью 2 . Интенсивности обслуживания соответствующих заявок – 1 и 2 .
Система может находиться в44Рис. 8.СМО с приоритетамитрех состояниях: 0 – свободна, 1 – обработка обычной заявки, 2 – обработка приоритетной заявки. Первоначально системанаходится в состоянии 0 . В случае поступления обычной заявки система переходит в состояние 1 . Если до завершения обслуживания обычной заявки поступила приоритетная, системапрерывает обслуживание текущей заявки и приступает к обслуживанию приоритетной, т. е. переходит в состояние 2 . Послезавершения обслуживания любой заявки система возвращаетсяв исходное состояние 0 .Обыкновенная заявка получает отказ, если система занята обслуживанием любой другой заявки, приоритетная – только тогда, когда СМО занята обслуживанием другой приоритетной заявки.Такая система будет иметь пять выходящих потоков, которыесоответственно составляют обслуженные приоритетные и обычные заявки, приоритетные и обычные заявки, получившие отказв обслуживании и, наконец, обычные заявки, принятые на об45служивание, но не обслуженные по вине приоритетных.Составим систему уравнений Колмогорова:⎧′⎪⎪⎪0 () = (1 + 2 ) · 0 () + 1 · 1 () + 2 · 2 ();⎨1′ () = 1 · 0 () − ( + 2 ) · 1 ();⎪⎪⎪⎩ ′2 () = 2 · 0 () + 2 · 1 () − 2 · 2 ().(28)Начальные условия по-прежнему 0 (0) = 1 и 1 (0) = 2 (0) = 0.Будем искать частные решения системы (29) в виде0 () = · − ;1 () = · − ;2 () = · − .(29)В таком случае должно быть корнем характеристического уравнения⃒⃒⃒⃒−1−2 ⃒⃒ + 1 + 2⃒⃒⃒⃒ = 0.−++0121⃒⃒⃒⃒⃒−2−2 + 2 ⃒Преобразовав левую часть последнего уравнения, разложим намножители полученный многочлен: · ( + 2 + 2 ) · ( + 1 + 1 + 2 ).Итак, характеристический многочлен имеет три различных ве-46щественных корня:2 = −(2 + 2 )1 = 0,и3 = −(1 + 2 + 1 ).Для каждого корня подставим (29) в (28) и выберем два первых уравнения из трех линейно зависимых.
Найдем решения полученных систем с точностью до постоянного множителя.1. 1 = 0 :⎧⎨(1 + 2 ) − 1 · = 2 · ;⎩− · + ( + ) · = 0;112⎧⎪ = 2 · (2 + 1 );⎪⎪⎨=⇒ = 1 · 1 ;⎪⎪⎪⎩ = 2 · (1 + 2 + 1 ).2. 2 = −2 − 2 :⎧⎨(1 − 2 ) − 1 · = 2 · ;⎩− · + ( − ) · = 0;112⎧⎪ = 1 − 2 ;⎪⎪⎨=⇒ = 1 ;⎪⎪⎪⎩ = −1 − 1 + 2 .3. 3 = −1 − 2 − 1 :⎧⎨1 · − 1 · = 2 · ;⎩− · + ( − ) · = 0;11247⎧⎪ = 1;⎪⎪⎨=⇒ = −1;⎪⎪⎪⎩ = 0.Тогда общее решение системы (28) примет вид⎛⎞⎛⎞0 ()2 · (2 + 1 )⎜⎟⎜⎟⎜1 ()⎟ = 1 · ⎜⎟+·2⎝⎠⎝⎠2 ()2 · (1 + 2 + 1 )⎛⎜+2 · −(2 +2 )· · ⎜⎝ 1 − 21−1 − 1 + 2⎛ ⎞1⎜ ⎟−(1 +2 +1 ) ⎜+ 3 · · ⎝−1⎟⎠,0⎞⎟⎟+⎠(30)где 1 , 2 и 3 – произвольные вещественные константы. Длянахождения частного решения (28), удовлетворяющего начальным условиям, подставим в общее решение = 0.⎧⎪⎪⎪2 · (2 + 1 ) · 1 + (1 − 2 ) · 2 + 3 = 1;⎨1 · 2 · 1 + 1 · 2 − 3 = 0;⎪⎪⎪⎩2 · (1 + 2 + 1 ) · 1 + (−1 − 1 + 2 ) · 2 = 0.Решим систему относительно неизвестных:⎧⎪ =⎪⎪⎨ 12 =⎪⎪⎪⎩3 =1(1 +2 +1 )·(2 +2 ) ;2(1 +1 −2 )·(2 +2 ) ;1 ·(1 +2 +1 −2 )(1 +2 +1 )·(1 +1 −2 ) .Подставив значения 1 , 2 и 3 в (30), получим искомое ре48шение.
К сожалению, запись уравнений оказалась слишком громоздкой, но тем не менее мы получили аналитическое решениепутем ряда довольно стандартных, рутинных операций, которыелюбой человек, знакомый с основами теории дифференциальныхуравнений, легко может проделать. Аналитическое решение открывает нам большие возможности теоретического исследованияразличных режимов работы системы.Непосредственно из (30) путем предельного перехода найдем установившееся решение:⎧⎪⎪0 =⎪⎨1 =⎪⎪⎪⎩2 =2 ·(2 +1 )(1 +2 +1 )·(2 +2 ) ;1 ·2(1 +2 +1 )·(2 +2 ) ;(31)22 +2 .Запись решения системы уравнений (28), как и промежуточныевыкладки, значительно упрощается, если взять равные интенсивности обслуживания обычных и привилегированных заявок.На рис. 9 представлены графики решения системы уравнений(30), а также предельные вероятности (31) при 1 = 4, 1 = 6,2 = 1, 2 = 4.В приведенном примере предельные вероятности 0 = 0, 509,1 = 0, 291 , 2 = 0, 2 . Как видно на рисунке, графики оченьбыстро прижимаются к соответствующим асимптотам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
