Моральное ожидание в математических моделях (835795), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Такимобразом, при прочих равных условиях, с ростомнеопределенности,моральноеожиданиежребияснижается.Исследуем вопрос о целесообразности финансированияпредвыборной кампании. Финансирование кампании имеет21смысл, если Mr  x, C   R , то есть, если ожидаемая отдачапокрывает расходы на предвыборную кампанию.k  R  nCC  R.2E(3)Введем обозначение N  2 E . Таким образом, N –количество равновероятных исходов, дающее значениеэнтропии, равное энтропии жребия Олигарха E.

Пусть  –доля состояния S, потраченная Олигархом напредвыборную кампанию. Тогда R    S и C  1     S .Сделав соответствующие подстановки в (3), придем кравенству k  n  *   N  n . Поскольку наибольшеезначение энтропии получается в случае равенствавероятностей всех возможных исходов,всегдавыполняется неравенство N  n . Например, в случаеПетербургского парадокса мы столкнулись с ситуацией,когда значение энтропии 2 достигается при бесконечномчисле исходов. Но энтропия равна двум и при четырехравновероятныхисходах.Такимобразом,если«коэффициент благодарности» k больше количествакандидатов n, то есть, если k  n  0 , финансированиекомпании целесообразно при любом   0;1 . Если жеk  n , доля состояния, затраченная на предвыборнуюnNкампанию, должна удовлетворять неравенству  .nk224.

Диверсификация портфеля ценных бумагЦенная бумага – документ, удостоверяющий ссоблюдением установленной формы и обязательныхреквизитов имущественные права, осуществление илипередача которых возможны только при его предъявлении.С передачей ценной бумаги все указанные права переходятв совокупности. В определенных случаях дляосуществления и передачи прав, удостоверенных ценнойбумагой, достаточно доказательств их закрепления вспециальном реестре (обычном или компьютеризованном).Доходность ценной бумаги – отношение дохода,полученного инвестором за время владения ценнойбумагой, к затратам на ее приобретение. Доходностьобычно определяется в процентах. Также доходностьценной бумаги определяют как отношение годовогодохода по ценной бумаге к ее рыночной цене, то есть какнорму прибыли, получаемой владельцем ценной бумаги.В общем случае доходность ценной бумаги величинаслучайная и, как правило, высокодоходные ценные бумагиявляютсяодновременноисамымирисковыми.Естественно желание держателя бумаг получить больше,рискуя поменьше.

В идеале это недостижимо иформирование портфеля идет по пути компромисса.Наиболее известные подходы к проблеме диверсификациипортфеля ценных бумаг предполагают либо минимизациюриска при фиксированной эффективности портфеля, либодостижениемаксимальнойэффективностипрификсированном риске [3; 149–155]. При этом обычно, как вслучае портфелей Г. Марковица и Д. Тобина [3; 155–164],за меру эффективности принимают математическоеожидание доходности портфеля, а за меру риска –23вариацию доходности (то есть ее дисперсию). Такойподход вызывает ряд вопросов.Во-первых, насколько вариация портфеля действительноотражает риск? Так, при даже не большой вариации малаявероятность полного разорения может заставить Васотказаться от портфеля.

Во-вторых, в портфеляхМарковица и Тобина учитываются только такиехарактеристики случайных величин доходности бумаг, каких математические ожидания и вариации. Вариация двухслучайных величин, то есть их ковариация является меройлинейности связи между ними. Однако на практикезависимости могут и должны иметь более сложныйхарактер. Следовательно, здесь мы имеем дело супрощением, благодаря которому тесная нелинейнаязависимость иногда будет восприниматься как отсутствиезависимости. И наконец, выбор стратегии реальнымэкономическим субъектом в значительной мере зависит отего состояния, поскольку от состояния зависит сама егооценка жребия. Не может быть одна оптимальнаяструктура портфеля ценных бумаг для бедняка имиллионера.Моральное ожидание в отличие от математическогонеявно учитывает фактор риска.

Таким образом, мы будемискать портфель, имеющий максимальное моральноеожидание [2, 4].§ 4.1. Постановка и решение задачиЧтобы избежать громоздких выражений и сохранитьнаглядность, рассмотрим портфель из трех ценных бумагсо случайными величинами доходности x, y и z. Пусть pi,j,k– вероятность появления тройки ( x i , y j , z k ) , где24i  1,2  n , j  1,2  m и k  1,2  l . Под доходностьюценной бумаги мы понимаем доход на единицу средств,затраченных на приобретение этой бумаги. В дальнейшембудем отождествлять случайную величину доходностибумаги с самой бумагой. Итак, в портфель можноположить одну из бумаг x, y или z или же их комбинациюс доходностью   x    y    z .

Денежную сумму,затраченную на приобретение портфеля ценных бумаг,примем за единицу. Разумеется, тогда и остальноесостояние покупателя должно измеряться в тех жеединицах. Теперь сформулируем задачу следующимобразом:x  maxпри ограничениях  ,  ,  0      1 xi  C  0 . y C  0 j z k  C  0Здесьx ,  ,    i, j , kВместомаксимального (4)  xi    y j  z k C значенияxбудемpi , j ,kC .искатьмаксимум ln x  C . Для этого введем множительЛагранжа  и, учитывая второе из ограничений (4),рассмотрим функцию25F  ,  ,  ,     p i, j , k  ln   x i    y j    z k  C           1i, j , kОткудаxi'   p  0F ,,ijkCyxzkii, j , kjy 'i  0 F    p i, j , k Cyxzkii, j , kjzi F '   p  0i,j,k  xi    y j    z k  Ci,j,kили x  M xyzC y  M    x    y    z  C  z  M    x    y    z  C После ряда преобразований выражений (5) получим26(5) xC  1M xyzC yC  1M    x    y    z  C  zC  1M    x    y    z  C (6)1  x    y    z  C   1  C  M Определение 2.

Пусть x – случайная величина выигрыша.Тогда величину x+C, где С – состояние игрока, будемназывать итоговой величиной. Аналогично, если xi – одноиз значений случайной величины x, то x i +С –соответствующее итоговое значение.Все переменные, входящие в равенства (6), должныудовлетворять ограничениям (4). Заметим, что  x    y    z  C    (x  C)    ( y  C)    (z  C)и результаты, представленные равенствами (6), можносформулировать так: в оптимальном портфелематематическое ожидание отношения итоговогозначения любой входящей в портфель бумаги китоговому значению всего портфеля равно единице.Сказанное верно только для бумаг, реально входящих впортфель, то есть для бумаг, доля которых в портфелебольше нуля.

Равенства, аналогичные (6), нетруднополучить для любого количества ценных бумаг.Оптимальные значения  ,  ,    0 можно найтичисленными методами.27§ 4.2. Удаление «лишних» бумаг из портфеляПрименительно к задаче диверсификации портфеляценных бумаг представляет интерес проблема удаления«лишних» бумаг из портфеля до решения задачи поискаоптимального портфеля. Поскольку в нашем случае задачарешается численно, уменьшение количества бумаг можетзначительно уменьшить объем вычислений. Так, если влюбом возможном наборе значений величин трехитоговых доходностей  x i , y j , z k выполняетсянеравенство x i  y j , то первая бумага при любом исходепредпочтительней второй и вторую очевидно можноудалить из портфеля.

Однако такое явное преимуществоодной бумаги над другой вряд ли может наблюдатьсячасто. В этом разделе мы предлагаем менее очевидныйкритерий поиска «лишних бумаг», который позволитзначительно сократить набор бумаг, претендующих наместо в портфеле. При этом предложенный метод непретендует на стопроцентное удаление всех «лишнихбумаг».Для краткости введем замену переменных: x+C=X,y+C=Y и z+C=Z. Таким образом, вместо значенийдоходностей ценных бумаг мы будем рассматривать ихитоговые значения. Разумеется, X , Y , Z  0 .

При этом также и итоговые доходности ценных бумаг будемотождествлять с самими бумагами.Начнем с более простой ситуации. Для начала пустьпортфель формируется из двух ценных бумаг X и Y. Тогда,28если обе бумаги реально входят в портфель, должнывыполняться условия X 1M  ,   0;1    X    Y , где .Y   1M  1    X    Y (7)Вычтем из первого равенства второе и сделаем замену  1   . Таким образом, оптимальная доля первойбумаги в портфеле должна удовлетворять уравнениюX YM   0 .(8)   X  Y   Y Введем обозначениеX Y .   X  Y   Y     M (9)2 X YПоскольку      M     0 , функция    X Y Y     строго монотонно убывает на интервале   0;1 .Значит, уравнение (8) будет иметь решение на интервале 0  0  0;1 тогда и только тогда, когда .

Подставив 1  0в (9) значения  , равные соответственно 0 и 1, получим29X X Y   M    1,Y  Y  X Y Y  1  M   1 M   . X X 0  M Таким образом, XM    1  0Y 1  M  Y   0X XM  Y  M  Y  X 1.1(10)Рис. 6. График функции φ(α) на интервале [0;1]В случае  0   0 бумага X должна быть удалена изпортфеля. Аналогично при  1  0 следует удалитьбумагу Y. Значит, бумага X не войдет в портфель, если30 X M  YM  Y  X 1, а бумага Y, если 1 XM  Y M  Y  X 1. 1 XM  Y   1Случай   M  Y   1  X можно сразу исключить из рассмотрения.

Характеристики

Список файлов книги