Введение в теорию массового обслуживания (835790), страница 4
Текст из файла (страница 4)
То есть время обслуживания распределено по тому же закону, что и время между31двумя соседними заявками. Таким образом, для вероятностейпереходов выполняются равенства (18):01 (ℎ) = · ℎ + ∘(ℎ) и 10 (ℎ) = · ℎ + ∘(ℎ).Математическое ожидание времени обслуживания¯обсл = () =∫︁+∞∫︁+∞ () · · =−∞ · −· · · =01.Это соответствует полученному в первой главе результату длявремени ожидания очередной заявки ¯обсл = 1 . Естественновозникает вопрос: «Не несет ли в себе параметр смысл, аналогичный смыслу интенсивности простейшего потока ?».
Действительно, можно определить как ожидаемое количество обслуживаемых в единицу времени заявок при условии, что каналобслуживания работает непрерывно. На самом деле канал обслуживания иногда простаивает, и потому не совпадает с интенсивностью выходящего потока, т. е. потока обслуженных заявок.Запишем систему уравнений Колмогорова для одноканальнойСМО с отказами:⎧⎨ ′ () = − · 0 () + · 1 ();0⎩ ′ () = · () − · ().101Начальные условия 0 (0) = 1 и 1 (0) = 0 , т. е.
в начале работы32система готова принять заявку. Подставив в первое уравнение1 () = 1 − 0 (), получим 0′ () + ( + ) · 0 () = .(20)Решение1. Найдем решение соответствующего однородного уравнения:0′ () + ( + ) · 0 () = 0.0= −( + ) · = 0 =⇒ 0 () = −( + ) · + | |,0где − . Тогда 0 () = · −(+)· .2. Найдем одно частное решение исходного уравнения в виде() = методом неопределенных коэффициентов. Подставив () = в (20), получим ( + ) · = . Таким образом,() =+ .3.
Общее решение неоднородного линейного уравнения складывается из общего решения соответствующего однородного и произвольного частного решения. Следовательно, общее решение уравнения (20) будет иметь вид0 () = · −(+)· +Из условия 0 (0) = 1 вытекает =0 () =.++и искомое решение1· ( + · −(+)· ).+331 () найдем как 1 − 0 () и представим результат в виде⎧⎨0 () =⎩ () =11++Заметим, что lim 0 () =→+∞· ( + · −(+)· );· (1 −−(+)· ).(21), lim 1 () =. + →+∞+Таким образом, графики 0 () и 1 () на бесконечности стремятся к некоторым асимптотам.Значения 0 () =+и 1 () =+называют установивши-мися решениями, а также предельными вероятностями,или стационарными вероятностями. В установившихся решениях после мы не пишем в скобках .На рис. 5 представлены графики вероятностей состояний системы на временном интервале [0; 2]. Как видно, графики оченьбыстро сливаются с асимптотами.
В таких случаях часто сосредотачивают внимание на установившихся решениях. И все жеиногда, например, когда речь идет о запуске космического корабля, крайне важно поведение системы именно на начальномвременном интервале. На графиках представлены три решенияпри различных отношениях между интенсивностью входящегопотока заявок и интенсивностью обслуживания и, соответственно, три варианта установившегося решения:1. < – система чаще свободна, чем занята обслуживаниемзаявок;34Рис. 5.c)Одноканальная СМО с отказами: a)=3и=4и = 2,b)=2и = 4,=32. > – система чаще занята;3.
= – система простаивает ровно в половине случаев.Установившиеся решения можно получать и непосредственно изуравнений Колмогорова. Для этого достаточно в одном из уравнений (19) заменить переменные () на константы и доба35вить условие∑︀ = 1.Для рассмотренной в этом параграфе СМО система уравненийпримет вид⎧⎨− · 0 () + 1 = 0;⎩ () + = 1.0(22)1Разумеется, ее решение совпадет с результатом, полученным выше путем предельного перехода.Характеристики одноканальной СМО с отказами1. Ожидаемое время между двумя последовательнымизаявками1¯Ожид = .2.
Ожидаемое время обслуживания заявки1¯Обсл = .3. Относительная пропускная способность () = 0 ()– доля обслуженных заявок в общем количестве поступивших. В данном случае эта величина совпадает с вероятностью того, что единственный канал обслуживания в момент свободен.В пределе = 0 =36.+4. Абсолютная пропускная способность () = · () == · 0 () – среднее число обслуживаемых в единицу времени заявок.В пределе = ·0 =·.+Поскольку каждая принятая заявка будет обслужена, этавеличина здесь совпадает с интенсивностью выходящегопотока.5.
Ожидаемая доля необслуженных заявок среди поступивших в момент : отк () = 1 () = 1 − ().В пределеотк =.+Обратим внимание на тот факт, что рассмотренная в этомпараграфе система имеет два выходящих потока заявок. Впредельном случае: = · 0 =·+– интенсивность потока обслуженных заявок и = · 1 =2+– интенсивность потока потерянных заявок.37§ 2.3.
Дублированная СМО с восстановлениемТеперь рассмотрим одну классическую задачу теории надежности. Некоторое устройство в процессе работы может выходить из строя. Имеется резервное устройство, которое в случаенеисправности основного автоматически включается в работу.В этот же момент начинается восстановление основного. Будемсчитать, что резерв ненагруженный, т. е. во время работы основного устройства резервное не может потерять работоспособность.Пусть – интенсивность потока отказов, – интенсивность восстановления.
Тогда 1 = ¯отк – ожидаемая наработка на отказ,т. е. среднее время работы устройства до его отказа,– ожидаемое время1= ¯восствосстановления неисправного устройства,т. е. среднее время устранения неисправности.Изначально система находится в состоянии 0 – работает основное устройство. В случае выхода из строя основного устройства,система переходит в состояние 1 – работает резервное устройство.
Если во время работы резервного устройства было восстановлено основное, система возвращается в 0 . Если же до восстановления основного устройства вышло из строя резервное, система переходит в состояние 2 , что фактически означает прекращение работы системы.Составим по изображенной на рис. 6 схеме систему уравнений38Колмогорова:⎧⎪ ′ () = − · 0 () + · 1 ();⎪⎪⎨ 01′ () = · 0 () − ( + ) · 1 ();⎪⎪⎪⎩ ′2 () = · 1 ().Рис. 6.(23)Дублированная СМО с восстановлениемНачальные условия: 0 (0) = 1 и 1 (0) = 2 (0) = 0.
Из второгоуравнения выразим · 0 () = 1′ () + ( + ) · 1 ().(24)Левую и правую части первого из уравнений (23 ) умножим на и подставим в полученное уравнение значение · 0 () из (24).После приведения подобных членов получим линейное однородное уравнение второго порядка1′′ () + (2 · + ) · 1′ () + 2 · 1 () = 0.Составим соответствующий ему характеристический многочлен: 2 + (2 · + ) · + 239и найдем его корни: = 4 + 2 ;1 =2 =√︀−(2 · + ) − 4 + 2< 0;2 √︀−(2 · + ) + 4 + 2.2Поскольку 4+2 < (2·+)2 , 2 также меньше нуля. Все корнихарактеристического уравнения отрицательны. Многочлен, вещественные части всех корней которого отрицательны, называют textbfустойчивым. Устойчивость означает, что, как и в примере предыдущего параграфа, все экспоненты, линейной комбинацией которых является решение уравнения, при → +∞стремятся к нулю и уравнение имеет предельное решение.Общее решение уравнения запишем в виде√1 () = −2+·2· (1 · 4+2·2√+ 2 · −4+2·2).Подставив в уравнение = 0 и применив начальное условие1 (0) = 0, получим 2 = −1 .
С целью экономии пространстваи времени введем обозначения:2 + =и2√︀4 + 2= .2Теперь уравнение перепишем в виде1 () = · − · ( − − )40и возьмем производную1′ () = · − · (( − ) · + ( + )− ).(25)Подставив во второе уравнение (23) = 0, и, учитывая 0 (0) == 1 и 1 (0) = 0, получим недостающее для дифференциальногоуравнения второго порядка начальное условие 1′ (0) = . При = 0 из (25) следует: · ( − + + ) = или =1 () =2 . −·· ( − − ).2Теперь легко из (24) получим уравнение0 () =1· − · (( + ) · + ( − ) · − ).222Вероятность безотказной работы системы в течение времени () = 0 () + 1 () =1 −·· (( + ) · − ( − ) · − ). (26)2Разумеется, 2 () = 1 − (). Причем lim→+∞ 2 () = 1, и, значит, система в конце концов закончит свой путь в состоянии 2 .Однако нас в этой задаче прежде всего интересует вероятностьбезотказной работы системы в течение заданного времени.
Подставив в правую часть (26 ) значения и , после ряда преобразований получим:− 2+·2() = √︀√︀4 + 24 + 2·[ √︀·ℎ()+ℎ(·)].224 + 2(27)2 + 41Чтобы найти вероятность безотказной работы соответствующейСМО с резервом без восстановления, достаточно устремить к нулю .lim −2+2→0= −· ;√︀4 + 2· ) = 1;lim ℎ(→02√︀4 + 2 √︀ℎ( · )lim ℎ()/ 4 + 2 = lim=→0→022 − − · ( − − )= lim= lim= .→0→0442Следовательно,lim () = −· · (1 + · ).→0На рис.7 представлены графики функции () при > 0 (си-Рис. 7.График R(t) при = 2.Сплошная линия: = 4,пунктир:=0стема с восстановлением) и = 0 (система без восстановления).Теперь найдем ожидаемое время наработки системы на отказ.Функция распределения времени безотказной работы () = 1 −(). Соответственно, плотность распределения () = ′ ().
Вер-42немся к более компактной, чем (28), формуле (26). Тогда () =2· (−(−)· − −(+)· ).2Обозначим наработку на отказ системы ¯сист в отличие от наработки на отказ каждого устройства ¯отк :¯сист = () =∫︁∞ · () · =0211·(−).22 ( − )( + )2Подставив значения и , получим:2¯сист = + 2 . Здесь2– увеличение наработки системы на отказ за счет восстановления. При = 0 значение ¯сист = 2 = 2 · ¯отк . То естьнаработка на отказ системы без восстановления равна сумме наработок на отказ основного и резервного устройств. Тот же результат можно получить, взяв() = −· · (1 + · ), () = 1 − () =⇒ () = ′ () = 2 · · −· .∫︁ ∞∫︁¯сист = () = · () · =00∞2 · 2 · −· · =2.Например, система, где = 0, 5 без восстановления будет иметьнаработку на отказ ¯сист = 4, а при интенсивности восстановления = 2 получим ¯сист = 12.43§ 2.4.
СМО с приоритетными заявкамиСистемы массового обслуживания с приоритетами мы наблюдаем в железнодорожных кассовых залах, когда вне очереди оформляют билеты ветеранам войн и другим категориям граждан, накоторые распространяется соответствующая льгота; в стоматологическом кабинете, где принимают без очереди пациентов сострой болью. Можно привести много подобных примеров.Системы с приоритетами классифицируют прежде всего по количеству категорий заявок. Так, в военно-полевой медицине принято делить раненых на четыре группы по срочности оказаниямедицинской помощи. Такая классификация впервые была предложена выдающимся российским хирургом Николаем Ивановичем Пироговым. На телеграфе когда-то выделяли три категориителеграмм: простые, срочные и молния.
СМО с приоритетамиможет быть с отказами или с очередями. Кроме того, при поступлении приоритетной заявки обслуживание «рядовой» можетпрерываться или же система будет ждать завершения обслуживания. Например, в противовоздушной обороне при появленииболее опасных целей система может отпустить неприоритетнуюзаявку и переключиться на обслуживание «дорогих гостей».Мы рассмотрим СМО (рис. 8) с отказами и с двумя входящими потоками заявок: обычный с интенсивностью 1 и приоритетный с интенсивностью 2 . Интенсивности обслуживания соответствующих заявок – 1 и 2 . Система может находиться в44Рис. 8.СМО с приоритетамитрех состояниях: 0 – свободна, 1 – обработка обычной заявки, 2 – обработка приоритетной заявки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
