Введение в теорию массового обслуживания (835790), страница 6
Текст из файла (страница 6)
По индукцииполучим выражение предельных вероятностей через−1∏︁ = (,+1 /=0−1∏︁+1, ),=0где > 0. Введем обозначение:−1∏︁ = (−1∏︁,+1 /=0+1, ),=0где > 0. Тогда = ·0 . Таким образом, чтобы получить ,надо просто произведение интенсивностей всех переходов, ведущих на схеме 10 слева направо к , разделить на произведение57интенсивностей всех переходов, ведущих справа налево от .∑︀Если положить 0 = 0 , то из условия =0 = 1 непосредственно следует∑︁ · 0 = 1=⇒∑︁0 = ( )−1 .=0=0Все сказанное справедливо и для случая = ∞, если соответствующая сумма сходится. Итак,⎧⎨1, если = 0; =∏︀−1⎩(∏︀−1 =0 ,+1 / =0 +1, ), если > 0. = · (∑︁ )−1 .(32)(33)=0Выражения (32–33) известны как формулы Эрланга, посколькуименно Эрланг впервые получил их для установившегося процесса в многоканальной СМО с отказами.
Ниже мы рассмотримпримеры использования формул (32 - 33) для различных типовСМО.§ 3.2. Многоканальная СМО с отказамиСистема с отказами и каналами обслуживания имеет конечноемножество состояний { }, где = 0, 1, . . . , : 0 – свободны всеканалы, 1 – занят один канал, 2 – заняты два канала и такдалее, – заняты все каналов обслуживания. Интенсивностьвходящего потока – , интенсивность обслуживания – . Как58видно на схеме (рис.
11), интенсивности переходов по возрастанию индекса совпадают с интенсивностью входящего потока, аинтенсивности переходов по убыванию индекса зависят от индекса состояния.Рис. 11.Многоканальная СМО с отказамиТак, интенсивность перехода → −1 равна · , т. е. произведению интенсивности обслуживания одним каналом на количество задействованных каналов .Применим формулы Эрланга 0 = 1 и =Введем обозначения =1·2·...··для k>0.– приведенная интенсивность входя-щего потока или нагрузка системы.Тогда = , где = 0, 1, . . . , ,!∑︁ −10 = () .!=0Отказ в обслуживании заявка получает только тогда, когда система находится в состоянии , т. е. все каналы заняты. Вероятность этого события .59Характеристики многоканальной СМО с отказами1. Относительная пропускная способность системы.
= 1 − 2. Абсолютная пропускная способность, она же интенсивность выходящего потока обслуженных заявок = · = (1 − ) · .3. Интенсивность выходящего потока заявок, получивших отказ, · .4. Среднее число занятых обслуживанием каналов,т. е. математическое ожидание числа занятых каналов¯ = () =∑︁ · ==0∑︁ · ==1∑︁ · 0 =!=1−1∑︁∑︁ −1= ·· 0 = ·· 0 =( − 1)!!= ·=1−1∑︁=0 = · (1 − ).=0Таким образом, среднее число занятых каналов равно произведению приведенной интенсивности входящего потока60на относительную пропускную способность системы.5. Среднее число свободных от обслуживания каналов¯¯0 = − .¯ .6.
Коэффициент занятости каналов /7. Коэффициент простоя каналов ¯0 /.Иногда рассматривают СМО с бесконечным числом каналов. Хотя кто-то может вполне резонно возразить, что таковых не бывает, названная модель вполне адекватно описывает некоторыереальные ситуации. Например, если каналы обслуживания – номера в гостинице на курорте в мертвый сезон, а также в другихситуациях, когда каналов очень много, а заявок очень мало. Очевидно, в такой системе обслуживаются все заявки.В этом случае∞∑︁ −1) = − ,0 = (! ==0 −· .!Среднее число занятых каналов¯ =∞∑︁=0∞∞∑︁∑︁ −−1 · = · =· − =!( − 1)!=1=1∞∞∑︁∑︁ ′ −= ·( )′ · − = · () · = · ( )′ · − = .!! =1=161Таким образом, среднее число занятых каналов в «бесконечно¯ = определяется только отношением инканальной» СМО тенсивности входящего потока к интенсивности обслуживания.§ 3.3. Одноканальная СМО без ограничений на длинуочередиРис.
12.Одноканальная СМО без ограничений на длину очередиОдноканальная система без ограничений на длину очереди (рис.12) имеет бесконечное множество состояний { }, где где =0, 1, . . . : 0 – единственный канал свободен, 1 – канал занят обслуживанием заявки, 2 – канал занят, и одна заявка находитсяв очереди, 3 – канал занят, и две заявки находятся в очереди ит. д. Таким образом, состояние , где > 1, – это когда в очереди находится − 1 заявка. Интенсивность входящего потока– , интенсивность обслуживания – . Интенсивности всех переходов в порядке возрастания индекса равны , а интенсивностивсех переходов в обратном направлении, в отличие от случая из§ 3.2, совпадают и равны .Если заканчивается обслуживание очередной заявки при наличии очереди, система переходит к обслуживанию следующей, адлина очереди уменьшается на единицу.62Формулы Эрланга теперь примут вид == , где = 0, 1, 2 .
. . ;∞∑︁0 = ( )−1 = 1 − .=0Разумеется, должно выполняться условие < 1 . В противномслучае, когда ≥ , интенсивность обслуживания не превышает интенсивности поступления заявок, очередь со временемстремится к бесконечности и сам разговор о предельных вероятностях теряет смысл.В дальнейшем мы не будем специально выделять основные характеристики рассматриваемых СМО.Вероятности состояний системы = (1 − ) · . Любая поступившая заявка принимается в очередь и рано или поздно обслуживается. Отсюда относительная пропускная способность = 1,а абсолютная = .
Выходящий поток только один и образованобслуженными заявками, его интенсивность равна интенсивности входящего потока .¯ оч для установившегося решеНайдем среднюю длину очереди ния. Вероятность нулевой длины равна 0 +1 , и далее при > 163вероятность длины k равна +1 . Таким образом,¯ оч = () == (1 − )∞∑︁ · +1 ==1∞∑︁ · +1 = (1 − ) · 2 · · −1 ==1=1= (1 − ) · 2 · (∞∑︁∞∑︁ )′ = (1 − ) · 2 · (=1 ′2) =.1−1−Пусть оч – время нахождения вновь поступившей заявки в очереди.
(оч / ) – ожидаемое время пребывания заявки в очереди, при условии, что система на момент поступления заявкинаходится в состоянии . Тогда⎧⎨0, если = 0; (оч / ) =⎩ , если > 0.По формуле полной вероятности ожидаемое время пребываниязаявки в очереди¯оч =∞∑︁ ( ) · (оч / ) ==0=∞∑︁=1∞∑︁ · (оч / ) ==1∞1 − ∑︁ · =· · =.(1 − )=1¯ оч = · ¯оч .Отсюда – первая формула Литтла: Среднее время пребывания заявки в системе равно сумме среднего времени пребывания в очереди и среднего времени обслу-64живания:¯сис = ¯оч + ¯обс =1+ .(1 − ) ¯ обсл =Среднее число заявок, находящихся под обслуживанием, = 1 − 0 = .
Тогда среднее число находящихся в системе заявок¯ сис = ¯ оч + ¯ обс =2+=.1−1−Отсюда легко получается соотношение между количеством заявок в системе и временем пребывания заявки в системе (34) –вторая формула Литтла. Таким образом,¯ оч = · ¯оч ,¯ сис = · ¯сис .(34)Рассмотренная нами в этом параграфе система без ограниченийна длину очереди является довольно распространенной модельюреальных систем. Например, пусть пропускная способность городского травматологического пункта – 10 пациентов в час, ав городе в этот период времени случается 9 травм в час. Чему¯ оч и среднее время пребыванияравна средняя длина очереди пациента в очереди ¯оч ? Итак: = 9 , = 10 . Следовательно,¯ оч = 8, 1 пациента; ¯оч = 0, 9 часа, или 54 минуты. При = 0, 9; этом, если смена длится 6 часов, то из них 0,6 часа, или 36 минут,пункт простаивает.
Эти моменты важно учесть при подготовкеорганизационных решений, связанных с медицинским обслуживанием и другими видами обслуживания населения.65§ 3.4. Одноканальная СМО с ограничением на длинуочередиТеперь рассмотрим систему, аналогичную исследованной в предыдущем параграфе, но с ограничением на длину очереди. Пустьсистема имеет + 1 состояние: 0 – единственный канал свободен, 1 – единственный канал занят обслуживанием заявки, 2 –канал занят и одна заявка находится в очереди и т. д. Последнеесостояние +1 – в очереди n заявок (рис. 13).Рис. 13.Одноканальная СМО с ограничением на длину очередиФормулы Эрланга:+1∑︁ = = , где = 0, 1, 2 .
. . , + 1;0 = ( )−1 .=0Выполнение условия < 1 теперь не требуется. = 0 · .Вероятность принятия заявки на обслуживание равна 1 − +1 ,вероятность отказа – +1 . Система имеет два выходных потока:поток обслуженных заявок с интенсивностью = (1 − +1 ) ипоток заявок, получивших отказ, с интенсивностью = +1 · .Средняя длина очереди¯ оч = () =∑︁ · +1 = 0 ·=1∑︁=166 · +1 .(35)Аналогично тому, как это делалось в предыдущем параграфе,¯ обс , ¯ сис , ¯оч , ¯сис . Разумеется, формулы Литтнетрудно найти ла также выполняются.§ 3.5. Одноканальная СМО с нетерпеливыми заявкамиОписание системы совпадает с представленным в § 3.2.
Единственное отличие – новый выходящий поток, поток нетерпеливых заявок. Для него мы вводим новый параметр – интенсивность ухода заявки из очереди. Таким образом,1– среднеевремя ожидания заявки в очереди. Схема СМО изображена нарис. 14.Рис. 14.Одноканальная СМО с нетерпеливыми заявкамиВ рассматриваемом примере заявки иногда покидают очередьпо своей инициативе, не дождавшись обслуживания. ФормулыЭрланга:0 = 1, = ∏︀=1 (0 = (+1∑︁+ ( − 1) · )= , для > 0; )−1 , = · 0 .=0Также рассматривают приведенную интенсивность потока ухо-67дов =.Тогда = ∏︀=1 (1+ ( − 1) · ).¯ оч = () = ∑︀ · +1 . КаждаяСредняя длина очереди =1заявка «испытывает желание» уйти с интенсивностью . Поэтому интенсивность выходящего потока покинувших очередь¯ оч · .
Поскольку в очередь принимаются все беззаявок равна исключения заявки, абсолютная пропускная способность систе¯ оч · .мы = − § 3.6. Замкнутая одноканальная СМОДо сих пор мы рассматривали СМО, в которых входной потокне зависит от того, сколько заявок в данный момент обслуживается или находится в очереди.
Так, в большом городе вы можетесчитать, что ваш звонок не окажет влияния на общую интенсивность звонков по городу и, хотя население даже очень большогогорода конечно, вы можете в модели считать количество источников заявок бесконечным. Другое дело, например, когда в цехевсего десять станков и один мастер по их ремонту. Тогда моделью цеха будет СМО с состояниями { }, где = 0, 1, . . . , : 0 –работают все станки, 1 – один станок в ремонте, остальные работают, 2 – один в ремонте, один в очереди, остальные работаюти, наконец, – один в ремонте, остальные в очереди на ремонт!Интенсивность потока заявок на ремонт с одного станка, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
