1612725072-3b5bf0dbc627b001fc8c0870972eb71d (828982), страница 6
Текст из файла (страница 6)
ÎÏÅÀÒÎÛêâàíòîâîé ìåõàíèêè, íàçûâàåìàÿ ïðåäñòàâëåíèåì àéçåíáåðãà,áóäåò ðàññìîòðåíà â 14).Êîãäà âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòü èñïîëüçîâàòü âåëè÷èíó, ñîîòâåòñòâóþùóþ êëàññè÷åñêîé ïðîèçâîäíîé ïî âðåìåíè îò âåëè÷èíû A(r(t), p(t), t), ïðèõîäèòñÿ îïðåäåëÿòü ñîîòâåòñòâóþùèéêâàíòîâûé îïåðàòîð. Åñòåñòâåííî îïðåäåëèòü îïåðàòîð ïðîèçâîäíîé ïî âðåìåíè ddt òðåáîâàíèåì, ÷òîáû ñðåäíåå çíà÷åíèå ýòîãî îïåðàòîðà ñîâïàäàëî ñ ïðîèçâîäíîé ïî âðåìåíè îò ñðåäíåãîçíà÷åíèÿ îïåðàòîðà Â:* ¯ ¯ +¯ d ¯d¯ ¯Ψ ¯ ¯ Ψ ≡ hΨ|Â|Ψi .¯ dt ¯dtÈñïîëüçóÿ óðàâíåíèå Øð¼äèíãåðà, ïðàâóþ ÷àñòü ýòîãî ðàâåíñòâà ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäådhΨ|Â|Ψi =dt¿Òàêèì îáðàçîì,Ïîêàæèòå, ÷òîÀ * ¯¯ ¯¯ + ¿ ¯ ¯À∂Ψ ¯¯ ¯¯¯ ∂  ¯¯ ¯ ∂Ψ=¯Â¯ Ψ + Ψ ¯ ¯ Ψ + Ψ ¯Â¯¯ ∂t ¯∂t∂t¯ +* ¯¯¯ ∂ Â1¯¯+ [Â, Ĥ]¯ Ψ .Ψ¯¯¯ ∂t i~d ∂  i=+ [Ĥ, Â] .dt∂t ~(12.2)(12.3)Åñëè ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ìàëî èçìåíÿåòñÿ íà ðàññòîÿíèÿõïîðÿäêà ðàçìåðà âîëíîâîãî ïàêåòà, òàê ÷òîh∇U (r)i ≈ ∇U (hri) ,òî èç óðàâíåíèÿ (3) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ñðåäíåé êîîðäèíàòû âîëíîâîãî ïàêåòà ïðèáëèæåííî âûïîëíÿåòñÿ âòîðîé çàêîí Íüþòîíà:md2hri ≈ −∇U (hri) .dt2(12.4)Áîëåå ïîäðîáíî î ïåðåõîäå ê ïðåäåëó êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêèñì.
18. 13.Òåîðåìà î âèðèàëåàññìîòðèì äâèæåíèå ÷àñòèöû â íåêîòîðîì ïîòåíöèàëüíîìïîëå U (r). Âåëè÷èíà r∇U (r) íàçûâàåòñÿ âèðèàëîì äàííîéìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû.  êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå ñóùåñòâóåòîïðåäåë¼ííîå ñîîòíîøåíèå ìåæäó ñðåäíèìè çà áîëüøîé ïðîìåæóòîê âðåìåíè çíà÷åíèÿìè êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ÷àñòèöû èâèðèàëîì, íàçûâàåìîå òåîðåìîé î âèðèàëå. Ýòà òåîðåìà ñïðàâåäëèâà äëÿ èíèòíîãî äâèæåíèÿ ÷àñòèöû, ïðîèñõîäÿùåãî âîãðàíè÷åííîé ÷àñòè ïðîñòðàíñòâà è ñ îãðàíè÷åííûìè ñêîðîñòÿìè.
Ïîêàæåì, ÷òî àíàëîãè÷íîå ñîîòíîøåíèå èìååò ìåñòî èâ êâàíòîâîé ìåõàíèêå, òîëüêî â ýòîì ñëó÷àå ðå÷ü ïîéä¼ò î çíà÷åíèÿõ ñîîòâåòñòâóþùèõ îïåðàòîðîâ, óñðåäí¼ííûõ ïî ñòàöèîíàðíûì êâàíòîâîìåõàíè÷åñêèì ñîñòîÿíèÿì.Ïðåäâàðèòåëüíî ïðèâåä¼ì ïîëåçíûå ñîîòíîøåíèÿ:(èíèòíîå äâèæåíèå), òîãäàÎòñþäà ñëåäóåò òåîðåìà Ýðåíåñòàd2hri = −h∇U (r)i .dt253i~[Â, B̂ Ĉ] = B̂[Â, Ĉ] + [Â, B̂]Ĉ; [Ĥ, p̂] = i~∇U ; [Ĥ, r] = − p̂ .mÏóñòü äàëåå |ni ñòàöèîíàðíîå ñîñòîÿíèå äèñêðåòíîãî ñïåêòðà∂Udxip̂x dp̂xi= [Ĥ, x̂] = ,= [Ĥ, p̂x] = −.dt~mdt~∂xm 13. Òåîðåìà î âèðèàëåhn|[Ĥ, Â]|ni = hn|Ĥ Â|ni − hn|ÂĤ|ni = (En − En)hn|Â|ni = 0 . ÷àñòíîñòè,0 = hn|[Ĥ, p̂r]|ni = hn|[Ĥ, p̂]r + p̂[Ĥ, r]|ni =¯ À¿ ¯¯p̂2 ¯¯¯= i~ n ¯r∇U − ¯ n .m54ëàâà II.ÓÀÂÍÅÍÈÅ ØÄÈÍÅÀ.
ÎÏÅÀÒÎÛÒàêèì îáðàçîì, 14. àéçåíáåðãîâñêîå ïðåäñòàâëåíèå55Çàäà÷è¿ ¯ 2¯ À¯ p̂ ¯2 · n ¯¯ ¯¯ n = hn |r∇U | ni ;2m13.1. Îáúÿñíèòå, ïî÷åìó òåîðåìà î âèðèàëå íå èìååò ìåñòàäëÿ èíèíèòíîãî äâèæåíèÿ.ýòî è åñòü êâàíòîâîìåõàíè÷åñêàÿ òåîðåìà î âèðèàëå.Åñëè ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ÿâëÿåòñÿ îäíîðîäíîé óíêöèåéêîîðäèíàò, ò. å. åñëèòî ïî òåîðåìå Ýéëåðà îá îäíîðîäíûõ óíêöèÿõ r∇U = k U è13.3. Äëÿ ÷àñòèöû, íàõîäÿùåéñÿ â ñîñòîÿíèè ψ(x, y, z), íàé13.4.
Äëÿ ãàìèëüòîíèàíà Ĥ = p̂2/(2m) + U (r) íàéòè êîììóòàòîð [Ĥ, r]. Èñïîëüçóÿ ýòîò ðåçóëüòàò, ïîêàçàòü, ÷òî ñðåäíåå çíà÷åíèå èìïóëüñà ÷àñòèöû äëÿ ñòàöèîíàðíîãî ñîñòîÿíèÿ âñëó÷àå èíèòíîãî äâèæåíèÿ ðàâíî íóëþ: h ψE | p̂ | ψE i = 0.¿ ¯ 2¯ À¯ p̂ ¯2 · n ¯¯ ¯¯ n = k hn |U | ni .2mÎòñþäà ïîëó÷àåì ñîîòíîøåíèÿ¿ ¯ 2¯ À¯ p̂ ¯k2En , hn |U | ni =En .n ¯¯ ¯¯ n =2mk+2k+2 14. êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå äëÿ èíèòíîãî äâèæåíèÿ ÷àñòèöûâ ïîòåíöèàëüíîì ïîëå ñóùåñòâóþò àíàëîãè÷íûå ñîîòíîøåíèÿ,òîëüêî â ëåâûõ ÷àñòÿõ ýòèõ ðàâåíñòâ ñòîÿò ñîîòâåòñòâåííî êèíåòè÷åñêàÿ è ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ÷àñòèöû, óñðåäíåííûå çàáîëüøîé ïðîìåæóòîê âðåìåíè.Ïðèìåðû:Äëÿ ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà k = 2, ïîýòîìó¿ ¯ 2¯ À¯ p̂ ¯n ¯¯ ¯¯ n = ~ω (n + 12 ) .mÄëÿ àòîìà âîäîðîäà k = −1, ïîýòîìó¿ ¯ 2¯ À ¿ ¯ 2¯ À¯e ¯¯ p̂ ¯n ¯¯ ¯¯ n = n ¯¯ ¯¯ n = −2En .rmäëÿ ∆U è ∆K , ãäå K̂ = p̂2 /(2m).òè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî åå êîîðäèíàòà x è èìïóëüñ py ðàñïîëîæåíû â ïðåäåëàõ x1 < x < x2 , py1 < py < py2 .U (λr) = λk U (r) ,¯ ® ¯n ¯mω 2x2¯ n =13.2.
Íàéòè ñîîòíîøåíèå íåîïðåäåë¼ííîñòåé äëÿ ∆x è ∆K ,(13.1)àéçåíáåðãîâñêîå ïðåäñòàâëåíèåÁóäåì ðàññìàòðèâàòü ñëó÷àé, êîãäà îïåðàòîð àìèëüòîíà íåçàâèñèò îò âðåìåíè. Äî ñèõ ïîð (è, êàê ïðàâèëî, äàëåå) ìûèñïîëüçóåì îáû÷íîå (øð¼äèíãåðîâñêîå) ïðåäñòàâëåíèå, â êîòîðîì îïåðàòîðû r̂ = r è p̂ = −i~∇ íå çàâèñÿò îò âðåìåíè t, àîïåðàòîð èçè÷åñêîé âåëè÷èíû Â(r, p̂, t) ìîæåò çàâèñåòü îò tëèøü êàê îò ïàðàìåòðà. Ïðè ýòîì çàâèñèìîñòü ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ ýòîé âåëè÷èíû îò âðåìåíè ñâÿçàíà â îñíîâíîì ñ âîëíîâîé óíêöèåé Ψ(r, t), êîòîðàÿ óäîâëåòâîðÿåò íåñòàöèîíàðíîìóóðàâíåíèþ Øð¼äèíãåðà.
 íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ, îäíàêî, áîëååóäîáíûì ìîæåò îêàçàòüñÿ ïðåäñòàâëåíèå àéçåíáåðãà, â êîòîðîì îïåðàòîðû êîîðäèíàò è èìïóëüñîâ ÿâíî çàâèñÿò îò âðåìåíè,à âîëíîâàÿ óíêöèÿ, íàïðîòèâ, îò âðåìåíè íå çàâèñèò. Ïåðåõîäê ýòîìó ïðåäñòàâëåíèþ ìîæíî ïðîèçâåñòè ñëåäóþùèì îáðàçîì.Ïóñòü ψn (r) âîëíîâàÿ óíêöèÿ ñòàöèîíàðíîãî ñîñòîÿíèÿ ñ56ëàâà II.ÓÀÂÍÅÍÈÅ ØÄÈÍÅÀ. ÎÏÅÀÒÎÛýíåðãèåé En , óäîâëåòâîðÿþùàÿ óðàâíåíèþ (0) =  ,Ïðåäñòàâèì âîëíîâóþ óíêöèþ Ψ(r, t) â âèäå ðàçëîæåíèÿ ïîâîëíîâûì óíêöèÿì ñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèéX57Ïðè t = 0 èìååìĤ ψn(r) = Enψn(r) .Ψ(r, t) = 14.
àéçåíáåðãîâñêîå ïðåäñòàâëåíèåan e−iEnt/~ ψn(r) .nÈñïîëüçóÿ óíèòàðíûé îïåðàòîðÛ (t) = e−iĤt/~ñ î÷åâèäíûì ñâîéñòâîìÛ (t) ψn(r) = e−iEnt/~ ψn(r) ,ýòî ðàçëîæåíèå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â êîìïàêòíîì âèäåò. å. â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè îïåðàòîð â ãàéçåãíáåðãîâñêîì ïðåäñòàâëåíèè ñîâïàäàåò ñ îïåðàòîðîì â ïðåäñòàâëåíèèØð¼äèíãåðà.Òàêèì îáðàçîì, çàâèñèìîñòü îò âðåìåíè â ãàéçåíáåðãîâñêîìïðåäñòàâëåíèè ïåðåíåñåíà ñ âîëíîâûõ óíêöèé íà îïåðàòîðû,÷òî äåëàåò ýòó ñõåìó êâàíòîâîé ìåõàíèêè îðìàëüíî ïîõîæåéíà ñõåìó êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè.
 ÷àñòíîñòè, äëÿ çàâèñÿùèõîò âðåìåíè îïåðàòîðîâ ìîæíî âûïèñàòü óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ,ïîõîæèå íà óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè.Äåéñòâèòåëüíî, îïåðàòîð àìèëüòîíà â ãàéçåíáåðãîâñêîìïðåäñòàâëåíèè ñîâïàäàåò ñ îïåðàòîðîì àìèëüòîíà â øð¼äèíãåðîâñêîì ïðåäñòàâëåíèè:Ĥ = Û −1(t)Ĥ Û (t) = Ĥ .Ψ(r, t) = Û (t) Ψ(r, 0)Ïîýòîìó óðàâíåíèå äâèæåíèÿ äëÿ îïåðàòîðà  (t) èìååò âèäèëèid (t) ∂  (t) i hĤ ,  (t) .=+dt∂t~|Ψ(t)i = Û (t) |Ψ(0)i .hA(t)i =(14.2)Ïðè ñðàâíåíèè ýòîãî óðàâíåíèÿ ñ óðàâíåíèåì (12.1) âèäíî, ÷òîêâàíòîâûé àíàëîã êëàññè÷åñêîé ñêîáêè Ïóàññîíà {H, A} âûðàæàåòñÿ ÷åðåç êîììóòàòîð:Òîãäà ñðåäíåå çíà÷åíèåZΨ∗(r, t)  Ψ(r, t) d3r ≡ hΨ(t)|  |Ψ(t)i ,i{H, A} → [Ĥ,  ] .~ìîæíî çàïèñàòü òàê:àññìîòðèì â êà÷åñòâå ïðèìåðà äâèæåíèå ãàðìîíè÷åñêîãîîñöèëëÿòîðà, äëÿ êîòîðîãîhA(t)i = hΨ(0)|  (t) |Ψ(0)i ,ãäå (t) = Û −1(t) Â Û (t) = eiĤt/~  e−iĤt/~(14.1)Ĥ =[p̂ (t)]2 1+ mω 2 [x̂ (t)]2 .2m2 îïåðàòîð â ãàéçåíáåðãîâñêîì ïðåäñòàâëåíèè. Ýòîò îïåðàòîðîáû÷íî ìîæíî ïðåäñòàâèòü òàêæå â âèäåÈñïîëüçóÿ óðàâíåíèå (2) è îäíîâðåìåííûå ïåðåñòàíîâî÷íûå ñîîòíîøåíèÿ (t) = Â(r (t), p̂ (t), t) .[p̂ (t), x̂ (t)] = −i~ , [x̂ (t), x̂ (t)] = [p̂ (t), p̂ (t)] = 0 ,58ëàâà II.ÓÀÂÍÅÍÈÅ ØÄÈÍÅÀ.
ÎÏÅÀÒÎÛ 15. Óðàâíåíèå Øð¼äèíãåðà äëÿ ÷àñòèöû â ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå59ïîëó÷èì îïåðàòîðíûå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ, àíàëîãè÷íûå óðàâíåíèÿì àìèëüòîíà êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè:Ïðîâåñòè ÿâíûé ðàñ÷¼ò ýòèõ ñðåäíèõ äëÿ ñîñòîÿíèÿ, îïèñûâàåìîãî âîëíîâîé óíêöèåé âèäàp̂ (t) ddx̂ (t) = −,p̂ (t) = −mω x̂ (t) .dtmdt¸ip0x (x − x0)2−,ψ(x) = A exp~2a2·Òåïåðü óæå ëåãêî äîãàäàòüñÿ (à çàòåì è ïðîâåðèòü), ÷òî ðåøåíèÿìè ýòèõ óðàâíåíèé ÿâëÿþòñÿ îïåðàòîðûp̂ (0)x̂ (t) = x̂ (0) cos ωt +sin ωt ,mωp̂ (t) = p̂ (0) cos ωt − mω x̂ (0) sin ωt ,ïðè÷¼ìx̂ (0) = x , p̂ (0) = p̂ = −i~d.dxãäå x0 è p0 èçâåñòíûå êîíñòàíòû. 15.Óðàâíåíèå Øð¼äèíãåðà äëÿ ÷àñòèöû â ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëåàññìîòðèì çàðÿæåííóþ ÷àñòèöó, íàõîäÿùóþñÿ â ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå, çàäàííîì ñêàëÿðíûì φ(r, t) è âåêòîðíûìA(r, t) ïîòåíöèàëàìè.
Êëàññè÷åñêàÿ óíêöèÿ àìèëüòîíà ýòîé÷àñòèöû³´H(r, p) =Çàäà÷è14.1. Íàéòè îïåðàòîðû êîîðäèíàòû è èìïóëüñà â ãàéçåíáåðãîâñêîì ïðåäñòàâëåíèè äëÿ ëèíåéíîãî ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà, èñïîëüçóÿ óíèòàðíîå ïðåîáðàçîâàíèå, ñâÿçûâàþùååîïåðàòîðû èçè÷åñêèõ âåëè÷èí â ãàéçåíáåðãîâñêîì è øð¼äèíãåðîâñêîì ïðåäñòàâëåíèÿõ.14.2. Íàéòè çíà÷åíèå ðàçíîâðåìåííîãî êîììóòàòîðà èìïóëüñà è êîîðäèíàòû [p̂ (t), x̂ (t′ )] äëÿ:à) ñâîáîäíîé ÷àñòèöû;á) ÷àñòèöû â îäíîðîäíîì ïîëå;â) ëèíåéíîãî îñöèëëÿòîðà.14.3. Èñïîëüçóÿ ÿâíûé âèä ãàéçåíáåðãîâñêèõ îïåðàòîðîâp̂(t), x̂(t) äëÿ ëèíåéíîãî îñöèëëÿòîðà, íàéòè çàâèñèìîñòü îòâðåìåíè ñëåäóþùèõ ñðåäíèõ:h x(t) i, h p(t) i, h (∆x(t))2 i, h (∆p(t))2 i .e1p− A2mc2+ eφ ,ãäå èìïóëüñ p (åãî èíîãäà íàçûâàþò îáîáù¼ííûì èëè êàíîíè÷åñêèì) ñâÿçàí ñî ñêîðîñòüþ v ñîîòíîøåíèåìep = mv + A ,câ êâàíòîâîé ìåõàíèêå çàìåíÿåòñÿ îïåðàòîðîìĤ =1 ³e ´2p̂ − A + eφ ,2mcp̂ = −i~∇ .Ïðè ýòîì ïëîòíîñòü òîêà ðàâíàe ´1 ∗1 ³−i~∇ − A ,j = (Ψ v̂ Ψ + êîìï.
îïð. ) , v̂ =2mcãäå v̂ îïåðàòîð ñêîðîñòè ÷àñòèöû (ñð. îðìóëó (9.1)).Êàëèáðîâî÷íàÿ èíâàðèàíòíîñòü.  êëàññè÷åñêîì ñëó÷àåïðè çàìåíå ïîòåíöèàëîâA → A + ∇f, φ → φ −1 ∂fc ∂t60ëàâà II.ÓÀÂÍÅÍÈÅ ØÄÈÍÅÀ. ÎÏÅÀÒÎÛ(çäåñü f = f (r, t) ïðîèçâîëüíàÿ îäíîçíà÷íàÿ óíêöèÿ êîîðäèíàò è âðåìåíè) ýëåêòðè÷åñêèå è ìàãíèòíûå ïîëÿE = −∇φ −1 ∂A, B=∇×Ac ∂tíå èçìåíÿþòñÿ, à çíà÷èò, íå èçìåíÿþòñÿ è óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ. êâàíòîâîé ìåõàíèêå ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî óðàâíåíèå Øð¼äèíãåðà íå èçìåíÿåòñÿ, åñëè êðîìå óêàçàííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿïîòåíöèàëîâ åùå ïðîèçâåñòè è ïðåîáðàçîâàíèå âîëíîâîé óíêöèè:A → A + ∇f , φ → φ −1 ∂f,c ∂tΨ → Ψ eief /(~c) . 16. Îïåðàòîð ñäâèãà. Ïåðèîäè÷åñêîå ïîëå.
Òåîðåìà Áëîõà61ñêîé ýëåêòðîäèíàìèêå ýòè âåëè÷èíû ñîîòâåòñòâóþò êîîðäèíàòàì öåíòðà îêðóæíîñòè, ïî êîòîðîé äâèæåòñÿ çàðÿæåííàÿ ÷àñòèöà. 16.Îïåðàòîð ñäâèãà. Ïåðèîäè÷åñêîå ïîëå.Òåîðåìà Áëîõà16.1. Îïåðàòîð ñäâèãàÎïåðàòîð T̂a ñäâèãà íà ðàññòîÿíèå a îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåìT̂aψ(x) ≡ ψ(x + a) .Çàäà÷è15.1. Îïðåäåëèòü óðîâíè ýíåðãèè è âîëíîâûå óíêöèè äëÿçàðÿæåííîé ÷àñòèöû â ïîñòîÿííîì è îäíîðîäíîì ìàãíèòíîìïîëå B. Âûáðàòü âåêòîðíûé ïîòåíöèàë â âèäå A = (0, xB, 0).15.2. Ñ÷èòàÿ èçâåñòíûì ãàìèëüòîíèàí ÷àñòèöû â ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå, íàéòè:à) âûðàæåíèå äëÿ îïåðàòîðà ñêîðîñòè v̂;á) êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ äëÿ êîìïîíåíò ñêîðîñòè;â) âûðàæåíèå äëÿ îïåðàòîðàmdv̂dt(îïåðàòîðíûé àíàëîã óðàâíåíèÿ Íüþòîíà);ã) ïîêàçàòü, ÷òî â ïîñòîÿííîì è îäíîðîäíîì ìàãíèòíîì ïîëåB = (0, 0, B) îïåðàòîðûv̂yx̂0 = x +ωv̂xŷ0 = y −ωñîîòâåòñòâóþò ñîõðàíÿþùèìñÿ âåëè÷èíàì, íî íå ìîãóò áûòüèçìåðåíû îäíîâðåìåííî (çäåñü ω = eB/(mc)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
