Моральное ожидание в математических моделях (835795), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Предельным значением Продавца жребиябудем называть такое значение его состояния, при которомему безразлично продавать жребий или нет. Аналогичнопредельным значением Покупателя жребия будемназывать такое значение его состояния, при котором емубезразлично покупать жребий или нет.На этом примере мы видим, что даже если математическоеожидание на стороне игрока, бедный человек охотнеепродаст жребий за небольшую, но гарантированную суммуденег, чем богатый.§ 1.2. Задача о купце (автором задачи считается НиколайБернулли).Купец Каюс закупил в Амстердаме товар, который он могбы продать в Петербурге за 10000 рублей.

Тогда это былиогромные деньги! Товар предстоит отправить в Петербургморем. Известно, что в это время года из 100 судов 5терпит крушение. Купец не смог найти никого, ктосогласился бы застраховать груз менее чем за 800 рублей.Здесь, как и в предыдущей задаче, можно поставитьследующие вопросы. Каким состоянием должен обладатькупец (Продавец жребия), чтобы согласиться страховатьсвой товар на предложенных условиях? Каким состояниемдолжен обладать тот, кто взялся страховать груз(Покупательжребия)?Таблицараспределениявероятностей доходов купца принимает вид:X 010000P 0,05 0,9511Математическое ожидание дохода x  9500 .

Если купецзастрахует груз на предложенных условиях, он можетрассчитывать на гарантированные 9200 рублей. Когда ондолжен согласиться на такие условия страховки? Когдаморальное ожидание жребия меньше 9200 рублей, то есть0,95x  C 0,05  C 10000  C  9200 . Численное решение задачидает C  5042 (рис. 2). В этой задаче предельные значениямы будем округлять до целых.Рис. 2. Моральное ожидание дохода купца растет с ростом егосостояния и достигает 9200 рублей при состоянии в 5042 рубляКак было замечено в предыдущем пункте, на любуюзадачу страхования можно посмотреть с двух сторон: состороны того, кто хочет застраховать риск, или со стороныстраховщика.12Распределение вероятностей дохода страховщика задаетсятаблицей:X -9200 800P 0,05 0,95Математическое ожидание x  300 .

Покупать жребий (тоесть страховать купца) стоит, если моральное ожидание0,050,95x  C  9200  C  800  C  0 .Решение последнего неравенства: C  14242 (рис. 3). Такимобразом, сделка должна состояться, если состояние купцаменьше 5042 рублей, а состояние страховщика больше14242 рублей.Рис. 3. Моральное ожидание дохода страховщика растет с ростом егосостояния и становится положительным при состоянии больше 14242рубля13Народная мудрость не рекомендует ложить все яйца в однукорзину. А что будет, если купец распределит свой грузпоровну по двум судам? Тогда возможны три исхода:потерпели крушение оба корабля, один из двух или обаблагополучно пришли в порт.Нетрудно найти распределение вероятностей доходов идля этого случая:X 05000 10000P 0,0025 0,095 0,9025Математическое ожидание, очевидно, по-прежнему равно9500.

Но теперь потеря всего груза становитсямаловероятной и предельное значение Продавца сдвинетсядалеко влево по вещественной оси. Продать жребий стоит,если0,0950,9025x  C 0,0025  C  5000 C 10000 C  9200 .Решение неравенства: C  9 . Таким образом, купецзастрахует груз на предложенных условиях, только если вслучае потери груза он будет полностью разорен. Длястраховщика распределение вероятностей доходов будеттаким:X -9200 -4200 800P 0,0025 0,095 0,9025Математическое ожидание его дохода по-прежнему будетравно 300 рублей, однако страховать груз стоит, если0,00250,0950,9025x  C  9200 C  4200 C  800C  0.Решив неравенство численно, получим C  9209 . Нанесемна вещественные оси предельные значения Продавца14жребия (купца) и Покупателя жребия (страховщика) дляслучая одного судна (рис.

4а) и двух судов (рис. 4b).Рис. 4. Предельные значения продавца и покупателя в задаче о купцеНаблюдательный читатель заметит, что как в случаеодного, так и в случае двух судов, разность предельныхзначений Покупателя и Продавца в точности равна тойгарантированной сумме 9200, которую получит купец,если застрахует свой груз за 800 рублей. Аналогичнуюзакономерность мы можем обнаружить и в задачепредыдущего параграфа. Случайно ли это?§ 1.3. Разность предельных значенийЛюбой случай страхования риска по сути сводится к тому,что жребий с неопределенным исходом x меняется нанекоторую гарантированную сумму Q. Поскольку зажребий обычно предлагают сумму, меньшую егоматематического ожидания, значение M(x) не дает ответана вопрос о целесообразности страхования.

Обратимся кморальному ожиданию. Продавец согласится обменятьжребий за сумму Q, если его оценка жребия меньше этойсуммы, то естьMr  x , C   Q . Пусть C* – решениеуравнения Mr  x , C   Q . Последнее уравнение имеетединственное решение в силу строго монотонного15возрастания морального ожидания с ростом C. Аналогичносделка привлекательна для Покупателя, если егоморальное ожидание дохода Mr  x  Q , C   0 . Пусть C** –решение уравнения Mr  x  Q , C   0 . Таким образом, C* –предельное значение Продавца жребия, а C**–предельное значение Покупателя жребия.ИзсвойствморальногоожиданияследуетMr  x  Q , C   Mr  x , C  Q   Q . Таким образом,ииз Mr x, C *  QMr x, **  Q  QCстрого(2)монотонного возрастания моральногоожидания следует C *  C **  Q или C **  C *  Q .Таким образом, разность предельных значенийПокупателя и Продавца всегда равна гарантированнойсумме Q, за которую продается жребий.

Последнийрезультат можно обобщить и на случай моральногоожидания произвольного порядка [1]. Важно только, чтобыПродавец и Покупатель «придерживались» функцииполезности одного порядка.162. Петербургский парадоксАвтором петербургского парадокса считается НиколайБернулли. Мы здесь позволим себе слегка изменитьусловия задачи, поменяв «дукаты» на «доллары»,поскольку мало кто представляет, насколько хорошовыиграть несколько дукатов. Тогда парадокс можносформулировать так: предлагается жребий, которыйсостоит в том, что монета бросается до тех пор, пока невыпадет орел. Если орел выпадет при первом бросании,игрок получит 2 доллара, при втором – 4 доллара, притретьем – 8 долларов...

Далее с каждым шагом величинавыигрыша удваивается. После выпадения орла играпрекращается. Распределение выигрышей в этой игреможно представить в виде таблицы:X 248…P1418…12k212……kЗдесь, как и прежде, x – величина, а p – вероятность1 1 1выигрыша. Разумеется  p i       1 .2 4 8i 1Математическое ожидание выигрышаM ( x) 111 2   4  8    .248На первый взгляд, ради ожидаемого бесконечно большоговыигрыша следует снять с себя последнюю рубашку и17купить жребий. Однако фактически мало кто«раскошелится» больше чем на 20 долларов.

Если жеоценивать жребий по моральному ожиданию, теорияБернулли дает простое объяснение парадокса. На рисунке5 показана зависимость оценки жребия по моральномуожиданию от состояния игрока. Как видно на графике,даже при довольно приличном состоянии по моральномуожиданию жребий оценивается невысоко.Интересно, что Mr x,0  4 . Таким образом, человек, всесостояние которого – 4 доллара, может истратить их напокупку жребия и тогда при нулевом состоянии его оценкажребия будет в точности равна четырем долларам.Рис. 5. Петербургский парадоксСправедливости ради следует привести также объяснениепетербургского парадокса, данное другим швейцарскимматематиком Габриелем Крамером.

Крамер обратил18внимание на тот факт, что сколь угодно большихвыигрышей не бывает! Пусть, например, организаторыигры располагают суммой 220  1048576 долларов, то естьнемного больше миллиона. Тогда, начиная с 21-го шага,игрок в случае выпадения «орла» все равно получит1048576 долларов и математическое ожидание выигрышабудет равно 120 1M ( x)    2i  2 20  20  1  21 .iii 1 2i  21 2Заметим также, что, несмотря на бесконечное числоисходов, неопределенность в этой игре довольнонебольшая.

Интуитивно любой из нас чувствует, что,скорее всего, игра закончится быстро. Найдем энтропию,то есть меру неопределенности данного жребия, поформуле Шеннона: E   p i  log2 p i .i 11Подставив в правую часть последнего равенства p i  ,i2мы после ряда преобразований убедимся, что энтропияэтого жребия равна всего двум битам: 11  iE    i  log2 i   i  2 .2 i 1 2i 1 2Петербургский парадокс иллюстрирует отношение людейк огромным, но очень маловероятным выигрышам. Такиевозможности мы обычно просто не принимаем в расчет.193.

Задача ОлигархаВ одном небольшом государстве намечается предвыборнаякампания. За должность президента должны бороться nкандидатов. Вероятность победы i-го кандидатаоценивается величиной pi, где i  1 n . Местный Олигарх,обладает состоянием S=C+R, где R – сумма, которую онхочет потратить на поддержку кандидатов. Если онвыделит сумму xi на поддержку i-го кандидата, то в случаепобедыпоследнегоможетрассчитыватьна«благодарность» в размере k  x i .

Вопрос: как Олигархдолжен распорядиться суммой R? Если руководствоватьсяматематическим ожиданием, он должен вложить вседеньги в наиболее вероятного победителя. Однако напрактике так не поступают. Опять обратимся кморальному ожиданию. Олигарх должен получитьмаксимальнуювеличинуморальногоожидания«благодарности», затратив фиксированную сумму R. Тоесть: xi  0Mr k  x, C   maxпри ограничениях  x  R ,i inгде M r k  x, C    k  x i  C pi  C .i 1Вместомаксимумаkxудобнейискатьмаксимумln k  x  C . Таким образом, задача сводится к нахождениюмаксимума величины p i  ln k  x i  C  . Введемiмножитель Лагранжа  .20F x1, x 2 ,, x n ,     p i  ln k  x i  C       x i  R  .iik  piF   0    k  x i  C   k  p i . xi k  xi  CСуммируя левую и правую части последнего равенства поi, получимk   k   xi  n  C   k k  R  nC ip i  k  R  n  C   CТогда.(2)xikПри этом следует исключить из рассмотрения техCкандидатов, для которых x i  0 , то есть p i иk  R  nCповторить расчет, приняв во внимание новые оценкивероятностей на победу оставшихся кандидатов.

Изравенства (2) видно, что суммы, которые следует выделитьна поддержку кандидатов, являются линейнымифункциями их вероятностей на победу.Подставив (2) в выражение для морального ожиданиядоходаОлигарха,мыполучимk  R  nCMr k  x, C   C , где E    p i  log 2 p i –2Eiэнтропия, то есть мера неопределенности [7].

Характеристики

Список файлов книги