1612725072-3b5bf0dbc627b001fc8c0870972eb71d (828982), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Êâàçèêëàññè÷åñêèå ðåøåíèÿ êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå âåðîÿòíîñòü íàéòè ÷àñòèöó íà èíòåðâàëå dx ïðîïîðöèîíàëüíà dt âðåìåíè ïðåáûâàíèÿ ÷àñòèöûíà ýòîì èíòåðâàëå, ïîýòîìó ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè ïðîïîðöèîíàëüíà dt/dx, èëèdWdxêëàññ∝1,v(x)ãäå v(x) = p(x)/m êëàññè÷åñêàÿ ñêîðîñòü ÷àñòèöû ñ êîîðäèíàòîé x.  êâàíòîâîé ìåõàíèêå ïðè U (x) = const òî÷íîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Øð¼äèíãåðà èìååò âèäψ(x) = A eikx + B e−ikx , 19. Ïðàâèëà êâàíòîâàíèÿ Áîðà Çîììåðåëüäà71ãäå ~k = p. Åñòåñòâåííî îæèäàòü, ÷òî äëÿ äâèæåíèÿ ÷àñòèöû âäîñòàòî÷íî ïëàâíî èçìåíÿþùåìñÿ ïîëå ïðèáëèæåííîå ðåøåíèåâûãëÿäèò òàê:ψ(x) = p³1k(x)C1 eRi xx k(x) dx0~k(x) = p(x) =p+ C2 e´R−i xx k(x) dx0,2m[E − U (x)] .(18.2)×òîáû ïîêàçàòü ýòî, ïîäñòàâèì~ψ(x) = eiS(x)/~ , S(x) = S0(x) + S1(x) + ...iâ óðàâíåíèå Øð¼äèíãåðà è óäåðæèì ÷ëåíû äî ïåðâîãî ïîðÿäêàïî ~:(S0′ )2 − 2i~S0′ S1′ − i~S0′′ = p2(x) .ÎòñþäàS0(x) = Sêëàñ(x) = ±ò. å.Zp(x) dx , S1′ = −S1(x) = ln p1p(x)1 S0′′1 d=−ln p(x) ,′2 S02 dx+ const ,÷òî è ïðèâîäèò ê (2).Àíàëîãè÷íîå ðàññìîòðåíèå â êëàññè÷åñêè íåäîñòóïíîé îáëàñòè äà¼ò êâàçèêëàññè÷åñêîå ðåøåíèå âèäàψ(x) = p1κ(x)³C3 e~κ(x) =Rxx0 κ(x) dx+ C4 e´R− xx κ(x) dxp2m[U (x) − E] .0,(18.3)72ëàâà II. 19.ÓÀÂÍÅÍÈÅ ØÄÈÍÅÀ.
ÎÏÅÀÒÎÛÏðàâèëà êâàíòîâàíèÿ Áîðà Çîììåðåëüäààññìîòðèì äâèæåíèå ÷àñòèöû â ïîòåíöèàëüíîì ïîëå âèäàðèñ. 14 è áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî óñëîâèÿ ïðèìåíèìîñòè êâàçèêëàññè÷åñêîãî ïðèáëèæåíèÿ (18.1) âûïîëíåíû âñþäó, êðîìå ìàëûõ îêðåñòíîñòåé êëàññè÷åñêèõ òî÷åê ïîâîðîòà x = a èx = b.  êâàçèêëàññè÷åñêîì ïðèáëèæåíèè âîëíîâàÿ óíêöèÿñâÿçàííîãî ñîñòîÿíèÿ ïðè x < a (îáëàñòü A íà ðèñ. 14) ýòî 19. Ïðàâèëà êâàíòîâàíèÿ Áîðà Çîììåðåëüäà73Ïðè ïåðåõîäå òî÷êè ïîâîðîòà a¶¶µ Z aµZ x2π1√ exp −κ dx → √ sink dx +,4κkxa(19.4)à ïðè ïåðåõîäå òî÷êè ïîâîðîòà bµZ bµ Z x¶¶12π√ exp −κ dx → √ sink dx +.4κkbx(19.5)Èç óñëîâèÿ ñøèâêè (4) íàõîäèì:2AψB (x) = √ sinkµZaxπk dx +4¶.(19.6)Ïåðåïèñàâ àðãóìåíò ñèíóñà â âèäåZaèñ.
14. Êâàçèêëàññè÷åñêàÿ ïîòåíöèàëüíàÿ ÿìàâîëíà, çàòóõàþùàÿ ïðè x → −∞:µ Z a¶AψA(x) = √ exp −κ dx ;κxãäå(19.1)ïðè x > b (îáëàñòü C íà ðèñ. 14), àíàëîãè÷íî,µ Z x¶CψC (x) = √ exp −κ dx .(19.2)κb êëàññè÷åñêè äîñòóïíîé îáëàñòè a < x < b âîëíîâóþ óíêöèþ ìîæíî çàïèñàòü â âèäå ñòîÿ÷åé âîëíûµZ x¶BψB (x) = √ sink dx + α .(19.3)kaÑâÿçü êîýèöèåíòîâ A, B, C è çíà÷åíèå àçû α ìîãóòáûòü íàéäåíû èç óñëîâèÿ ñøèâêè ðåøåíèé (1)(3). Ïðàâèëàñøèâêè (ñì. [1℄, 47) ñâîäÿòñÿ ê ñëåäóþùåìó.xZbZbZxπk dx +k dx + =4abZ bπ= −k dx − + β ,4xπ=k dx +4β=ak dx +π,2ïðåäñòàâèì ψB (x) â îðìå, óäîáíîé äëÿ ñðàâíåíèÿ ñ (5):µZ b¶2AπψB (x) = − √ sink dx + − β =4kx· µZ b¶µZ b¶¸ππ2Ak dx +k dx +cos β − cossin β ,= − √ sin44kxxÑðàâíèâàÿ òåïåðü ýòó îðìóëó ñ óðàâíåíèåì (5), íàõîäèì,÷òî sin β = 0, èëèβ = (n + 1)π , n = 0, 1, 2, .
. . , C = (−1)nA .74ëàâà II.ÓÀÂÍÅÍÈÅ ØÄÈÍÅÀ. ÎÏÅÀÒÎÛÒàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì ïðàâèëî êâàíòîâàíèÿ Áîðà Çîììåðåëüäà:IZ bp2m[En − U (x)] dx = 2π~ (n + 12 ) .p(x) dx = 2a ψB (x) àçà ìåíÿåòñÿ îòZπ4bk(x) dx +aµ3π=π n+44¶pj (x) dqj = 2π~nj , j = 1, 2, ..., s .Îòñþäà âèäíî, ÷òî çàâèñèìîñòü îò êâàíòîâûõ ÷èñåë ëþáûõ èçè÷åñêèõ âåëè÷èí â êâàçèêëàññè÷åñêîì ïðåäåëå âîçíèêàåò òîëüêî â êîìáèíàöèè ~nj , ò. å.
ïîëíàÿ ñòåïåíü êâàíòîâûõ ÷èñåë ñîâïàäàåò ñî ñòåïåíüþ ~.HÔàçîâàÿ ïëîùàäü p(x) dx ðàñòåò ëèíåéíî ñ ðîñòîì ÷èñëàñîñòîÿíèé n, òàê ÷òî â àçîâîì ïðîñòðàíñòâå íà êàæäîå ñîñòîÿíèå ïðèõîäèòñÿ ïëîùàäü 2π~, à ÷èñëî ñîñòîÿíèé â àçîâîéÿ÷åéêå ∆x · ∆px ðàâíî∆n =∆x · ∆px.2π~Òàê êàê âîëíîâàÿ óíêöèÿ áûñòðî óáûâàåò ïðè x < a è x >b, òî íîðìèðîâêà âîëíîâîé óíêöèè ìîæåò áûòü ïðîâåäåíà75òîëüêî ïî îáëàñòè a < x < b:1≈ãäåZbaB2 2sinkµZxaπk dx +42π=Tωïðè x = a äîïðè x = b, òàê ÷òî âîëíîâàÿ óíêöèÿ, îòâå÷àþùàÿ óðîâíþEn, èìååò, â ñîîòâåòñòâèè ñ îñöèëëÿöèîííîé òåîðåìîé, n íóëåé(óçëîâ ñòîÿ÷åé âîëíû).àññìîòðèì òåïåðü ìíîãîìåðíîå äâèæåíèÿ ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ ïåðåìåííûìè.  ýòîì ñëó÷àå àäèàáàòè÷åñêèå èíâàðèàíòû âïðåäåëå áîëüøèõ êâàíòîâûõ ÷èñåë nj ≫ 1 áóäóò óäîâëåòâîðÿòüïðàâèëàì êâàíòîâàíèÿ:I 19.
Ïðàâèëà êâàíòîâàíèÿ Áîðà Çîììåðåëüäà¶êëàññB2dx ≈2=2ZbaZbadxB 2~π=,k(x)2mωdxv(x) êëàññè÷åñêèé ïåðèîä êîëåáàíèé. ÎòñþäàB=r2mω.π~ êâàçèêëàññèêå n ≫ 1, òàê ÷òî ïðè ∆n ≪ n ïîëó÷àåìEn+∆n − En ≈dEn∆n .dnÏðîäèåðåíöèðóåì ïî n ïðàâèëî êâàíòîâàíèÿ, òîãäà2π~ =I∂p dEndx =∂En dnIdx dEn·=Tv(x) dnêëàññdEn.dnÎòñþäà ðàçíîñòü áëèçêèõ óðîâíåé ñîñòàâëÿåòEn+∆n − En ≈dEn2π~· ∆n = ~ω ∆n ,∆n =dnTêëàññà ðàçíîñòü ñîñåäíèõ óðîâíåé (ïðè ∆n = 1) ðàâíàEn+1 − En ≈ ~ω .Èíûìè ñëîâàìè, â êàæäîì íåáîëüøîì ó÷àñòêå êâàçèêëàññè÷åñêîé ÷àñòè ñïåêòðà óðîâíè ýíåðãèè ýêâèäèñòàíòíû.Çàäà÷è19.1. Ïîëó÷èòü êâàçèêëàññè÷åñêîå âûðàæåíèå äëÿ óðîâíåéýíåðãèè ÷àñòèöû â îäíîðîäíîì ïîëå òÿæåñòè â ñëó÷àå, êîãäà ååäâèæåíèå îãðàíè÷åíî ñíèçó èäåàëüíî îòðàæàþùåé ïëîñêîñòüþ.Óêàçàòü óñëîâèå ïðèìåíèìîñòè ïîëó÷åííîãî ðåçóëüòàòà.76ëàâà II.ÓÀÂÍÅÍÈÅ ØÄÈÍÅÀ.
ÎÏÅÀÒÎÛ 20. Ïîäáàðüåðíîå ïðîõîæäåíèå. Äâîéíàÿ ÿìà7719.2. Äëÿ ÷àñòèöû, íàõîäÿùåéñÿ â ïîëå¯ x ¯ν¯ ¯U (x) = U0 ¯ ¯ ;aU0 > 0,ν > 0,íàéòè â êâàçèêëàññè÷åñêîì ïðèáëèæåíèè, êàê èçìåíÿåòñÿ ðàññòîÿíèå ìåæäó ñîñåäíèìè óðîâíÿìè ýíåðãèè ñ óâåëè÷åíèåì nâ çàâèñèìîñòè îò çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà ν . Êàêîâà ïëîòíîñòü ñîñòîÿíèé äèñêðåòíîãî ñïåêòðà?19.3. Íàéòè âîëíîâûå óíêöèè ψn(x) äëÿ ãàðìîíè÷åñêîãîîñöèëëÿòîðà ïðè n ≫ 1.
Äàòü ãðàèê |ψn (x)|2 è ñðàâíèòü åãî ñãðàèêîì êëàññè÷åñêîé ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòèdW(x)2v(x)Tèñ. 15. Êâàçèêëàññè÷åñêèé áàðüåð20.2. Äâîéíàÿ ÿìàÄëÿ ïðÿìîóãîëüíîãî áàðüåðà (ðèñ. 10) êîýèöèåíò ïðîõîæäåíèÿÑì. [1℄, çàäà÷à 3 ê 50: Ïîëå U (x) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äâåñèììåòðè÷íûå ïîòåíöèàëüíûå ÿìû, ðàçäåëåííûå áàðüåðîì. Åñëè áû áàðüåð áûë íåïðîíèöàåì äëÿ ÷àñòèöû, òî ñóùåñòâîâàëèáû óðîâíè ýíåðãèè, îòâå÷àþùèå äâèæåíèþ ÷àñòèöû òîëüêî âîäíîé èëè â äðóãîé ÿìå, îäèíàêîâûå äëÿ îáåèõ ÿì.
Âîçìîæíîñòü ïåðåõîäà ÷åðåç áàðüåð ïðèâîäèò ê ðàñùåïëåíèþ êàæäîãîèõ ýòèõ óðîâíåé íà äâà áëèçêèõ óðîâíÿ, ñîîòâåòñòâóþùèõ ñîñòîÿíèÿì, â êîòîðûõ ÷àñòèöà íàõîäèòñÿ îäíîâðåìåííî â îáåèõÿìàõ. Îïðåäåëèòü âåëè÷èíó ðàñùåïëåíèÿ (ïîëå U (x) ïðåäïîëàãàåòñÿ êâàçèêëàññè÷åñêèì).Äîïîëíèòåëüíî ïîêàæèòå, ÷òî åñëèD ≈ e−2κa .Ψ(x, t = 0) = ψ0(x)êëàññdx=,êëàññãäå Têëàññ = 2π/ω êëàññè÷åñêèé ïåðèîä äâèæåíèÿ. Ñðàâíèòüòàêæå ýòè âåëè÷èíû äëÿ ñîñòîÿíèÿ n = 0. 20.Ïîäáàðüåðíîå ïðîõîæäåíèå. Äâîéíàÿ ÿìà20.1. Ïîäáàðüåðíîå ïðîõîæäåíèåÎòñþäà äëÿ ïëàâíîãî áàðüåðà (ðèñ.
15) íàõîäèìD≈YR−2 ab κ(x) dxexp[−2κ(xi)∆xi] = eiÊðèòåðèé ïðèìåíèìîñòè ýòîé îðìóëû îáû÷íûé:Zab|p(x)| dx ≫ ~.(÷àñòèöà â íà÷àëüíûé ìîìåíò íàõîäèòñÿ â ïðàâîé ÿìå), òî.Ψ(x, t) = e−iE0 t/~·¸ttψ0(x) cos + i ψ0(−x) sin,ττãäå τ = 2~/∆E . Òàêèì îáðàçîì, ÷åðåç âðåìÿ πτ /2 ÷àñòèöà îêàæåòñÿ â ëåâîé ÿìå, ÷åðåç âðåìÿ πτ ñíîâà â ïðàâîé ÿìå èò. ä.78ëàâà II.ÓÀÂÍÅÍÈÅ ØÄÈÍÅÀ.
ÎÏÅÀÒÎÛÇàäà÷è20.1. Âû÷èñëèòü â êâàçèêëàññè÷åñêîì ïðèáëèæåíèè êîýèöèåíò ïðîõîæäåíèÿ ýëåêòðîíîâ ÷åðåç ïîâåðõíîñòü ìåòàëëà ïîääåéñòâèåì ñèëüíîãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ E (õîëîäíàÿ ýìèññèÿ). Íàéòè ãðàíèöû ïðèìåíèìîñòè ðàñ÷åòà. Îöåíèòü ïëîòíîñòü òîêà ÷åðåç ïîâåðõíîñòü ìåòàëëà ïðè E ∼ −2 ýÂ, E ∼ 106Â/ñì.20.2. Íàéòè ðàñùåïëåíèå îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ â äâîéíîéÿìå. Ïîòåíöèàë êàæäîé ÿìû âáëèçè ìèíèìóìà àïïðîêñèìèðóåòñÿ îñöèëëÿòîðíûì, áàðüåð ïî-ïðåæíåìó ñ÷èòàåòñÿ êâàçèêëàññè÷åñêèì. Ñðàâíèòü îòâåòû äëÿ ýòîé çàäà÷è è äëÿ çàäà÷è3 ê 50 èç [1℄. 21.Êâàçèñòàöèîíàðíûå ñîñòîÿíèÿÂîçáóæäåííûå ñîñòîÿíèÿ ìíîãèõ êâàíòîâûõ ñèñòåì (àòîìîâ,ìîëåêóë, ÿäåð è ò. ä.) ïðè ó÷åòå âçàèìîäåéñòâèÿ ñ ýëåêòðîìàãíèòíûì ïîëåì ñòàíîâÿòñÿ íåñòàöèîíàðíûìè è ñèñòåìà ïåðåõîäèò â äðóãîå ñîñòîÿíèå ñ èñïóñêàíèåì îòîíîâ.
Íåñòàöèîíàðíûìè ÿâëÿþòñÿ òàêæå ìíîãèå ÿäðà, èñïûòûâàþùèå α- èëè β ðàñïàäû. Åñëè íåîïðåäåë¼ííîñòü ýíåðãèè ñèñòåìû ∆E ìíîãîìåíüøå åå ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ En , òî òàêîå ñîñòîÿíèå íàçûâàþò êâàçèñòàöèîíàðíûì, à âåëè÷èíó En íàçûâàþò ýíåðãèåéêâàçèñòàöèîíàðíîãî ñîñòîÿíèÿ.Çàêîí ðàñïàäà: ÷èñëî ðàñïàâøèõñÿ çà âðåìÿ dt ÷àñòèödN (t) ïðîïîðöèîíàëüíî ÷èñëó èìåþùèõñÿ â äàííûé ìîìåíò ÷àñòèö N (t) è èíòåðâàëó âðåìåíè dt, ò. å.dN (t) = −γN (t) dt ,ãäå γ êîýèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè. Îòñþäà ïîëó÷àåìN (t) = N (0) e−γ t .(21.1) 21. Êâàçèñòàöèîíàðíûå ñîñòîÿíèÿ79 ñèëó ñîîòíîøåíèÿ íåîïðåäåë¼ííîñòåé äèñïåðñèÿ ýíåðãèè òàêîãî êâàçèñòàöèîíàðíîãî ñîñòîÿíèÿ ∆E ∼ ~γ .Îïðåäåëåíèÿ: âðåìÿ æèçíè êâàçèñòàöèîíàðíîãî ñîñòîÿíèÿτ=1,γåãî øèðèíàΓ = ~γ =~.τ×àñòî èñïîëüçóþò òàêæå ïîíÿòèå ïåðèîäà ïîëóðàñïàäà T1/2 ,îïðåäåë¼ííîãî ñîîòíîøåíèåìN (T1/2) 1= , T1/2 = τ ln 2 ≈ 0, 7 τ .N (0)2Ïóñòü ðàñïàäàþùååñÿ ñîñòîÿíèå îïèñûâàåòñÿ âîëíîâîéóíêöèåé Ψ(x, t), êîòîðàÿ â íà÷àëüíûé ìîìåíò ïðèíèìàåò çíà÷åíèå Ψ(x, 0).
Âåðîÿòíîñòü W (t) ñèñòåìå îñòàòüñÿ â íà÷àëüíîìñîñòîÿíèè ÷åðåç âðåìÿ t > 0 îïðåäåëÿåòñÿ àìïëèòóäîéa(t) =Zdx Ψ∗(x, 0) · Ψ(x, t) , W (t) = |a(t)|2 .Äëÿ ñòàöèîíàðíîãî ñîñòîÿíèÿ:Ψ(x, t) = ψEn (x) e−iEnt/~ , a(t) = e−iEnt/~ , W (t) = 1 .Äëÿ êâàçèñòàöèîíàðíîãî ñîñòîÿíèÿ åñòåñòâåííî îæèäàòü, ÷òîΨ(x, t) ∝ e−iEnt/~ e−t/(2τ ) ,a(t) = e−iEnt/~ e−t/(2τ ) , W (t) = e−Γt/~ .(21.2a)(21.2b)Òàêàÿ âðåìåííàÿ çàâèñèìîñòü âîëíîâîé óíêöèè îòâå÷àåòñïåêòðàëüíîìó ñîñòàâó ñîñòîÿíèÿ âèäàZ0∞a(t) eiωt dt ∝1.~ω − En + 2i Γ(21.3)80ëàâà II.ÓÀÂÍÅÍÈÅ ØÄÈÍÅÀ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
