1612725063-eb24d9660fd97b365f78091f0a818088 (828996), страница 46

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 46)

Математические выражения для этих величин часто приводят к бесконечностям. Однако оказалось возможным ликвидировать эти бесконечности, пользуясь техникой перенормировок массы и заряда й Бете, 1947 г.; Крамерс, 1948 г.; Тати и Томонага, 1948 г.: вингер, 1948 г:, Дайсон, 1949 г.). Например, эффект взаимо,действия электрона с полем' излучения состоит в том, что появляется добавочная энергия, пропорциональная кинетической энергии электрона, причем коэффициент пропорциональности имеет вид логарифмически расходящегося интеграла. Но эта добавочная энергия могла бы быть обусловлена н увеличением массы покоя электрона с ш до ш+6т, где 6ш и содержит расходящийся интеграл.

Поскольку, однако, всякий электрон непре менно взаимодействует с полем излучения, его наблюдаемая масса покоя равна именно т+бт,. так что величина т+6лт должна с самого начала использоваться в теории. Поэтому в современной теории мы должны компенсировать это увеличение массы, вычитая добавки к кинетической энергии, обусловленные 6т. Это как раз и приведет к сокращению бесконечной части собственной энергии электрона. Такой процесс, известный как иеренормировка массы, удаляет бесконечности, появляющиеся в теории в результате учета взаимодействия с излучением. Остающиеся бесконечности, связанные с поляризацией вакуума, можно ликвидировать с помощью аналогичного процесса, называемого иеренормировкой заряда.

В этом случае возникающие бесконечности эквивалентныизменению заряда электрона на бе, причем бг представляет собой заряд, индуцированный в вакууме, и включает все расходящиеся интегралы. Поскольку, однако, вакуум всегда присутствует, наблюдаемый заряд всегда равен г+бг. Как и в перенормировке массы, для компенсация этого необходимо вычесть члены, обусловленные бе, что снова в точности компенсирует пресловутые бесконечности Итак, хотя главная непреодоленная трудность теории заключается в непременном появлении бесконечных величин, процесс перенормировки обеспечивает возможность однозначно ликвидировать их, Э 9.

Плотноегь лленгронноео облака ~ У. Плотность алектрокного облака Вернемся теперь к проблеме, рассматривавшейся в $8 на- стоящей главы. Обсудим, как можно осуществить эксперимен- тальное исследование плотности вероятности ~ф~' электронного облака при помощи измерения интенсивности рентгеновских лу- чей н электронов, рассеянных в веществе.

Мы видели (гл. Ш, 5 2; приложение 8), что обычный свет рассеивается на свободных электронах. Как известно, падаю- щий луч интенсивности 1е вызывает излучение, интенсивность Уг которого в точке, удаленной на расстояние г от рассеивателя й лежащей на линии, образующей угол 8 с направлением падаю- щего луча, равна Если же электроны не свободны, а связаны в атоме, это выра- жение оказывается неверным, и его необходимо умножить на коэффициент, зависящий от плотности электронного облака. Вычисление (проведенное в приложении 14) дает Ц8) = ! Р (8ИЧ (8), где Р(8) = 4л ~ г~ ~ ф(г) ~~ — К-~ бг. о Р(8) называют атомньем формфакгором. Фигурирующая в нем величина К зависит от угла 8 между направлением падающего луча и направлением наблюдения: К= 2А з1п — 8, 1 где А=2я/Х вЂ” волновое число (число волн на 2п см). Наблюдения Р(8) для всех углов отклонения 8 дают воз- можность определить ~ф(г) ~', для чего необходимо решить при- веденное выше интегральное уравнение.

Хотя математически сделать это просто — требуется лишь обратить обычный инте- грал Фурье, — практическое осуществление этой операции чрез- вычайно сложно. Дело в том, что мы вынуждены изучать не отдельные атомы, а совокупйости огромных количеств их в газах, жидкостях или твердых телах. Структура среды приво- дит к образованию интерференционных картин, накладываю- щихся на картины, связанные с формфактором. В газах и жид. костях, атомы которых расположены беспорядочно, мы полу- чаем кольца уменьшающейся интенсивности вокруг падающего луча.

Вид колец в основном зависит от среднего расстояния Гл. П. Сааи алаатраиа и ариичаа Паули между атомами. В твердых кристаллах получаются хорошо известные интерференционные картины Лауэ — Брегга. Формфактор модифицирует распределение интенсивностей в этих эффектах, но не он один влияет на него. Имеются чисто геометрические факторы, такие, как ширина и удаленность используемых щелей, температурный эффект, связанный с тепловым движением атомов, влияние неидеальности кристалла и т. д.

Поэтому не так легко отделить эффект формфактора от действия всех Остальных причин, определяющих наблюдаемую интенсивность. В случае рассеяния электронов с достаточно большими скоростями мы получаем следующее выражение для числа частиц, отклоненных на угол 8 в единице телесного угла (приложение 24), называемого дифференциальным сечением; О (В) =11(В) 1а, где ПВ) = —,",, — „„Д,-й. (.г — Р(Е) )1 зто сводится к формуле Резерфорда (гл.

1П, 5 3; приложения 9 и 20), если пренебречь членом Г(6). Следовательно, формфакгор Р(й) описывает экранирование заряда ядра электронным облаком. Практическое применение этой формулы наталкивается на те же трудности, что и в случае рентгеновских лучей. Трудности связаны с коллективным воздействием многих атомов, расположенных беспорядочно или в определенном порядке, а также со всеми другими эффектами, упомянутыми выше.

Кроме того, формула рассеянйя скраведлиаа только для быстрых электронов, а рассеяние медленных электронов требует пряменения более тонких методов расчета. Все эти обстоятельства указывают на желательность теоретического определения формфактора. Такая задача эквивалентна вычислению 1ф~' теоретическим путем. Простейший метод, предложенный независимо Томасом (1926 г.) и Ферми (1928 г.), состоит в полном пренебрежении характером состояний отдельных электронов и замене индивидуальных волновых функций статистическим средним. Как мы видели в $2 гл, У, первоначальные квантовые условия Бора— Воммерфельда можно интерпретировать следующим образом. Пусть пара сопряженных величин, координата д и импульс р, представляют координаты точки в рп-плоскости. Тогда квантовое условие означает, что семейство кривых постоянной энергии Н(р, д) =сопз1 разрезает плоскость таким образом, что все плошади между соседними кривымн равны Ь.

Если эти площади назвать ячейками, то можно сказать, что на каждую З у. Плотнасть электронного облака ячейку приходится точно одно состояние. Квантовая механика подтверждает этот факт. Он следует из принципа неопределенности Гейзенберга, согласно которому Арба Ь и который мож. ио интерпретировать в том смысле, 4то разделение рд-плоскости на ячейки, меньшие Й, физически ничего не означает. Эти качественные аргументы можно сформулировать как строгое утверждение, рассмотрев детально возможные состояния свободной частицы, как это будет сделано позднее (гл. ЧП1, $2). Переходя к движению в пространстве, мы получаем три координаты и три импульса.

Поэтому вместо рд-плоскости имеется 6-мерное пространство, которое должно быть разделено на ячейки с 6-мерным объемом Ьа. Будем теперь считать, что все электроны в атоме находятся в совершенно одинаковых условиях. В частности, каждый электрон подчиняется закону сохранения энергии; причем потенциальная энергия равна вф, где ф — средний потенциал, создаваемый ядром и ~всеми остальными электронами. Затем применим принцип Паули, утверждающий, что в каждом состоянии, т.

е. з каждой ячейке объемом ла, может находиться только два электрона (а не один, поскольку возможны две ориентации спина). Если максимальный из появляющихся импульсов равен Р, то в пространстве импульсов будет заполнен объем, ограниченный сферой радиуса Р (с центром в точке Р 0) и равный поэтому '!аяРа. Это выражение представляет собой объем в 6-мерном рд-пространстве, если объем в координатном пространстве принять за единицу.

Умножив его на 2 и разделив на Ю, мы получим число электронов в единице объема, обладающих импульсами меньше Р. Произведение этого числа а!,яР'(йа на заряд электрона е представляет собой плотность электронов с р<Р: — %)' Теперь и р, и Р можно выразить через средний электростатический потенциал ф.

Для р это сделать очень просто в возьмем уравнение Пуассона, которое в предположении, что и р, и ф симметричны относительно ядра и зависят только от расстояния г до него, имеет внд 1 йр = — — „, (гф) = — 4яр. С другой стороны, Р можно получить из закона сохранения энергии -2-- — аР(г) = Е, Ф Гл.

У1. Саин электрона и иринина Паули для у — граничные условия =' Ф).=%~+И.=-% Другое граничное условие мы найдем, заметив, что вблизи ядра вклад электронов в потенциал пренебрежимо мал, так что ~р(г)-+еЕ/г, нли гэр(г) -~. ел. при г-ю О. Подставляя значение Р в формулу для р, мы получаем р= з «т ! Ф(г)! Умноженное на — 4я, это выражекие представляет собой правую часть уравнения Пуассона, которое теперь содержит только одну неизвестную функцию ф(г).

От всех численных постоянных можно избавиться, введя новые единицы для длины и потенциала. Именно, введем х —, Ф(х) = — г<р (г), а=а, (-~ — -) *, где аэ — Ю/4я'пэеэ — радиус первой боровской орбиты для водо- рода (гл. Ч, $ !). Если подставить все это в наше дифферен- циальное уравнение, то после элементарных вычислений оно приведется к виду л' Х= —, а учитывая, что в атоме связаны только те электроны, для которых работа, необходимая чтобы перенести их на «поверхность» атома, положительна.

Характеристики

Список файлов книги