Введение в теорию массового обслуживания (835790), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Так, одним из ключевых понятий финансовой математики является поток платежей, автодорожники говорят о потоке машин. В теории массового обслуживания событияобычно называют заявками или требованиями и, соответственно, рассматривают потоки заявок или требований.События, образующие поток, могут происходить как в фиксированные, так и в случайные моменты времени. Например, вашидни рождения приурочены к фиксированным моментам, а встречи знакомых во время вашей прогулки по городу, скорее всего,образуют поток случайных событий. Часто случайные факторынакладываются на определенную закономерность. Так, даже приналичии четкого расписания прибытия автобусов на станцию реальные моменты этих событий могут отличаться от плановых врезультате непредвиденных задержек: пробок на дорогах, остановок у шлагбаума, погодных условий и т.
д. Поэтому при построении математических моделей мы можем рассматривать моменты наступления одних и тех же событий как фиксированныеили как случайные, в зависимости от цели исследования, от разброса фактических моментов наступления событий относительно ожидаемых, от требований к точности. И все же часто, в силу9природы исследуемых явлений, события приходится рассматривать именно как случайные.Вопрос о том, что в той или иной ситуации можно считать событием, обычно не вызывает затруднений.
Если нас интересуетработа диспетчера такси, очевидно, что событиями будут звонкиклиентов на служебный телефон, но никак не звонки ее подругна личный мобильный телефон. Другой вопрос – однородностьпотока. Однородность означает возможность привлечь для об-работки событий одни и те же технологии, ресурсы системы. Напрактике часто неоднородный поток заменяют набором однородных потоков.
Например, неоднородный поток бытовой техникив ремонтной мастерской удобно разбить на однородные потокихолодильников, чайников, утюгов и т. д. Это разбиение мотивируется спецификой обслуживания соответствующих заявок иразличными квалификационными требованиями к мастерам поремонту техники. Здесь вопрос однородности заявок тесно связан с вопросом глубины специализации персонала мастерской.Под источником входящего потока часто, но не всегда, подразумевают нечто внешнее по отношению к системе массового обслуживания, свойства которого не зависят от особенностей функционирования системы. Так, входящий поток станции скорой помощи – множество телефонных вызовов врача – не зависит оторганизации работы станции.10§ 1.1. Определение простейшего потокаВ теории массового обслуживания наибольшее распространениеполучил простейший поток.
Это обусловлено тем, что он является достаточно адекватной, математически обоснованной и насколько возможно простой моделью многих реальных потоков.Простейшим нызывают поток однородных событий, обладаю-щий следующими тремя свойствами:1. Стационарностью. Стационарность потока означает, чтодля любых вещественных , > 0 и целого ≥ 0 вероятность появления событий на интервале (, + ) независит от T.2. Отсутствием последействия. Под отсутствием последействия подразумевают независимость вероятности появления событий на интервале (, + ) от количества и времени появления событий до момента .
В дальнейшем вероятность появления событий на интервале длины впростейшем потоке будем обозначать ().3. Ординарностью. Ординарность потока означает выполнение равенства >1 (ℎ) = ∘(ℎ). Здесь >1 (ℎ) – вероятностьпоявления более одного события за время ℎ, а ∘(ℎ) – произвольная вещественная функция h, бесконечно малая болеевысокого порядка, чем ℎ.
То есть>1 (ℎ)= 0.ℎ→0ℎlim11Отсюда следует равенство нулю вероятности появления одновременно двух и более событий (разумеется, последнеене исключает возможность появления сразу двух и болеесобытий).Простейший поток является таким же абстрактным математическим объектом, как прямая линия в геометрии. Стационарность,отсутствие последействия и ординарность не более чем допущения. Так, поток вызовов скорой помощи можно считать стационарным лишь на некоторых ограниченных интервалах временисуток.
При небольшом количестве радиоактивного вещества впотоке распадов атомов последействие практически не имеет места, но в случае большой массы того же вещества наблюдаетсяцепная реакция, т. е. вероятность распада некоторого количества атомов на заданном интервале времени зависит от количества произошедших ранее распадов. Допущение об ординарноститакже периодически нарушается. Например, в железнодорожнойкассе иногда приобретаются билеты сразу на целую группу туристов. Увы, мы живем не в идеальном мире, но это не поводотказаться от любых попыток понять его.§ 1.2.
Уравнения простейшего потокаВведем обозначение 0 (1) = , где 0 () – вероятность того, чтоза время не произойдет ни одного события. Разобьем единичный интервал времени на равных частей. Тогда для того, чтобына всем интервале не произошло ни одного события, необходимо12и достаточно, чтобы ни одного события не произошло на каждом из частных интервалов. Поскольку 0 (1/) зависит только от длины интервала, при условии отсутствия последействия10 (1) = [0 (1/)] = или 0 (1/) = .
Аналогично при натуральном получим 0 (/) = . Пусть вещественное число > 0. Тогда для любых и можно найти такое , что−1≤≤=⇒ 0 (Тогда−1) ≥ 0 () ≥ 0 ( )−1= lim=→∞ →∞lim=⇒илии−1≥ 0 () ≥ .0 () = .Поскольку вероятность всегда принимает значения из интервала [0; 1], мы должны рассмотреть три случая: = 0 , = 1 и0 < < 1 . В первом случае 0 () = 0 для любого > 0 и, следовательно, на любом сколь угодно малом интервале произойдетбесконечное множество событий, что противоречит принципу ординарности потока.
Во втором случае 0 () = 1 и поток, как таковой, отсутствует. Остается только третий случай. Введем замену переменной = −· , где > 0 – некоторый вещественныйпараметр. Тогда, ∈ (0; 1]=⇒ ∈ [0; +∞). Таким об-разом, вероятность отсутствия событий на интервале длины задается равенством 0 () = − . Смысл параметра мы выясним ниже. Поскольку − 1 = + ∘() или = 1 + + ∘(),мы можем записать равенство, которое нам в ближайшее времяпригодится: 0 (ℎ) = 1 − · ℎ + ∘(ℎ). Теперь докажем лемму.13ЛеммаВ простейшем потоке 1 (ℎ) = · ℎ + ∘(ℎ). То есть вероятностьпоявления одного события за время ℎ с точностью до бесконечномалой более высокого порядка, чем ℎ, пропорциональна ℎ.ДоказательствоДля любого ℎ ∈ [0; +∞],0 (ℎ)+1 (ℎ)+>1 (ℎ) = 1.
Подставивв последнее равенство 0 (ℎ) = 1 − · ℎ + ∘(ℎ) и >1 (ℎ) = ∘(ℎ),получим 1 (ℎ) = · ℎ + ∘(ℎ), что и требовалось доказать. Напомним, что ∘(ℎ) – произвольная бесконечно малая величина, большего, чем ℎ, порядка. Поэтому ∘(ℎ) ± ∘(ℎ) = ∘(ℎ) и · ∘(ℎ) = ∘(ℎ) , где ∀ ∈ (0; ∞) – вещественная константа.Рассмотрим интервал времени длины + ℎ . Пусть на этом интервале произошло событий. Тогда, если на участок длины пришлось событий, то на участок длины ℎ придется − событий, где = 0, 1, . . .
, . По формуле полной вероятности для = 1 имеет место равенство1 ( + ℎ) = 1 () · 0 (ℎ) + 0 () · 1 (ℎ) == 1 () · (1 − · ℎ + ∘(ℎ)) + 0 () · ( · ℎ + ∘(ℎ));1 ( + ℎ) = 1 () · (1 − · ℎ) + 0 () · · ℎ + ∘(ℎ).Аналогично для > 114(1) ( + ℎ) =∑︁ () · − (ℎ) ==0= () · 0 (ℎ) + −1 () · 1 (ℎ) +−2∑︁ () · − (ℎ);=00≤−2∑︁ () · − (ℎ) ≤=0−2∑︁− (ℎ) ==0То есть−2∑︁∑︁ (ℎ) = >1 (ℎ) = ∘(ℎ).=2 () · − (ℎ) = ∘(ℎ).=0Значит, ( + ℎ) = () · 0 (ℎ) + −1 () · 1 (ℎ) + ∘(ℎ) == () · (1 − · ℎ + ∘(ℎ)) + −1 () · ( · ℎ + ∘(ℎ)) ++ ∘ (ℎ); ( + ℎ) = () · (1 − · ℎ) + −1 () · · ℎ + ∘(ℎ).(2)Тогда из (1) и (2) для ≥ 1 следует∘(ℎ) ( + ℎ) − ()= · −1 () − · () +.ℎℎ(3)Хотя для = 0 уже получено решение 0 () = −· , составим идля этого случая равенство150 ( + ℎ) − 0 ()∘(ℎ)= − · 0 () +.ℎℎ(4)Устремив к нулю ℎ в левых и правых частях (3) и (4), получимбесконечную систему дифференциальных уравнений:⎧⎪⎪0′ () = − · 0 ();⎪⎪⎪⎪⎪⎨ ′ () = · 0 () − · 1 ();1⎪⎪...⎪⎪⎪⎪⎪⎩ ′ () = · −1 () − · ().(5)Начальные условия:0 (0) = 1,1 (0) = .
. . (0) = 0.(6)Первый способ решения системы (5)Подставим во второе уравнение выражение 0 (), запишем уравнение в виде1′ () + · 1 () = · −·и, учтя начальное условие 1 (0) = 0, найдем решение:1 () = · · − .Теперь, подставив в третье уравнение выражение 1 (), получимуравнение2′ () + · 2 () = 2 · · −·16и, учтя начальное условие 2 (0) = 0, найдем его решение:2 () =(·)2 −·2! .
Процесс будем продолжать до тех пор, по-ка мы не догадаемся, что вероятность появления событий завремя равна () =( · ) −·.!(7)Теперь, когда мы знаем результат, нетрудно обосновать его, прибегнув к методу математической индукции. Здесь мы пропустили собственно сам процесс решения уравнений.
Первый способпозволяет получить решение, опираясь на минимальный математический аппарат. Однако в некоторых случаях этот способможет оказаться слишком громоздким. Теперь рассмотрим более компактный метод решения бесконечной системы линейныхдифференциальных уравнений.Второй способ решения системы (5)Введем производящую функцию (, ) =∑︀∞=0 ()· . Заме-тим, что из (6) следует (0, ) = 1. В уравнениях (5) левые иправые части соответственно индексу при умножим на ипросуммируем отдельно левые и правые части. Тогда∞∑︁′ () · = ·=0∞∑︁=0∞∑︁=1∞∑︁−1 () · − ·=1′ () · = (∞∑︁−1 () · = · () · ; (8)=0 () · )′ ==0∞∑︁∞∑︁(, );−1 () · −1 = · (, ).=117Суммы в левой и правой частях (8) можно переписать в виде(,)= ·(−1)·(, ), после чего решение бесконечной системысводится к решению одного уравнения.((, ))= · ( − 1)((, )) = · ( − 1) · + ||=⇒или(, ) = · ·(−1)· ,где вещественное = . Учитывая равенство (0, ) = 1,получим = 1 и(, ) = ·(−1)· = ·· ·−· =∞∑︁( · )=0!−· · =∞∑︁ ()· .=0Осталось только приравнять в последнем равенстве коэффициенты при степенях .
Мы снова получили () =(·) −·.! По-следняя формула в теории вероятностей известна как формулараспределения Пуассона.§ 1.3. Свойства простейшего потокаНа рис. 1 представлены графики функций (7) при = 0, 1, 2, 3 и = 4 . Взяв (при > 0) производную одной из функций (7) иприравняв ее к нулю, легко найдем точку максимума функции = . Значение вероятности в точке максимума ( ) ==!· − . Хотя мы предполагали > 0, формула =ведлива и при = 0.18спра-Рис. 1.Распределение ПуассонаНетрудно также аналитически доказать еще одну отраженнуюна рисунке закономерность. График каждой функции пересекает график следующей по значению функции в точке ее максимума.Как доказано выше, 0 () = −· – вероятность того, что за время не произойдет ни одного события или, иначе говоря, того,что промежуток между двумя событиями больше .Тогда ( < ) = () = 1 − −· – вероятность того, что время между двумя событиями меньше t, а плотность вероятности () = ′ () = · −· .¯ож = () =∫︁+∞∫︁ () · · =−∞019+∞ · −· · · =1– математическое ожидание времени t между двумя событиями.∫︁2+∞∫︁2 () · · = ( ) =−∞+∞ · −· · 2 · =022– математическое ожидание 2 .() = (2 ) − ( ())2 =1,2() =√︀1() =– соответственно дисперсия и среднее квадратичное отклонениевремени между двумя событиями от ожидаемого.
Иначе говоря,среднее время между заявками на обслуживаниеклонение от среднего такжеи среднее от-.1Заметим также, что ( ) =1!. Теперь определим ожидаемоеколичество событий за время и его разброс. () =∞∑︁ · () ==0= −· · · ∞∑︁·=1∞∑︁=1·( · ) −·=!( · )−1= −· · · (· )′ =!= · .Значит, математическое ожидание количества событий за времяt равно · , а – ожидаемое количество событий, приходящееся на единицу времени. Величину называют интенсивностьювходящего потока, или параметром потока.20Аналогично найдем математическое ожидание 2 :2 ( ) =∞∑︁=02 ·( · ) −··= · + ( · )2 ,!дисперсию и среднее квадратичное отклонение :() = ( 2 ) − [ ()]2 = · ,() =√︀√() = · .Таким образом, ожидаемое количество событий за время равно√ · ± · .§ 1.4. Простейший нестационарный потокКак было отмечено выше, стационарность потока является всеголишь допущением. По большей части реальные потоки не являются стационарными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
