Введение в теорию массового обслуживания (836665), страница 4
Текст из файла (страница 4)
3), значение которой увеличивается на единицу с появлением очередного события.Рис. 3.Простейший поток как случайный процессМожно также связать описанный случайный процесс с системой,имеющей множество состояний , где = 0, 1, 2, . . . , . В данномслучае i – количество событий. Тогда интенсивности переходов:⎧⎨, если = + 1, где , = 0, 1 . .
. ∞; =⎩0, иначе.Здесь под мы, как и в первой главе, подразумеваем интенсивность входящего потока событий. В данном случае на множествесостояний 0 , 1 , 2 , . . . допустимы только переходы слева направо в порядке возрастания номеров.СМО с дискретным множеством состояний мы часто будем схематически представлять в виде направленного графа, вершинами которого являются состояния, а дугами – допустимые переходы из одного состояния в другое.28§ 2.1. Уравнения КолмогороваПусть состояния СМО занумерованы натуральными числами == 1, 2, . .
. . Заметим, что вероятность (18) перехода (ℎ) = ( (+ℎ)/ ()) – условная вероятность, иначе говоря,вероятность того, что система в момент времени + ℎ оказаласьв состоянии при условии, что в момент система находиласьв состоянии . Разумеется, = 1, 2, . . . .Если здесь настоящее, то, таким образом, вероятности всех возможных состояний в будущем зависят только от состояния в настоящем. Обозначим также (ℎ) = ( ( + ℎ)/ ())– вероятность того, что система за время ℎ не изменит текущеесостояние. Поскольку находящаяся в состоянии система завремя ℎ либо перейдет в какое-либо иное состояние, либо останется в ,∑︁ (ℎ) = 1, откуда (ℎ) = 1 −=1∑︁ (ℎ).̸=По формуле полной вероятности ( + ℎ) =∑︁ () · (ℎ) + () · (1 −̸=∑︁̸=29 (ℎ)).Подставим в последнюю формулу значения из (18), получим: ( + ℎ) =∑︁ ()( · ℎ + ∘(ℎ)) +̸=+ () · (1 −∑︁( · ℎ + ∘(ℎ))) ≠==∑︁ · ℎ · () + () · (1 −̸=Отсюда∑︁ · ℎ) + ∘(ℎ).̸=∑︁ ( + ℎ) − () ∑︁= · () − ().ℎ̸≠=Устремив ℎ к нулю, получим линейное дифференциальное уравнение, соответствующее k-му состоянию системы:′ () =∑︁ · () −̸=∑︁ ().(19)̸=Уравнения (19) для всех состояний СМО образуют систему уравнений Колмогорова, описывающую работу произвольной СМО спостоянными интенсивностями переходов:⎧∑︀⎪⎪1′ () = − ̸=1 1 · 1 () + 21 · 2 () + · · · + 1 · ();⎪⎪⎪⎪∑︀⎪ ′⎨2 () = 12 · 1 () − ̸=2 2 · 2 () + · · · + 2 · ();⎪⎪...⎪⎪⎪⎪⎪⎩ ′ () = 1 · 1 () + 2 · 2 () + · · · − ∑︀̸= · ().Начальные условия обычно имеют вид 1 (0) = 1 , 2 (0) = 3 (0) == · · · = (0), поскольку в начале работы СМО находится в неко30тором исходном состоянии.Рассмотренной выше СМО соответствует полный направленныйграф, т.
е. допускаются переходы из любого состояния в любоедругое. Граф реальной СМО, скорее всего, окажется неполным.Однако для нас это будет означать только то, что в системе уравнений (19) некоторые интенсивности переходов следует приравнять к нулю.§ 2.2. Одноканальная СМО с отказамиСамая простая СМО – одноканальная с отказами (рис. 4).Рис. 4.Одноканальная СМО с отказамиЭта система в любой момент времени может находиться в одномиз двух состояний. Состояние 0 – единственный канал свободен, 1 – канал занят обслуживанием заявки. Если в моментпоступления очередной заявки канал занят, заявка получает отказ, т. е. теряется. Как видно на схеме, интенсивности переходов01 = и 10 = . Здесь – интенсивность входящего потока, – интенсивность потока обслуживания. Предполагается, чтовремя обслуживания – случайная величина с экспоненциальнойплотностью распределения () = · −· .
То есть время обслуживания распределено по тому же закону, что и время между31двумя соседними заявками. Таким образом, для вероятностейпереходов выполняются равенства (18):01 (ℎ) = · ℎ + ∘(ℎ) и 10 (ℎ) = · ℎ + ∘(ℎ).Математическое ожидание времени обслуживания¯обсл = () =∫︁+∞∫︁+∞ () · · =−∞ · −· · · =01.Это соответствует полученному в первой главе результату длявремени ожидания очередной заявки ¯обсл = 1 . Естественновозникает вопрос: «Не несет ли в себе параметр смысл, аналогичный смыслу интенсивности простейшего потока ?».
Действительно, можно определить как ожидаемое количество обслуживаемых в единицу времени заявок при условии, что каналобслуживания работает непрерывно. На самом деле канал обслуживания иногда простаивает, и потому не совпадает с интенсивностью выходящего потока, т. е. потока обслуженных заявок.Запишем систему уравнений Колмогорова для одноканальнойСМО с отказами:⎧⎨ ′ () = − · 0 () + · 1 ();0⎩ ′ () = · () − · ().101Начальные условия 0 (0) = 1 и 1 (0) = 0 , т.
е. в начале работы32система готова принять заявку. Подставив в первое уравнение1 () = 1 − 0 (), получим 0′ () + ( + ) · 0 () = .(20)Решение1. Найдем решение соответствующего однородного уравнения:0′ () + ( + ) · 0 () = 0.0= −( + ) · = 0 =⇒ 0 () = −( + ) · + | |,0где − . Тогда 0 () = · −(+)· .2.
Найдем одно частное решение исходного уравнения в виде() = методом неопределенных коэффициентов. Подставив () = в (20), получим ( + ) · = . Таким образом,() =+ .3. Общее решение неоднородного линейного уравнения складывается из общего решения соответствующего однородного и произвольного частного решения. Следовательно, общее решение уравнения (20) будет иметь вид0 () = · −(+)· +Из условия 0 (0) = 1 вытекает =0 () =.++и искомое решение1· ( + · −(+)· ).+331 () найдем как 1 − 0 () и представим результат в виде⎧⎨0 () =⎩ () =11++Заметим, что lim 0 () =→+∞· ( + · −(+)· );· (1 −−(+)· ).(21), lim 1 () =. + →+∞+Таким образом, графики 0 () и 1 () на бесконечности стремятся к некоторым асимптотам.Значения 0 () =+и 1 () =+называют установивши-мися решениями, а также предельными вероятностями,или стационарными вероятностями.
В установившихся решениях после мы не пишем в скобках .На рис. 5 представлены графики вероятностей состояний системы на временном интервале [0; 2]. Как видно, графики оченьбыстро сливаются с асимптотами. В таких случаях часто сосредотачивают внимание на установившихся решениях.
И все жеиногда, например, когда речь идет о запуске космического корабля, крайне важно поведение системы именно на начальномвременном интервале. На графиках представлены три решенияпри различных отношениях между интенсивностью входящегопотока заявок и интенсивностью обслуживания и, соответственно, три варианта установившегося решения:1. < – система чаще свободна, чем занята обслуживаниемзаявок;34Рис. 5.c)Одноканальная СМО с отказами: a)=3и=4и = 2,b)=2и = 4,=32.
> – система чаще занята;3. = – система простаивает ровно в половине случаев.Установившиеся решения можно получать и непосредственно изуравнений Колмогорова. Для этого достаточно в одном из уравнений (19) заменить переменные () на константы и доба35вить условие∑︀ = 1.Для рассмотренной в этом параграфе СМО система уравненийпримет вид⎧⎨− · 0 () + 1 = 0;⎩ () + = 1.0(22)1Разумеется, ее решение совпадет с результатом, полученным выше путем предельного перехода.Характеристики одноканальной СМО с отказами1.
Ожидаемое время между двумя последовательнымизаявками1¯Ожид = .2. Ожидаемое время обслуживания заявки1¯Обсл = .3. Относительная пропускная способность () = 0 ()– доля обслуженных заявок в общем количестве поступивших. В данном случае эта величина совпадает с вероятностью того, что единственный канал обслуживания в момент свободен.В пределе = 0 =36.+4. Абсолютная пропускная способность () = · () == · 0 () – среднее число обслуживаемых в единицу времени заявок.В пределе = ·0 =·.+Поскольку каждая принятая заявка будет обслужена, этавеличина здесь совпадает с интенсивностью выходящегопотока.5.
Ожидаемая доля необслуженных заявок среди поступивших в момент : отк () = 1 () = 1 − ().В пределеотк =.+Обратим внимание на тот факт, что рассмотренная в этомпараграфе система имеет два выходящих потока заявок. Впредельном случае: = · 0 =·+– интенсивность потока обслуженных заявок и = · 1 =2+– интенсивность потока потерянных заявок.37§ 2.3. Дублированная СМО с восстановлениемТеперь рассмотрим одну классическую задачу теории надежности. Некоторое устройство в процессе работы может выходить из строя.
Имеется резервное устройство, которое в случаенеисправности основного автоматически включается в работу.В этот же момент начинается восстановление основного. Будемсчитать, что резерв ненагруженный, т. е. во время работы основного устройства резервное не может потерять работоспособность.Пусть – интенсивность потока отказов, – интенсивность восстановления. Тогда 1 = ¯отк – ожидаемая наработка на отказ,т. е. среднее время работы устройства до его отказа,– ожидаемое время1= ¯восствосстановления неисправного устройства,т. е.
среднее время устранения неисправности.Изначально система находится в состоянии 0 – работает основное устройство. В случае выхода из строя основного устройства,система переходит в состояние 1 – работает резервное устройство. Если во время работы резервного устройства было восстановлено основное, система возвращается в 0 . Если же до восстановления основного устройства вышло из строя резервное, система переходит в состояние 2 , что фактически означает прекращение работы системы.Составим по изображенной на рис. 6 схеме систему уравнений38Колмогорова:⎧⎪ ′ () = − · 0 () + · 1 ();⎪⎪⎨ 01′ () = · 0 () − ( + ) · 1 ();⎪⎪⎪⎩ ′2 () = · 1 ().Рис. 6.(23)Дублированная СМО с восстановлениемНачальные условия: 0 (0) = 1 и 1 (0) = 2 (0) = 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
