Введение в теорию массового обслуживания (835790), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Первоначально системанаходится в состоянии 0 . В случае поступления обычной заявки система переходит в состояние 1 . Если до завершения обслуживания обычной заявки поступила приоритетная, системапрерывает обслуживание текущей заявки и приступает к обслуживанию приоритетной, т. е. переходит в состояние 2 . Послезавершения обслуживания любой заявки система возвращаетсяв исходное состояние 0 .Обыкновенная заявка получает отказ, если система занята обслуживанием любой другой заявки, приоритетная – только тогда, когда СМО занята обслуживанием другой приоритетной заявки.Такая система будет иметь пять выходящих потоков, которыесоответственно составляют обслуженные приоритетные и обычные заявки, приоритетные и обычные заявки, получившие отказв обслуживании и, наконец, обычные заявки, принятые на об45служивание, но не обслуженные по вине приоритетных.Составим систему уравнений Колмогорова:⎧′⎪⎪⎪0 () = (1 + 2 ) · 0 () + 1 · 1 () + 2 · 2 ();⎨1′ () = 1 · 0 () − ( + 2 ) · 1 ();⎪⎪⎪⎩ ′2 () = 2 · 0 () + 2 · 1 () − 2 · 2 ().(28)Начальные условия по-прежнему 0 (0) = 1 и 1 (0) = 2 (0) = 0.Будем искать частные решения системы (29) в виде0 () = · − ;1 () = · − ;2 () = · − .(29)В таком случае должно быть корнем характеристического уравнения⃒⃒⃒⃒−1−2 ⃒⃒ + 1 + 2⃒⃒⃒⃒ = 0.−++0121⃒⃒⃒⃒⃒−2−2 + 2 ⃒Преобразовав левую часть последнего уравнения, разложим намножители полученный многочлен: · ( + 2 + 2 ) · ( + 1 + 1 + 2 ).Итак, характеристический многочлен имеет три различных ве-46щественных корня:2 = −(2 + 2 )1 = 0,и3 = −(1 + 2 + 1 ).Для каждого корня подставим (29) в (28) и выберем два первых уравнения из трех линейно зависимых.
Найдем решения полученных систем с точностью до постоянного множителя.1. 1 = 0 :⎧⎨(1 + 2 ) − 1 · = 2 · ;⎩− · + ( + ) · = 0;112⎧⎪ = 2 · (2 + 1 );⎪⎪⎨=⇒ = 1 · 1 ;⎪⎪⎪⎩ = 2 · (1 + 2 + 1 ).2. 2 = −2 − 2 :⎧⎨(1 − 2 ) − 1 · = 2 · ;⎩− · + ( − ) · = 0;112⎧⎪ = 1 − 2 ;⎪⎪⎨=⇒ = 1 ;⎪⎪⎪⎩ = −1 − 1 + 2 .3. 3 = −1 − 2 − 1 :⎧⎨1 · − 1 · = 2 · ;⎩− · + ( − ) · = 0;11247⎧⎪ = 1;⎪⎪⎨=⇒ = −1;⎪⎪⎪⎩ = 0.Тогда общее решение системы (28) примет вид⎛⎞⎛⎞0 ()2 · (2 + 1 )⎜⎟⎜⎟⎜1 ()⎟ = 1 · ⎜⎟+·2⎝⎠⎝⎠2 ()2 · (1 + 2 + 1 )⎛⎜+2 · −(2 +2 )· · ⎜⎝ 1 − 21−1 − 1 + 2⎛ ⎞1⎜ ⎟−(1 +2 +1 ) ⎜+ 3 · · ⎝−1⎟⎠,0⎞⎟⎟+⎠(30)где 1 , 2 и 3 – произвольные вещественные константы. Длянахождения частного решения (28), удовлетворяющего начальным условиям, подставим в общее решение = 0.⎧⎪⎪⎪2 · (2 + 1 ) · 1 + (1 − 2 ) · 2 + 3 = 1;⎨1 · 2 · 1 + 1 · 2 − 3 = 0;⎪⎪⎪⎩2 · (1 + 2 + 1 ) · 1 + (−1 − 1 + 2 ) · 2 = 0.Решим систему относительно неизвестных:⎧⎪ =⎪⎪⎨ 12 =⎪⎪⎪⎩3 =1(1 +2 +1 )·(2 +2 ) ;2(1 +1 −2 )·(2 +2 ) ;1 ·(1 +2 +1 −2 )(1 +2 +1 )·(1 +1 −2 ) .Подставив значения 1 , 2 и 3 в (30), получим искомое ре48шение.
К сожалению, запись уравнений оказалась слишком громоздкой, но тем не менее мы получили аналитическое решениепутем ряда довольно стандартных, рутинных операций, которыелюбой человек, знакомый с основами теории дифференциальныхуравнений, легко может проделать. Аналитическое решение открывает нам большие возможности теоретического исследованияразличных режимов работы системы.Непосредственно из (30) путем предельного перехода найдем установившееся решение:⎧⎪⎪0 =⎪⎨1 =⎪⎪⎪⎩2 =2 ·(2 +1 )(1 +2 +1 )·(2 +2 ) ;1 ·2(1 +2 +1 )·(2 +2 ) ;(31)22 +2 .Запись решения системы уравнений (28), как и промежуточныевыкладки, значительно упрощается, если взять равные интенсивности обслуживания обычных и привилегированных заявок.На рис.
9 представлены графики решения системы уравнений(30), а также предельные вероятности (31) при 1 = 4, 1 = 6,2 = 1, 2 = 4.В приведенном примере предельные вероятности 0 = 0, 509,1 = 0, 291 , 2 = 0, 2 . Как видно на рисунке, графики оченьбыстро прижимаются к соответствующим асимптотам. Здесь 0– доля времени простоя системы, 1 – доля времени, приходящегося на обслуживание обычных заявок, 2 = 1 − 0 − 1 – долявремени, приходящегося на обслуживание приоритетных заявок.49Рис.
9.Вероятности состояний СМО с приоритетным входным потокомВ дальнейшем при исследовании системы мы сконцентрируемвнимание на характеристиках, основанных на предельных вероятностях.Как следует из описания работы СМО, приоритетные заявкиведут себя так, как если бы поток обычных заявок отсутствовал. Таким образом, характеристики обслуживания приоритетных заявок совпадают с характеристиками, рассмотренными в§ 2.2.
С обычными заявками ситуация несколько иная. Найдемвероятность того, что обслуживание принятой обычной заявкибудет завершено до появления приоритетной. Вероятность того,что обычная заявка, находящаяся на обслуживании в момент ,будет обслуживаться в течение элементарного промежутка времени равна равна 1 ·−1 · ·. Вероятность того, что к моменту не поступила приоритетная заявка −2 · . По формуле полной50вероятности искомая вероятность∫︁+∞1 · −(2 +1 )· · =01.2 + 1Итак, 1 /(2 +1 )− вероятность того, что принятая заявка будетобслужена, а, соответственно, 2 /(2 + 1 )− вероятность того,что обслуживание принятой заявки будет прервано. Обе вероятности условные, т.
е. при условии, что заявка принята. Согласно (31), безусловная вероятность обслуживания обычной заявкиравна:1 · 21=;(2 + 1 )(1 + 2 + 1 ) · (2 + 2 )22 · 2= 0 ·=.(2 + 1 )(1 + 2 + 1 ) · (2 + 2 )обычн_обсл = 0 ·обычн_прервРазумеется, обычн_обсл + обычн_прерв = 0 – вероятность принятия обычной заявки на обслуживание.Характеристики СМО с отказами и приоритетнымизаявками1. Ожидаемое время между двумя последовательнымизаявками в обычном потоке11¯Ожид_об =, в приоритетном потоке ¯Ожид_пр =.12512. Ожидаемое время обслуживания обычной заявки11¯обсл_об =и приоритетной ¯обсл_пр =.123.
Относительная пропускная способность по приоритетным заявкам пр = 0 + 1 =22 +2– доля приоритет-ных заявок, принимаемых на обслуживание. Все принятыезаявки обслуживаются.4. Абсолютная пропускная способность по приоритетным заявкампр = 2 · пр = 2 · 22 + 2– ожидаемое количество обслуживаемых в единицу времени приоритетных заявок.5. Относительная пропускная способность по обычнымзаявкамоб = обыч_обсл =21·2 + 2 1 + 2 + 1– доля обычных заявок, принимаемых на обслуживание.Интересно, что относительная пропускная способность (ОПС)по обычным заявкам равна произведению ОПС по приоритетным заявкам на ту ОПС, которая была бы, если бы отменили приоритеты, т. е. если бы все заявки обслуживалиськак обыкновенные.526. Абсолютная пропускная способность по обычным заявкамоб = обыч_обсл · 1 = 1 ·21·2 + 2 1 + 2 + 1– ожидаемое количество обслуживаемых в единицу времени обычных заявок.7.
Интенсивность выходящего потока приоритетных заявок, получивших отказ,2 · 2 =22 2 + 2– ожидаемое количество приоритетных заявок в единицувремени, получающих отказ по причине занятости единственного канала обслуживанием другой приоритетной заявки.8. Интенсивность выходящего потока обычных заявок,получивших отказ,(1 − 0 ) · 1 = (1 −2 · (2 + 1 )) · 1(1 + 2 + 1 )(2 + 2 )– ожидаемое количество обычных заявок в единицу времени, получивших отказ по причине занятости канала.539.
Интенсивность выходящего потока обычных заявок,принятых на обслуживание, но не обслуженных попричине появления приоритетной заявкиобыч_прер · 1 = 1 · 2 · 2(1 + 2 + 1 )(2 + 2 )– количество обычных заявок в единицу времени, вытесненных из системы приоритетными заявками, т. е. заявок,принятых на обслуживание, но необслуженных.Приведем пример расчета интенсивностей выходящих потоковдля представленного на рис. 9 случая: 1 = 4, 1 = 6 , 2 = 1 ,2 = 4.№Интенсивности выходящих потоковОбычные заявкиПриоритетные заявки1Обслуженных заявок1,7450,82Заявок, получивших отказ1,9640,23С прерванным обслуживанием0,29104ИТОГО41Очевидно, сумма интенсивностей всех выходящих потоков равнаинтенсивности соответствующего входящего потока.54Глава 3.
Процессы гибели и размноженияПусть СМО имеет множество состояний { }, где = 0, 1, . . . , .В частности, не исключается случай = ∞. По-прежнему справедливы допущения (18) о вероятностях переходов. При этомвозможны только переходы вида,+1 и +1, , где = 0, 1, . . . − 1.Тогда процесс функционирования системы называют процессом гибели и размножения. Таким образом, для процессовгибели и размножения характерны только последовательные переходы слева направо или справа налево (рис.
10). Этот классРис. 10.Процесс гибели и размноженияпроцессов впервые начали изучать в связи с исследованиямидинамики численности популяций, распространения эпидемий идругими подобными задачами. Отсюда и закрепившееся за процессами название. Если возможны переходы только слева направо, процесс называют процессом чистого размножения. Еслиже возможны переходы только в обратном направлении, говорято процессе гибели.Запишем уравнения Колмогорова для произвольной системы ги-55бели и размножения.
Согласно схеме первое уравнение0′ () = −01 · 0 () + 10 · 1 (),далее′ () = −1, · −1 () − (,−1 + ,+1 ) · () + +1, · +1 (),где > 0. Если множество состояний конечно и номер крайнегосправа – , то систему будет замыкать уравнение′ () = −1, · −1 () − ,−1 · ().Уравнения Колмогорова для случая процессов гибели и размножения иногда называют уравнениями Эрланга.§ 3.1. Формулы ЭрлангаАналитическое решение систем уравнений Колмогорова даже дляпростых процессов гибели и размножения с конечным числомсостояний часто оказывается довольно громоздким. Однако если существует установившееся решение, получить его нетрудно.Система уравнений Колмогорова для установившегося решения56принимает вид⎧⎪⎪−01 · 0 + 10 · 1 = 0;⎪⎪⎪⎪⎪⎨01 · 0 − (10 + 12 ) · 1 + 21 2 = 0;⎪⎪...⎪⎪⎪⎪⎪⎩−1, · −1 − (,−1 + ,+1 ) · + +1, +1 = 0.Положим, = ,+1 · − +1, · +1 , тогда0 = 0,0 − 1 = 0,...−1 − = 0.Отсюда, независимо от того, конечна система или нет,0 = 1 = · · · = = · · · = 0и, следовательно, +1 =,+1+1,· , где > 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
