Моральное ожидание в математических моделях (835795)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Министерство образования и науки РФГосударственное образовательное учреждение высшегопрофессионального образованияПЕТРОЗАВОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТЕ. К. БелыйМоральное ожидание в математическихмоделях экономических явленийУчебное пособиеПетрозаводскИздательство ПетрГУ2010УДК 330.4ББК 65в631Б439Математический факультет ПетрГУ рекомендует к изданию учебноепособие Е. К. Белого «Моральное ожидание в математических моделяхэкономических явлений»Автор выражает благодарность декану экономического факультетаПетрГУ профессору Владимиру Борисовичу Акулову, которому онобязан своим первым знакомством с экономической теорией.Р е це н зе н ты:С.

С. Платонов, профессор каф. геометрии и топологии ПетрГУ,доктор физ. - мат. наук;Т. В. Морозова, ведущий научный сотрудник Института экономикиКарНЦ РАН, доктор экономических наукБ439 Белый Е. К.Моральноеожиданиеэкономических явлений /вматематическихмоделяхЕ. К. Белый. – Петрозаводск : Изд-воПетрГУ, 2010. – 52 с.ISBN 978-5-8021-1134-5Учебноематематическогопособиефакультета,предназначенодлястудентовизучающихспецкурс«Теорияполезности денег», а также для всех интересующихся экономическойтеорией.УДК 330.4ББК 65в631ISBN 978-5-8021-1134-5© Белый Е. К., 2010© Петрозаводский государственныйуниверситет, 20102СодержаниеВведение …. ..…………………………………………….... 41. Задача страхования риска ……………………………..... 9§ 1.1.

«Все или ничего» …….……………………...……. 9§ 1.2. Задача о купце …….…………………………….. 11§ 1.3 Разность предельных значений …….………….…152. Петербургский парадокс ....……………………………. 173. Задача Олигарха ….………..………………………….. 204. Диверсификация портфеля ценных бумаг ……..…….. 23§ 4.1. Постановка и решение задачи .……….………… 24§ 4.2. Удаление «лишних» бумаг из портфеля ..……… 28§ 4.3.

Примеры .……………………………….……….. 345. Задачи для самостоятельной работы .…………………. 45Заключение ……………………………………….….……. 47Биографические справки .……………………….….……. 48Список литературы .……………………………………… 503ВведениеВ 1738 году Даниил Бернулли в работе «Опыт новойтеории измерения жребия» [5] выдвинул предположение,согласно которому приращение полезности, вызванноеэлементарнымприращениемсостояния,обратноdCпропорционально величине состояния: dZ  k , где Z –Cполезность состояния, C – величина состояния, а k  0 –вещественная константа. Из предположения следуетлогарифмическая зависимость полезности денег от ихколичества: Z  k * ln(C )  a .

Такая зависимость являетсяпримеромклассическойфункцииполезностииудовлетворяет условиям: с увеличением количества блага его полезностьрастет; с увеличением количества потребляемого благаполезность каждой следующей его порции снижается.Таким образом, для любой классической функцииполезности f  x  справедливы утверждения f  x   0 иf  x   0 , то есть функция возрастает и выпукла вверх.Классическая функция полезности отражает поведение«человека осторожного». Действительно, пусть f x  –классическая функция полезности, а случайная величина xпринимает значения x1 и x2 с вероятностями  и 1  соответственно, где   0;1 .

ТогдаM  x     x1  1     x 2 иM  f  x     f ( x1)  1     f ( x 2) .4На рисунке 1 AB  f M  x  , AC  M  f  x  и AB  AC .Математическое ожидание полезности жребия (AC)меньше полезности гарантированной суммы M  x  ,соответствующей отрезку длины AB.Рис. 1. Гарантированная сумма M(x) привлекательней жребия сматематическим ожиданием M(x)Как видно из рисунка, полезность жребия сматематическим ожиданием M x  , равную AC, можнополучить, располагая гарантированной суммой x 3 . Такимобразом, жребий с математическим ожиданием M  x выгодно обменять на гарантированную сумму x g , гдеx 3  x g  M ( x) , уплатив, таким образом, суммуM ( x)  x g за избавление от риска.

Гарантированная суммаx 3  M ( x) для нас равнозначна жребию с математическиможиданием M(x). Следовательно, гарантированная сумма5M(x) всегда будет привлекательней жребия сматематическим ожиданием M(x). Отсюда следует, чтолюбая честная игра, если под таковой понимать игру, вкоторой с равной вероятностью можно выиграть илипроиграть одну и ту же сумму, для нас заведомонепривлекательна. Действительно, увеличение состоянияна некоторую величину C дает увеличение общейполезности меньшее, чем снижение полезности приуменьшении состояния на ту же величину C .

Тем болеенепривлекательна любая лотерея, где математическоеожидание выигрыша меньше стоимости билета. Такимобразом, классическая функция полезности не отражаетповедение «игрока». И все-таки люди не только играют в«честные» азартные игры, но и покупают лотерейныебилеты, когда стоимость билета выше математическогоожидания выигрыша! Один и тот же человек можетстраховать себя, свой дом и машину от всех возможныхнеприятных случайностей, то есть платить деньги заизбавление от рисков, и одновременно покупатьлотерейные билеты.

Таким образом, классическая функцияполезности не всегда адекватно отражает поведениелюдей, причем людей по всем признакам вполнеразумных. Поэтому около пятидесяти лет назадамериканский экономист, лауреат Нобелевской премии поэкономике 1976 года Милтон Фридмен предположил, чтографик функции полезности может иметь как участки,выпуклые вверх, так и участки, выпуклые вниз. В работе[1] исследован широкий класс функций Фридмена.

Однакомы преследуем достаточно скромные цели. В настоящейработе мы будем придерживаться функции полезностивида Z  k * ln(C )  a . Независимо от значений a и k такаяфункция порождает одну и ту же оценку случайной6величины x, которую Пьер Симон Лаплас назвалморальным ожиданием. Мы же будем говорить или оморальном ожидании нулевого порядка или, когдаисключены недоразумения, просто о моральныможидании. Обозначать такую оценку случайной величиныбудем x или, когда хотим подчеркнуть ее зависимость отсостояния, M r  x, C  .

Эта оценка жребия непосредственнополучается из равенстваnln x  C   p i  ln x i  C  .i 1nТаким образом, M r  x, C   x   x i  C  pi  C ,(1)i 1где pi – вероятность значения xi,i  1,2  n .Математическое ожидание как обычно будем обозначатьx или M  x  . Как уже отмечено выше, моральноеожидание нулевого порядка отражает оценку жребия«человеком осторожным». Приведем основные свойстваморального ожидания нулевого порядка. Свойства морального ожидания (нулевого порядка):Моральное ожидание строго монотонно возрастаетс ростом величины состояния C.Предел морального ожидания при состоянии C,стремящемся к бесконечности, равен математическомуожиданию: lim Mr  x, C   M  x  .C Моральноеожиданиестрогоменьшематематического: Mr  x, C   M x  .7Mr  x  a, C   Mr  x, C  a   a , где a – произвольнаявещественная константа. CMr a  x , C   a  Mr  x ,  , где a – произвольная aположительная вещественная константа.x lim k  Mr  , C   M ( x) ,гдеk–k k натуральное число.Доказательство перечисленных выше свойств (дляморального ожидания произвольного порядка) можнонайти в работе [1].В основу настоящей работы легли материалы спецкурса«Теория полезности денег», читаемого автором длястудентов математического факультета Петрозаводскогогосуниверситета.

В работе рассмотрен ряд задач, вкоторых «не работает» математическое ожидание, нооценка случайной величины (жребия) по моральномуожиданию приводит к результатам, адекватным поведениюреальных экономических субъектов. Особое вниманиеуделено оптимальному по моральному ожиданиюпортфелю ценных бумаг.81. Задача страхования риска§ 1.1. «Все или ничего»Допустим, Вы получили возможность сыграть вследующую игру. Бросается монета и, если выпадет«орел», Вы получите сорок тысяч долларов.

В противномслучае – ничего! Обозначив случайную величинувыигрыша x, а ее вероятность – p, составим таблицураспределения вероятностей выигрышей:X 040P 0,5 0,5По математическому ожиданию оценка жребия равнаx11 0   40  20 .22И вот, некто предложил Вам продать емуэтот жребий за восемнадцать тысяч долларов. Как бы нихотелось получить 40 тысяч, риск остаться ни с чем оченьвелик и, возможно, Вы согласитесь поменять жребий напредлагаемую гарантированную сумму.

Насколькоразумен будет такой поступок? В соответствии с теориейБернулли, сделка покажется Вам привлекательной, еслиоценка жребия по моральному ожиданию будет меньше 18тысяч, то есть x  18 . В случае равенства Вам безразлично,продавать жребий или нет. И так0, 50, 52C  C  40  C  18 или C  40  C  C  18 .Решив последнее неравенство, получим C  81. Такимобразом, жребий стоит продать, если Ваше состояниеменьше 81 тысячи долларов.

Далее в таких случаях будемговорить, что предельное значение Продавца равно 819тысяче. Таким образом, если Продавец уступит жребий за18 тысяч, он заплатит 2 тысячи за избавление от риска.Здесь существенно то, что мы имеем дело не с массовым, ас единичным явлением. В соответствии с законом большихчисел, если бы владелец жребия постоянно играл вподобную игру, относительная частота выигрышейоказалась бы близкой к вероятности выпадения «орла»p12и он получал бы в среднем около 20 тысяч с игры.Тогда он категорически отверг бы предложениеПокупателя продать ему жребий за 18 тысяч.А что можно сказать о человеке, который решился купитьжребий? В случае неудачи он теряет 18 тысяч, а в случаеуспехаприобретает40  18  22тысячи.Таблицараспределения вероятностей выигрышей принимает вид:X -18 22P 0,5 0,5Математическое ожидание на стороне Покупателя и равноx11  18   22  2 ,22хотя интуиция подсказывает нам, чтоПокупатель здесь рискует больше, чем Продавец.

Покупкацелесообразна, если x  0 или C  18  C  22  C  0 . РешивC  99 .Значит,сделканеравенство,получимпривлекательна для Покупателя, если его состояниебольше 99 тысяч долларов. Далее в таких случаях будемговорить, что предельное значение Покупателя равно 99тысячам. Итак, сделка будет привлекательной для обеихсторон, если состояние Продавца меньше 81 тысячи, асостояние Покупателя больше 99 тысяч.10Определение 1.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов книги