1612725072-3b5bf0dbc627b001fc8c0870972eb71d (828982), страница 9
Текст из файла (страница 9)
ÎÏÅÀÒÎÛ 21. Êâàçèñòàöèîíàðíûå ñîñòîÿíèÿÏîêàæåì, êàê ìîæíî ïîëó÷èòü ýòè ðåçóëüòàòû.Ñîñòîÿíèå Ψ(x, t), êîíå÷íî, íå ÿâëÿåòñÿ ñòàöèîíàðíûì èïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóïåðïîçèöèþ ñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèéψE (x):ZcE e−iEt/~ ψE (x) dE ,Ψ(x, t) =81dW/dEw012 w0(21.4)ãäå êîýèöèåíòûcE =ZψE∗ (x) Ψ(x, 0) dxîïðåäåëÿþò ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè â ýíåðãåòè÷åñêîì ïðåäñòàâëåíèèdW (E)= | c E |2 .dEÏîäñòàâèì (4) è àíàëîãè÷íîå âûðàæåíèå äëÿ Ψ(x, 0) â àìïëèòóäó a(t):a(t) =Z ·Zc∗E ′ψE∗ ′ (x) dE ′¸¸ ·Z−iEt/~ψE (x) dE dx ,·cE eE− En E+(çäåñü|cE |2 e−iEt/~ dE ,(21.5)ò. å. âðåìåííîé çàêîí ðàñïàäà îïðåäåëÿåòñÿ ýíåðãåòè÷åñêèì ðàñïðåäåëåíèåì íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ (Ôîê è Êðûëîâ, 1947).àññìîòðèì ìîäåëü, â êîòîðîé ðàñïðåäåëåíèå ïî ýíåðãèèèìååò ðåçîíàíñíûé õàðàêòåð òèïà (3), ò.
å. ñîñðåäîòî÷åíî âáëèçè çíà÷åíèÿ En â èíòåðâàëå ∆E ∼ Γ (ðèñ. 16):| cE |2 =dWΓ=.dE2π[(E − En)2 + (Γ/2)2]E± = En ± 21 Γ)(21.7)ìû ïîëó÷èì a(t) è W (t) â ñîãëàñèè ñ îðìóëîé (2).è äàëåå ïî E ′ .  èòîãå ïîëó÷èì âàæíîå ñîîòíîøåíèåa(t) =èE = En − 2i Γ ,ψE∗ ′ (x)ψE (x) dx = δ(E − E ′)Zw0 = 2/(πΓ)Ïîäñòàâèì ýòî çíà÷åíèå â (5) è çàìåíèì èíòåãðàë ïî âåùåñòâåííîé ïåðåìåííîé E â ïðåäåëàõ îò −∞ äî +∞ íà çàìêíóòûé êîíòóð, ñîäåðæàùèé âåùåñòâåííóþ îñü è ïîëóîêðóæíîñòü ðàäèóñàR → ∞ â íèæíåé (ïðè t > 0) ïîëóïëîñêîñòè.
Âçÿâ âû÷åò âíèæíåé ïîëóïëîñêîñòè êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé E â òî÷êå2ïðîâåäåì èíòåãðèðîâàíèå ïî xZEèñ. 16. àñïðåäåëåíèå ïî ýíåðãèè äëÿ êâàçèñòàöèîíàðíîãî ñîñòîÿíèÿ(21.6)Ïðè Γ → 0 èìååì:dW→ δ(E − En) ,dEè ñîñòîÿíèå ïåðåõîäèò â ñòàöèîíàðíîå ñîñòîÿíèå ñ ýíåðãèåé En .2 Ôîðìóëó (7) èíîãäà èíòåðïðåòèðóþò òàêèì îáðàçîì: êâàçèñòàöèîíàðíîåñîñòîÿíèå ìîæíî îðìàëüíî ðàññìàòðèâàòü êàê ñîñòîÿíèå ñ êîìïëåêñíîéýíåðãèåéÿíèÿ.E = En − 2i Γ,â êîòîðîé ìíèìàÿ ÷àñòü îïðåäåëÿåò øèðèíó ñîñòî-82ëàâà II.ÓÀÂÍÅÍÈÅ ØÄÈÍÅÀ.
ÎÏÅÀÒÎÛ 22. Ìîäåëü α-ðàñïàäà83Çàäà÷à21.1. Íàéòè ïîëîæåíèå è øèðèíó êâàçèñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèé â ïîëåU (x) =½∞ïðè x < 0G δ(x − a) ïðè x > 0 .Ñïåöèàëüíî îáñóäèòü ñëó÷àé ìàëîïðîíèöàåìîãî áàðüåðà (ïðèG ≫ ~2/(ma), ñð. ñ çàäà÷åé 4.56 èç [4℄). 22.Ìîäåëü α-ðàñïàäàèñ. 17. Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ñëó÷àþÓ òÿæåëûõ α-àêòèâíûõ ÿäåð âðåìÿ æèçíè èçìåíÿåòñÿ âî÷åíü øèðîêèõ ïðåäåëàõ τ ∼ 10−7 ñ ÷1017 ëåò, à ýíåðãèÿ âûëåòàþùèõ α-÷àñòèö, íàïðîòèâ, èçìåíÿåòñÿ â î÷åíü óçêîì èíòåðâàëå E = 4 ÷ 9 ÌýÂ. Ýêñïåðèìåíòàëüíî óñòàíîâëåíà î÷åíüñèëüíàÿ çàâèñèìîñòü ïåðèîäà ïîëóðàñïàäà T1/2 îò ýíåðãèè âûëåòàþùèõ α-÷àñòèö E (çàêîí åéãåðà Íåòòîëà):Blg T1/2 = −A + √ ,Eãäå A è B êîíñòàíòû, ñëàáî çàâèñÿùèå îò çàðÿäà ÿäðà Z(äëÿ Z = 90 èçâåñòíî A = 51, 94; B = 139, 4 ÌýÂ1/2 , åñëè T1/2â ñåêóíäàõ).
Îáúÿñíåíèå îñîáåííîñòåé α-ðàñïàäà áûëî äàíî âêâàíòîâîé ìåõàíèêå (. àìîâ, 1928).Ïóñòü α-÷àñòèöà äâèæåòñÿ â ïîòåíöèàëüíîì ïîëå âèäàðèñ. 17, ãäå íà ìàëûõ ðàññòîÿíèÿõ äåéñòâóþò ïðèòÿãèâàþùèåÿäåðíûå ñèëû, à íà áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ êóëîíîâñêîå îòòàëêèâàíèå. Ïðè b → ∞ óðîâåíü En îáû÷íîå ñòàöèîíàðíîåñîñòîÿíèå ñ Γ = 0. Êîíå÷íîñòü áàðüåðà ïðèâîäèò ê êîíå÷íîìó âðåìåíè æèçíè τ è ∆E ∼ Γ. Îöåíêó âðåìåíè æèçíè ìîæíîïðîâåñòè ñëåäóþùèì îáðàçîì: α-÷àñòèöà ïîäõîäèò ê ãðàíè÷íîéα-ðàñïàäàòî÷êå a â ñðåäíåì 1/Têëàññ ðàç â ñåêóíäó, ãäåTêëàññ=2Za0dr,v(r)è ïðîñà÷èâàåòñÿ ÷åðåç áàðüåð ñ âåðîÿòíîñòüþ, ðàâíîé êîýèöèåíòó ïðîõîæäåíèÿ D. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ âðåìåíè æèçíèïîëó÷àåì îöåíêóτ∼TêëàññD.Òàêîé æå îòâåò ïîëó÷àåòñÿ è â êâàçèêëàññè÷åñêîì ïðèáëèæåíèè.
àñ÷åò â ýòîì ñëó÷àå óäîáíî ïðîâîäèòü â ñëåäóþùåéïîñòàíîâêå. Èùåòñÿ ñòàöèîíàðíîå ðåøåíèå ñ âîëíîâîé óíêöèåé, ñîîòâåòñòâóþùåé ñòîÿ÷åé âîëíå â îáëàñòè 0 < r < a èñóïåðïîçèöèè äâóõ áåãóùèõ âîëí:ψ(r) ∝ A(E) eikr + B(E) e−ikr ïðè r → ∞ .(22.1)Ïîòðåáóåì, ÷òîáû êîýèöèåíò B(E) îáðàùàëñÿ â íóëü,B(E) = 0 ,(22.2)84ëàâà II.ÓÀÂÍÅÍÈÅ ØÄÈÍÅÀ.
ÎÏÅÀÒÎÛ÷òî ñîîòâåòñòâóåò âûëåòàíèþ ÷àñòèö èç îáëàñòè r < a. Òàêîå òðåáîâàíèå âûïîëíÿåòñÿ òîëüêî äëÿ êîìïëåêñíûõ çíà÷åíèéýíåðãèè âèäà (21.7). Ïîëó÷åííîå òàêèì îáðàçîì ðåøåíèå ñîîòâåòñòâóåò êâàçèñòàöèîíàðíîìó ñîñòîÿíèþ ñ øèðèíîé, îïðåäåëÿåìîé ìíèìîé ÷àñòüþ íàéäåííîãî çíà÷åíèÿ ýíåðãèè.ëàâà IIIÌÎÌÅÍÒ ÈÌÏÓËÜÑÀ.Çàäà÷à22.1.Ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ α-÷àñòèö, äâèæóùèõñÿ â ìîäåëüíîìïîòåíöèàëåU (r) =½0 ïðè r < aα/r ïðè r > aè ïðè óñëîâèè E ≪ α/a, äîëæåí âûïîëíÿòüñÿ çàêîí åéãåðà Íåòòîëà, è íàéòè âèä êîýèöèåíòîâ A è B ÷åðåç ïàðàìåòðûçàäà÷è.ÖÅÍÒÀËÜÍÎÅ ÏÎËÅ 23.Ìîìåíò èìïóëüñà23.1.
Ñäâèã è ïîâîðîòÎïåðàöèè ñäâèãà è ïîâîðîòà èìåþò ðÿä îáùèõ ÷åðò. Äëÿ îäíîé ÷àñòèöû îïåðàòîð ñäâèãà îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåìT̂a ψ(r) ≡ ψ(r + a)è ñîîòâåòñòâóåò3 ñäâèãó ñèñòåìû êîîðäèíàò íà ðàññòîÿíèå a èëèñäâèãó ÷àñòèöû íà ðàññòîÿíèå (−a).  16 ïîêàçàíî, ÷òî îïåðàòîð ñäâèãà ñâÿçàí ñ îïåðàòîðîì èìïóëüñà p̂ ñîîòíîøåíèåìT̂a = eiap̂/~ .3 Äëÿ ñêàëÿðíîé (íå îáëàäàþùåé ñïèíîì) ÷àñòèöû ïðåîáðàçîâàííàÿ âîë-ψ ′ (r′ ) äîëæíà ñîâïàäàòü ñ èñõîäíîéêîîðäèíàòàõ ψ(r), ò.
å. äîëæíû âûïîëíÿòüñÿíîâàÿ óíêöèÿ â íîâûõ êîîðäèíàòàõâîëíîâîé óíêöèåé â ñòàðûõðàâåíñòâàψ ′ (r′ ) = T̂a ψ(r′ ) = ψ(r′ + a) = ψ(r) .Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òîr ′ = r − a,ò. å. îïåðàòîðT̂añîîòâåòñòâóåò ñäâèãóa. Ñàìà ÷àñòèöà ïðè ýòîì ñìåùàåòñÿ íà(−a), â ÷àñòíîñòè, ñðåäíèå çíà÷åíèÿ îïåðàòîðà r â ñîñòîÿíèÿõψ(r) ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèÿìèñèñòåìû êîîðäèíàò íà ðàññòîÿíèåðàññòîÿíèåψ ′ (r)èhψ ′ (r)| r |ψ ′ (r)i = hψ(r)| T̂a−1 rT̂a |ψ(r)i = hψ(r)| r |ψ(r)i − a .86ëàâà III.ÌÎÌÅÍÒ ÈÌÏÓËÜÑÀ. ÖÅÍÒÀËÜÍÎÅ ÏÎËÅàññìîòðèì ïîâîðîò íà óãîë θ= θ n, ãäå åäèíè÷íûé âåêòîðn çàäàåò íàïðàâëåíèå îñè ïîâîðîòà.
Ïóñòü ïðè òàêîì ïîâîðîòåêîìïîíåíòû âåêòîðà r ïðåîáðàçóþòñÿ ïî çàêîíóx′i=3XΛik xk ,k=1ãäå Λ îðòîãîíàëüíàÿ ìàòðèöà ïîâîðîòà, ΛT = Λ−1 , ò. å. âåêòîðr ïåðåõîäèò â âåêòîð r′:r′ = Λr .Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî îïåðàòîð ïîâîðîòà, îïðåäåë¼ííûé äëÿ áåññïèíîâîé ÷àñòèöû êàêR̂θ ψ(r) ≡ ψ(Λ−1r) ,ñîîòâåòñòâóåò ïîâîðîòó ñèñòåìû êîîðäèíàò íà óãîë θ èëè ïîâîðîòó ÷àñòèöû íà óãîë (−θ) è ñâÿçàí ñ îïåðàòîðîì ìîìåíòàèìïóëüñà M̂ = r × p̂ ñîîòíîøåíèåì4R̂θ = eiθM̂/~ .Ñîáñòâåííàÿ óíêöèÿ îïåðàòîðà∂p̂z = −i~∂zèìååò âèäeikzψk (z) = √2π4 Àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó ñëó÷àþ äëÿ îïåðàòîðà ïîâîðîòà èìåþò ìåñòîðàâåíñòâàψ ′ (r′ ) = R̂θ ψ(r′ ) = ψ(Λ−1 r′ ) = ψ(r) , R̂θ−1 r R̂θ = Λ r . 23.
Ìîìåíò èìïóëüñà87è ñîîòâåòñòâóåò ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ ~k . Àíàëîãè÷íî ñîáñòâåííàÿ óíêöèÿ îïåðàòîðàM̂z = p̂ϕ = −i~∂,∂ϕãäå ϕ àçèìóòàëüíûé óãîë â ñåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ, èìååòâèäΦm(ϕ) = A eimϕè ñîîòâåòñòâóåò ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ ~m. Íà ýòîì îäíàêîàíàëîãèÿ ìåæäó ñäâèãîì è ïîâîðîòîì êîí÷àåòñÿ.Ñîáñòâåííàÿ óíêöèÿ îïåðàòîðà p̂z îïðåäåëåíà íà âñåé ïðÿìîé,−∞ < z < +∞ ,ñïåêòð îïåðàòîðà èìïóëüñà íåïðåðûâíûé, à åãî ñîáñòâåííûåóíêöèè íîðìèðîâàíû íà δ -óíêöèþ:Z∞−∞ψk (z)∗ψk′ (z) dz = δ(k − k ′) .Ñîáñòâåííàÿ óíêöèÿ îïåðàòîðà M̂z îïðåäåëåíà â îãðàíè÷åííîé îáëàñòè,0 ≤ ϕ ≤ 2π ,òðåáîâàíèå îäíîçíà÷íîñòèΦm(ϕ + 2π) = Φm(ϕ)ïðèâîäèò ê äèñêðåòíîìó ñïåêòðóm = 0, ±1, ±2, .
. .Îðòîíîðìèðîâàííàÿ ñèñòåìà ñîáñòâåííûõ óíêöèé îïåðàòîðàM̂z òàêîâà:eimϕΦm(ϕ) = √ ,2πZ02πΦ∗m′ (ϕ) Φm(ϕ) dϕ = δmm′ .(23.1)88ëàâà III.ÌÎÌÅÍÒ ÈÌÏÓËÜÑÀ. ÖÅÍÒÀËÜÍÎÅ ÏÎËÅÄàëåå ðàçëè÷íûå êîìïîíåíòû îïåðàòîðà èìïóëüñà êîììóòèðóþò äðóã ñ äðóãîì, ïëîñêàÿ âîëíàψk(r) =eikr(2π)3/2ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñîâìåñòíóþ ñîáñòâåííóþ óíêöèþ îïåðàòîðîâ p̂x , p̂y è p̂z .
Íàïðîòèâ, ðàçëè÷íûå êîìïîíåíòû îïåðàòîðàìîìåíòà èìïóëüñà íå êîììóòèðóþò äðóã ñ äðóãîì. Ââåäåì áåçðàçìåðíûé îïåðàòîðM̂l̂ ≡= −ir × ∇ .~Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî[lˆj , lˆk ] = iεjknlˆn, [lˆj , l̂2] = 0 .Îòñþäà âèäíî, ÷òîóíêöèè îïåðàòîðîââûáèðàþò ïîñëåäíèé(23.2)ìîæíî èñêàòü ñîâìåñòíûå ñîáñòâåííûålˆx è l̂2, èëè lˆy è l̂2, èëè lˆz è l̂2, îáû÷íîâàðèàíò:l̂2 ψλm = λ ψλm , lˆz ψλm = m ψλm .(23.3)23.2. Ñâîéñòâà ñîáñòâåííûõ óíêöèé è ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèéîïåðàòîðîâˆlzè2l̂, ñëåäóþùèå èç êîììóòàöèîííûõ ñîîòíîøåíèéïðè ýòîì (lˆ+ )+ = lˆ− . Íåòðóäíî ïîêàçàòü,÷òîlˆz lˆ± = lˆ±[lˆ±, l̂2] = 0 ,l̂2 = lˆ+lˆ− + lˆz2 − lˆz = lˆ−lˆ+ + lˆz2 + lˆz .Ñîîòíîøåíèÿ (4) ìåæäó îïåðàòîðîì lˆz è îïåðàòîðàìè lˆ+ è lˆ−àíàëîãè÷íû ñîîòíîøåíèÿì (7.1) ìåæäó îïåðàòîðîì àìèëüòîíàĤ è ïîâûøàþùèì â+ è ïîíèæàþùèì â îïåðàòîðàìè äëÿ ëèíåéíîãî îñöèëëÿòîðà.
Ïîýòîìó îïåðàòîðû lˆ+ è lˆ− èãðàþò ðîëüïîâûøàþùèõ è ïîíèæàþùèõ îïåðàòîðîâ äëÿ ñîñòîÿíèé ñ îïðåäåë¼ííûì çíà÷åíèåì lˆz . Äåéñòâèòåëüíî, èç (4)(5) ñëåäóåòò. å.l̂2 lˆ± ψλm = λ lˆ± ψλm , lˆz lˆ± ψλm = (m ± 1) lˆ± ψλm ,lˆ± ψλm = Cλm ψλm±1 .(23.7)Ïîñêîëüêó h lz2 i ≤ h l2 i, òî ïðè çàäàííîì λ ñóùåñòâóåò ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå m, îáîçíà÷èì åãî mmax ≡ l, è ìèíèìàëüíîåçíà÷åíèå mmin = −l. ßñíî, ÷òîlˆ+ ψλl = 0 ,îòñþäà ñ ó÷åòîì (6) ïîëó÷àåì:èëè´³¡¢ˆl−lˆ+ ψλl = l̂2 − lˆ2 − lˆz ψλl = λ − l2 − l ψλl = 0 ,zλ = l(l + 1) .Ïðèìåíÿÿ n ðàç ïîíèæàþùèé îïåðàòîð lˆ− ê ñîñòîÿíèþ ñ íàèáîëüøèì mmax = l, ìû ïîëó÷èì:Óâåëè÷èâàÿ n, ìû ïðèäåì ê íàèìåíüøåìó çíà÷åíèþ mmin = −l,â ýòîì ñëó÷àå l − n = −l, ò.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
