Моральное ожидание в математических моделях (835795), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Действительно,среднее арифметическое больше среднего гармонического.Равенство достигается только тогда, когда случайнаявеличина перестает быть таковой, и такая ситуация нас неинтересует. Следовательно,1XM   Y  M Y  XXY  M    M    1.Y XВ последнем неравенстве оба математических ожидания немогут быть меньше единицы.Определение 3. Будем говорить, что ценная бумага Xдоминирует ценную бумагу Y (или Y доминируется X) иписать X  Y (соответственно Y  X ), если выполняется31 XM  Yсистема неравенств   M  Y  X 1. 1Исследуем свойства отношения доминирования.I. X  Z и Y  Z  X    Y  Z для любых ,   0;1 таких, что     1 . XMДоказательство:   YM  Y  X 1 1   X   Y XY M    M      M        1.ZZZСледовательно,   X    Y  Z , что и требовалосьдоказать.II.

Z  X и Z  YZ    X    Y для любых ,   0;1 таких, что     1 .Доказательство:1Из выпуклости вниз функции f ( x)  следуетx111f M x   M  f (x)  или.     x1    x 2x1x232Поскольку ZM  X   1 ,  M  Z   1  Y ZZZ    M      M        1 .M XY   X   Y Следовательно, Z    X    Y , что и требовалосьдоказать.Из первых двух свойств следуют утверждения III–V.III. Если бумага X доминируется всеми остальнымибумагами, то бумагу X следует исключить из портфеля.IV. Если бумага X доминирует все остальные бумаги, то впортфеле следует оставить единственную бумагу X.V.

Пусть бумаги, из которых формируется портфель,можно разбить на два набора А и B такие, что если X  Aи Y  B , то X  Y . Тогда любая комбинация бумаг изнабора A доминирует любую комбинацию бумаг изнабора B. Следовательно, весь набор бумаг B следуетисключить из портфеля.Однако приведенные выше утверждения не позволяютпревратить процесс поиска «лишних» бумаг в формальнуюпроцедуру, поскольку имеют место также и утвержденияVI–VII.VI.Определенноетакимобразомотношениедоминирования в общем случае не обладает свойством33транзитивности, то есть из X  Y и Y  Z не следуетотношениеX  Z . Смотрите пример 4.3.3.VII.

Если в портфеле ценных бумаг ни одна из бумаг недоминирует другую это еще не означает, что все бумагипопадут в оптимальный портфель. Смотрите пример 4.3.6.Определение 4. Пусть дан набор из m ценных бумаг сi  i  C , гдеитоговыми значениями доходностиi  1,2 m .XТогдаматрицуMd,xтакую,что i Xi x  C  , будем называть матрицейMMMd i, j j jY  y Cдоминант.§ 4.3.

ПримерыПроиллюстрируем изложенную выше теорию на рядепримеров. Решая задачу диверсификации портфеля ценныхбумаг, мы приняли сумму, затраченную на приобретениепортфеля, за единицу. Очевидно, остальное состояние Cдолжно измеряться в тех же единицах. Так, в примерах4.3.1–4.3.6 мы положили C=0,5. Последнее означает, чтонекто вложил в ценные бумаги две трети своего состояния.Исходные данные представлены в виде таблиц, строкикоторых отражают равновероятные исходы – значениядоходности x1 , y 1 , а также итоговые значения X 1 , Y 1В примерах часто для каждого набора бумаг мы будемсначала находить численными методами оптимальноерешение, а затем матрицу доминирования.344.3.1 Пусть исходный портфель содержит всего 2 бумаги xи y.

При этом имеется 8, представленных в таблице,равновероятных исходов  x, y  .№12345678x0,300,280,270,260,220,250,200,18y0,100,110,120,130,150,170,190,22X0,800,780,770,760,720,750,700,68Численное решение:  ;    1;0  .Приэтомматрицадоминант1.156  1 , то есть X  Y .Md  1  0.876Y0,600,610,620,630,650,670,690,72имеетвид4.3.2 Пусть исходный портфель опять содержит 2 бумаги xи y. Имеется 8 равновероятных исходов  x, y  .№12345678x0,300,280,270,260,220,250,200,18y0,180,200,250,220,260,270,280,3035X0,800,780,770,760,720,750,700,68Y0,680,700,750,720,760,770,780,80Численное решение:  ;    0.5;0.5 .Приэтомматрицадоминантимеетвид11.005 , то есть ни одна из бумаг неMd  1 1.005доминирует другую, что согласуется с численнымрешением.4.3.3 Пусть исходный портфель содержит 3 бумаги x, y и z.Имеется 4 равновероятных исхода x, y, z  .№1234x0,900,860,040,05y0,540,560,300,33z0,340,360,740,78X1,401,360,540,55Y1,041,060,800,80Z0,840,861,241,28XY XM    0.0992 , M    0.941 , но M    1.028 .

ТоY ZZесть X  Y , Y  Z , но не имеет место отношение X  Z .Что соответствует утверждению VI о нетранзитивностиотношения доминирования.4.3.4 Исходный портфель содержит 4 бумаги x, y, z и t.Имеется 8 равновероятных исходов  x, y, z , t  .№12345x0,300,280,270,260,22y0,100,110,120,130,15z0,320,300,260,220,10t0,100,120,140,180,2236X0,8000,7800,7700,7600,720Y0,6000,6100,6200,6300,650Z0,8200,8000,7600,7200,600T0,6000,6200,6400,6800,7206780,250,200,180,170,190,220,150,180,240,180,140,120,7500,7000,6800,6700,6900,7200,6500,6800,7400,6800,6400,620Численное решение:  ;  ,  ,    1;0;0;0  .1.156 1.04 1.151  110.911 1.001  0.8761.Матрица доминант Md  0.968 1.11911.119  0.875 1.005 0.9151 Как видно, первая бумага доминирует все остальные.Значит, следует взять в портфель только первую бумагу(утверждение IV), что согласуется с численным решением.4.3.5 Исходный портфель содержит 4 бумаги x, y, z и t.Имеется 8 равновероятных исходов  x, y, z , t  .№12345678x0,820,800,300,300,250,250,200,38y0,700,720,280,320,240,240,220,40z0,640,360,740,780,220,240,230,35t0,820,800,300,250,240,300,240,50X1,321,300,800,800,750,750,700,88Y1,201,220,780,820,740,740,720,90Z1,140,861,241,280,720,740,730,85Численное решение:  ;  ,  ,    0;0;0.681;0.319  .37T1,321,300,800,750,740,800,741,001.018 0.9999 0.98  110.977 0.964  0.984Матрица доминант Md  .1.079 1.09211.065  1.023 1.041 1.0251Таким образом, здесь исходное множество ценных бумагразбивается на два набора A  Z ; T  и B  X ; Y  .

Приэтом любая бумага из первого набора доминирует любуюбумагу из второго. Значит, в соответствии с утверждениемV весь второй набор следует исключить из портфеля, чтоопять согласуется с численным решением.4.3.6 Исходный портфель содержит 4 бумаги x, y, z и t.Имеется 8 равновероятных исходов  x, y, z , t  .№12345678x0,860,900,300,300,250,250,250,38y0,700,880,280,400,270,240,260,4z0,340,360,740,780,220,240,180,32t0,820,800,300,250,240,300,240,50X1,3601,4000,8000,8000,7500,7500,7500,880Y1,2001,3800,7800,9000,7700,7400,7600,900Z0,8400,8601,2401,2800,7200,7400,6800,820T1,3201,3000,8000,7500,7400,8000,7401,000Численное решение:  ;  ,  ,    0.426;0;0.176;0.398 .381.002 1.094 1.002  111.081 1.005 1.002Матрица доминант Md  .1.021 1.0111.024 1.002 1.003 1.0911Здесь приведена ситуация, возможность которойзафиксирована в утверждении VII, когда ни одна из бумагне доминирует другую, но тем не менее в портфеле есть«лишняя» бумага.Таким образом, мы имеем возможность во многих (но невсех) случаях удалять «лишние» бумаги, исходя из видаматрицы доминант.4.3.7.

В отличии от портфелей Г. Марковица и Д. Тобинаоптимальный по моральному ожиданию портфель зависитот состояния индивида. Поскольку сумму, которую онтратит на портфель, мы приняли за единицу, зависимостьмежду состоянием и долей состояния, затраченной напортфель, будет выражаться отношениями11 d или C   1 ,d1 Cгде d – доля всего состояния, затраченная на ценныебумаги.Пусть исходный портфель опять содержит 4 бумаги x, y, zи t.

Имеется 8 равновероятных исходов  x, y, z , t  , какпоказано в таблице.№12x0,400,84y0,700,8039z0,900,74t0,400,78345678m0,900,700,680,800,600,900,7280,800,900,700,950,900,100,7310,900,630,800,670,520,620,7230,900,760,740,760,680,800,727В последней строке таблицы m – математическиеожидания соответствующих бумаг. Тогда результатырасчета портфеля можно представить в виде следующейтаблицы, где ДС – доля дохода, потраченная наприобретение портфеля, Mr – моральное ожиданиепортфеля.ДСαβγδMr1% 0.000 1.000 0.000 0.000 0.7315% 0.028 0.972 0.000 0.000 0.7306% 0.138 0.862 0.000 0.000 0.7297% 0.216 0.784 0.000 0.000 0.7299% 0.321 0.679 0.000 0.000 0.72910% 0.357 0.643 0.000 0.000 0.72920% 0.521 0.479 0.000 0.000 0.72830% 0.575 0.425 0.000 0.000 0.72740% 0.570 0.380 0.05 0.000 0.72650% 0.528 0.328 0.144 0.000 0.72560% 0.496 0.292 0.212 0.000 0.72470% 0.432 0.261 0.253 0.054 0.72480% 0.354 0.232 0.289 0.125 0.72390% 0.290 0.210 0.317 0.183 0.72395% 0.262 0.200 0.329 0.209 0.72299% 0.237 0.192 0.338 0.233 0.722999% 0.235 0.190 0.340 0.235 0.72240Как видно из таблицы, если доля состояния, потраченнаяна портфель, незначительна, разумно все эти средствавложить в ценную бумагу с наибольшим математическиможиданием доходности (в данном случае во вторуюбумагу).Ведьникомунепридетвголовудиверсифицировать лотерейный билет.

С ростом этой долипрослеживается тенденция большей диверсификации, чтосоответствует нашим интуитивным представлениям одопустимом риске.4.3.8 Сравним оптимальный по моральному ожиданиюпортфель с портфелем Г. Марковица, взяв исходныеданные пункта 4.3.7. Мы рассмотрим портфель Марковицаминимального риска, то есть с фиксированнойэффективностью. Такой портфель получается в результатерешения следующей оптимизационной задачи сограничениями:  xi x jVij  min xVx  min xi  1. xe  1 xm   mi xi  m pmp x1  0,..., xn  0 m1  x1   . mx   ,,. x m  n nV 11  V 1n V      . Vn1  Vnn 1 .где e    ,. 1 41Здесь x i – доля i-й ценной бумаги в портфеле, m i –математическое ожидание доходности i-й бумаги, V i, j –бумаг, V p  x Vx – вариацияпортфеля,  xi mi  m p – математическое ожиданиедоходности портфеля или эффективность портфеля.Штрих здесь применяется для обозначения операциитранспонирования матрицы.

Характеристики

Список файлов книги