Введение в теорию массового обслуживания (836665), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Здесь мы пропустили собственно сам процесс решения уравнений. Первый способпозволяет получить решение, опираясь на минимальный математический аппарат. Однако в некоторых случаях этот способможет оказаться слишком громоздким. Теперь рассмотрим более компактный метод решения бесконечной системы линейныхдифференциальных уравнений.Второй способ решения системы (5)Введем производящую функцию (, ) =∑︀∞=0 ()· .
Заме-тим, что из (6) следует (0, ) = 1. В уравнениях (5) левые иправые части соответственно индексу при умножим на ипросуммируем отдельно левые и правые части. Тогда∞∑︁′ () · = ·=0∞∑︁=0∞∑︁=1∞∑︁−1 () · − ·=1′ () · = (∞∑︁−1 () · = · () · ; (8)=0 () · )′ ==0∞∑︁∞∑︁(, );−1 () · −1 = · (, ).=117Суммы в левой и правой частях (8) можно переписать в виде(,)= ·(−1)·(, ), после чего решение бесконечной системысводится к решению одного уравнения.((, ))= · ( − 1)((, )) = · ( − 1) · + ||=⇒или(, ) = · ·(−1)· ,где вещественное = . Учитывая равенство (0, ) = 1,получим = 1 и(, ) = ·(−1)· = ·· ·−· =∞∑︁( · )=0!−· · =∞∑︁ ()· .=0Осталось только приравнять в последнем равенстве коэффициенты при степенях . Мы снова получили () =(·) −·.! По-следняя формула в теории вероятностей известна как формулараспределения Пуассона.§ 1.3.
Свойства простейшего потокаНа рис. 1 представлены графики функций (7) при = 0, 1, 2, 3 и = 4 . Взяв (при > 0) производную одной из функций (7) иприравняв ее к нулю, легко найдем точку максимума функции = . Значение вероятности в точке максимума ( ) ==!· − . Хотя мы предполагали > 0, формула =ведлива и при = 0.18спра-Рис. 1.Распределение ПуассонаНетрудно также аналитически доказать еще одну отраженнуюна рисунке закономерность. График каждой функции пересекает график следующей по значению функции в точке ее максимума.Как доказано выше, 0 () = −· – вероятность того, что за время не произойдет ни одного события или, иначе говоря, того,что промежуток между двумя событиями больше .Тогда ( < ) = () = 1 − −· – вероятность того, что время между двумя событиями меньше t, а плотность вероятности () = ′ () = · −· .¯ож = () =∫︁+∞∫︁ () · · =−∞019+∞ · −· · · =1– математическое ожидание времени t между двумя событиями.∫︁2+∞∫︁2 () · · = ( ) =−∞+∞ · −· · 2 · =022– математическое ожидание 2 .() = (2 ) − ( ())2 =1,2() =√︀1() =– соответственно дисперсия и среднее квадратичное отклонениевремени между двумя событиями от ожидаемого.
Иначе говоря,среднее время между заявками на обслуживаниеклонение от среднего такжеи среднее от-.1Заметим также, что ( ) =1!. Теперь определим ожидаемоеколичество событий за время и его разброс. () =∞∑︁ · () ==0= −· · · ∞∑︁·=1∞∑︁=1·( · ) −·=!( · )−1= −· · · (· )′ =!= · .Значит, математическое ожидание количества событий за времяt равно · , а – ожидаемое количество событий, приходящееся на единицу времени. Величину называют интенсивностьювходящего потока, или параметром потока.20Аналогично найдем математическое ожидание 2 :2 ( ) =∞∑︁=02 ·( · ) −··= · + ( · )2 ,!дисперсию и среднее квадратичное отклонение :() = ( 2 ) − [ ()]2 = · ,() =√︀√() = · .Таким образом, ожидаемое количество событий за время равно√ · ± · .§ 1.4.
Простейший нестационарный потокКак было отмечено выше, стационарность потока является всеголишь допущением. По большей части реальные потоки не являются стационарными. Например, интенсивность потока отказовтехнического устройства, как правило, является функцией времени () и на графике (рис. 2) представляет собой известнуюU-образную кривую.
Неисправности приборов случаются чащевсего в начале и в конце срока их эксплуатации. Любопытно,что и человек болеет чаще всего в молодости и в старости. Достоверную статистику по выходу из строя бытовой техники можнонайти в соответствующих мастерских. Естественно, статистикаотказов оборудования ведется на транспорте, на производстве ив других сферах деятельности человека.Для нижней части U-образной кривой характерен пологий уча-21Рис. 2.Кривая отказов технического устройствасток, на котором интенсивность отказов можно считать постоянной (участок AB на рис.
2).Теперь вернемся к заголовку параграфа. Поскольку простейшийпоток мы определили как стационарный, заголовок может показаться противоречивым. Однако в данном случае речь идет всеголишь о новом определении: простейший нестационарный поток– это ординарный поток без последействия. Простейший нестационарный поток также называют пуассоновским потоком.Поскольку в нестационарном потоке вероятность появления k событий на интервале зависит не только от длины интервала, нои от его начала 0 , в дальнейшем будем обозначать (0 , ) вероятность появления k событий на интервале (0 , ) . Добавим кординарности условие, соответствующее условию леммы из § 1.2.22Тогда>1 (, + ℎ) = ∘(ℎ),1 (, + ℎ) = () · ℎ + ∘().(9)Подставим в равенство0 (, + ℎ) + 1 (, + ℎ) + >1 (, + ℎ) = 1выражения (9) и придем к равенству0 (, + ℎ) = 1 − () · ℎ + ∘(ℎ).(10)Подставив (10) в равенство0 (0 , + ℎ) = 0 (0 , ) · 0 (, + ℎ),после несложных преобразований получим:0 (0 , + ℎ) − 0 (0 , )= −() · 0 (0 , ) + ∘(ℎ).ℎ(11)Аналогично (0 , + ℎ) =∑︁ (0 , ) · − (, + ℎ).=0Повторив рассуждения из § 1.2, получим отношение (0 , + ℎ) − (0 , )= −()·[−1 (0 , )− (0 , )]+∘(ℎ).
(12)ℎ23Устремив в (11) и (12) ℎ к нулю, получим бесконечную системудифференциальных уравнений:⎧0 (0 ,)⎪⎪= −() · 0 (0 , );⎪⎪⎪⎪⎪1 (0 ,)⎪= −()(0 (0 , ) − 1 (0 , ));⎪⎪⎨ ...⎪⎪⎪⎪ (0 ,)⎪= −()(−1 (0 , ) − (0 , ));⎪⎪⎪⎪⎪⎩. . .(13)Введем вспомогательную функцию −1 (0 , ) ≡ 0. Тогда (0 , )= () · [−1 (0 , ) − (0 , )].∀ ≥0(14)Введем производящую функцию(0 , , ) =∞∑︁ (0 , ) · .(15)=0Умножим левые и правые части уравнений (14) на соответствующие степени и просуммируем их.∞∑︁ (0 , )=0· = () · [∞∑︁−1 (0 , ) − (0 , ) ],=0(0 , , )= ()·(0 , , )·(−1),24 ln (0 , , )= ()·(−1).Проинтегрируем последнее равенство по :∫︁ln((0 , , )) − ((0 , 0 , )) = ( − 1) ·().0Из начальных условий:0 (0 , 0 ) = 1, 1 (0 , 0 ) = · · · = (0 , 0 ) = · · · = 0 следует∫︀ (0 , 0 , ) = 1. Введем обозначение Λ(0 , ) = 0 () · .
Тогда(0 , , ) = (−1)Λ(0 ,) Λ(0 ,) == −Λ(0 ,) · Λ(0 ,) =∞∑︁[Λ(0 , )] = −Λ(0 ,) ·· .!(16)=0Приравняв в (15) и (16) коэффициенты при соответствующихстепенях , получим: (0 , ) =Пусть[Λ(0 , )] −Λ(0 ,)·.!(17)∫︀ ()Λ(,)0¯== 0 − 0( − 0 )– средняя интенсивность входящего потока на интервале (0 , ),¯ · и уравнение = − 0 – длина интервала. Тогда Λ(0 , ) = (17) примет вид (0 , ) =¯ · ][¯· −· .!Таким образом, мы снова пришли к формуле Пуассона.25Глава 2. Марковская модель СМОФункционирование СМО мы будем рассматривать как случайный процесс с непрерывным временем и дискретныммножеством состояний. Следовательно, в любой момент вре-мени ∈ [0; +∞) система находится в одном состоянии из заданного конечного или счетного набора.Например, в цехе имеется десять однотипных станков. Станкиобслуживает один мастер по ремонту.
Таким образом, соответствующая система может находиться в одном из 11 состояний:0 – все станки исправны, 1 – один в ремонте и девять в рабочем состоянии, 2 – один в ремонте, один в очереди на ремонти восемь работают, . . . , 10 – один в ремонте и девять в очереди. Очевидно, момент отказа станка и время, необходимое дляустранения неисправности, – случайные величины. В процессефункционирования система иногда переходит из одного состояния в другое. Более того, теоретически в любой момент временисистема может находиться в любом из перечисленных выше состояний. Поэтому имеет смысл говорить только о вероятностяхсоответствующих состояний: 0 (), 1 (), 2 () .
. . 10 ().Случайный процесс называется марковским, если для любогомомента времени условные вероятности всех состояний системы в будущем зависят только от состояния системы в момент ине зависят от того, когда и каким образом она пришла в это состояние. Иначе говоря, будущее зависит от прошлого только через настоящее. Марковский процесс называют также процессом26без последействия.
Мы будем считать процесс функционирования СМО марковским. Хотя марковская модель СМО не является единственно возможной, она достаточно адекватно отражаетширокий класс реальных систем.Пусть система в любой момент времени может находиться в одном из возможных состояний , где = 1, 2, . . . . В частности, не исключается случай = ∞. То есть множество исходовне более чем счетно. Иногда нам будет удобней говорить не «состояние », а «i-е состояние». Нумерацию состояний мы частобудем начинать не с единицы, а с нуля. Сделаем допущение, чтовероятность перехода системы за время ℎ из − в − состояниезадается равенством (ℎ) = · ℎ + ∘(ℎ), где ̸= .(18)То есть на небольшом интервале времени вероятность переходасистемы из i-го в j-е состояние пропорциональна длине интервала.
Равенства (18), очевидно, делают процесс марковским. Величину , где ̸= , назовем интенсивностью перехода из i-гов j-е состояние. В общем случае могут зависеть от времени,но здесь мы ограничимся случаем постоянных интенсивностей.Равенства (18) аналогичны равенству, доказанному в первой главе для простейшего потока 1 (ℎ) = · ℎ + ∘(ℎ) . Более того, сампоток однородных событий можно интерпретировать как случайный процесс накопления событий. Пусть () – число собы27тий, произошедших до момента . Каждая реализация такогослучайного процесса представляет собой ступенчатую функцию(рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
