1612725072-3b5bf0dbc627b001fc8c0870972eb71d (828982), страница 10
Текст из файла (страница 10)
å.lˆ± = lˆx ± i lˆy ,´ˆlz ± 1 ,89(lˆ−)n ψλl ∝ ψλl−n .Îïðåäåëèì îïåðàòîðû lˆ+ è lˆ− ñîîòíîøåíèåì³ 23. Ìîìåíò èìïóëüñà2l öåëîå ÷èñëî .(23.4)(23.5)(23.6)(23.8)Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî l ìîæåò ïðèíèìàòü ëèáî öåëûå çíà÷åíèÿ(ýòîò âûâîä ìû óæå ïîëó÷èëè ðàíåå èç òðåáîâàíèÿ îäíîçíà÷íîñòè óíêöèè Φm (ϕ)), ëèáî ïîëóöåëûå çíà÷åíèÿ (ýòîò âàðèàíòìû ðàññìîòðèì â 36, ïîñâÿùåííîì ÷àñòèöàì ñî ñïèíîì 1/2).90ëàâà III.ÌÎÌÅÍÒ ÈÌÏÓËÜÑÀ. ÖÅÍÒÀËÜÍÎÅ ÏÎËÅ 23. Ìîìåíò èìïóëüñà91Íàéäåì ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû îïåðàòîðîâ lˆ± . Áóäåì îáîçíà÷àòü ñîñòîÿíèå ψλm ñ λ = l(l + 1) êàê |lmi è óñðåäíèì (6) ïîýòîìó ñîñòîÿíèþ, òîãäàÑîîòâåòñòâóþùàÿ òàêîìó îïåðàòîðó èçè÷åñêàÿ âåëè÷èíà íåèçìåíÿåòñÿ ïðè ïîâîðîòå, ïîýòîìó îí êîììóòèðóåò ñ îïåðàòîðîì ìîìåíòà èìïóëüñàl(l + 1) = hlm|lˆ+lˆ−|lmi + m2 − m == hlm|lˆ+|lm − 1ihlm − 1|lˆ−|lmi + m2 − m ,[lˆj , Ŝ] = 0 .ò.
å.|hlm|lˆ+|lm − 1i|2 = l2 + l − m2 + m .Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òîphlm| lˆ+ |lm − 1i = hlm − 1| lˆ− |lmi = (l + m)(l − m + 1) .(23.9)Èçâëåêàÿ êâàäðàòíûé êîðåíü, ìû âûáðàëè îïðåäåë¼ííûé (ïîëîæèòåëüíûé) çíàê, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò èêñèðîâàíèþ àçîâûõñîîòíîøåíèé ìåæäó ðàçëè÷íûìè ñîñòîÿíèÿìè |lmi ñ äàííûì l.Ïîëó÷åííûå îðìóëû îïðåäåëÿþò òàêæå è êîýèöèåíòûC â ñîîòíîøåíèè (7):plˆ+ |lmi = (l + m + 1)(l − m) |lm + 1i ,p(23.10)lˆ− |lmi = (l + m)(l − m + 1) |lm − 1i .ˆÇíàÿ ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû l± , ëåãêî íàéòè è îòëè÷íûå îòíóëÿ ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû lˆj :1phlm| lˆx |lm − 1i = hlm − 1| lˆx |lmi =(l + m)(l − m + 1) ,2iphlm| lˆy |lm − 1i = −hlm − 1| lˆy |lmi = −(l + m)(l − m + 1) ,2hlm| lˆz |lmi = m .(23.11) çàêëþ÷åíèå ýòîãî ðàçäåëà óêàæåì íåêîòîðîå îáîáùåíèåêîììóòàöèîííûõ ñîîòíîøåíèé (2).
Ïóñòü Ŝ ñêàëÿðíûé îïåðàòîð, ïîñòðîåííûé èç îïåðàòîðîâ âèäà r2 , p̂2 , rp̂ + p̂r, ò. å.Ŝ = Ŝ(r2, , p̂2, rp̂ + p̂r) .àññìîòðèì òåïåðü âåêòîðíûé îïåðàòîð âèäàV̂ = r Ŝ1 + p̂ Ŝ2 + M̂ Ŝ3 , Ŝj ≡ Ŝj (r2 , p̂2, rp̂ + p̂r) .Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî äëÿ íåãî ñïðàâåäëèâû êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ, àíàëîãè÷íûå ñîîòíîøåíèÿì (2):[lˆj , V̂k ] = iεjknV̂n, [lˆj , V̂2] = 0 .(23.12)Ïðè ïîâîðîòå íà óãîë θn âåêòîðíûé îïåðàòîð ïðåîáðàçóåòñÿ ïîòîìó æå çàêîíó, ÷òî è êîîðäèíàòû, ò. å.R̂θ−1 V̂ R̂θ = Λ V̂ ,(23.13)ãäå îïåðàòîð ïîâîðîòàR̂θ = eiθnl̂ ,à Λ ìàòðèöà ïîâîðîòà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïðåîáðàçîâàíèþ êîîðäèíàò r′ = Λr.23.3. Ñåðè÷åñêèå óíêöèèÄëÿ ïîëó÷åíèÿ êîíêðåòíîãî âèäà ñîáñòâåííûõ óíêöèé óäîáíî èñïîëüçîâàòü ñåðè÷åñêèå êîîðäèíàòû, â êîòîðûõµ¶ˆlz = −i ∂ , lˆ± = e±iϕ ± ∂ + i ctg θ ∂,∂ϕ∂θ∂ϕ·¸1 ∂∂1 ∂22.l̂ = −sin θ + 2sin θ ∂θ∂θ sin θ ∂ϕ292ëàâà III.ÌÎÌÅÍÒ ÈÌÏÓËÜÑÀ.
ÖÅÍÒÀËÜÍÎÅ ÏÎËÅ 23. Ìîìåíò èìïóëüñà93Ñîâìåñòíûå ñîáñòâåííûå óíêöèè îïåðàòîðîâ l̂2 è lˆz óäîáíî èñêàòü â âèäåÑåðè÷åñêàÿ óíêöèÿ Ylm (n) ÿâëÿåòñÿ ñóììîé îäíîðîäíûõ ïîëèíîìîâ ïî ïåðåìåííûì ni ñòåïåíè l, â ÷àñòíîñòè,Ylm(θ, ϕ) = Θlm(θ) Φm(ϕ) ,Yll (θ, ϕ) = Al eilϕ sinl θ = Al (nx + iny )l ,ãäå óíêöèÿ Φm (ϕ) îïðåäåëåíà â (1) ñm = 0, ±1, ±2, . .
. , ±l .Äëÿ íàõîæäåíèÿ óíêöèè Θlm (θ) ìîæíî èñïîëüçîâàòü òàêîéïðèåì. Óñëîâèålˆ+ Yll (θ, ϕ) = 0ïðèâîäèò ê óðàâíåíèþîòêóäà ïîëó÷àåìµd− l ctg θdθ¶√2l Yll−1(θ, ϕ) = lˆ− Yll (θ, ϕ) = −l Al (nx + iny )l−1 nz , . . .Îòðàæåíèå ñèñòåìû êîîðäèíàò r → −r â ñåðè÷åñêèõ êî-îðäèíàòàõ îáû÷íî îïðåäåëÿþò òàê:r → r, θ → π − θ, ϕ → ϕ + π .Ïðè ýòîìYlm(−n) = (−1)l Ylm(n) .Θll (θ) = 0 ,Ïðèìåðû:rr133, Y10 =cos θ =nz ,Y00 =4π4π4πrr33±iϕsin θ e = ∓(nx ± iny ) .Y1±1 = ∓8π8πrYll (θ, ϕ) = Al eilϕ sinl θ ,ãäå ìíîæèòåëü Al îïðåäåëÿåòñÿ èç óñëîâèÿ íîðìèðîâêè.
Ïîñëåäîâàòåëüíî ïðèìåíÿÿ ïîíèæàþùèé îïåðàòîð â ñîîòâåòñòâèè ñ(10), ïîëó÷èì ñåðè÷åñêèå óíêöèè:Ylm(θ, ϕ) = (−1)m+|m|2s2l + 1 (l − |m|)! mP (cos θ) eimϕ ,4π (l + |m|)! lãäå Plm (x) ïðèñîåäèíåííûå ïîëèíîìû Ëåæàíäðà. Ñåðè÷åñêèå óíêöèè îáðàçóþò îðòîíîðìèðîâàíóþ ñèñòåìóZYl∗′m′ (θ, ϕ) Ylm(θ, ϕ) dΩ = δll′ δmm′ .Âìåñòî ñåðè÷åñêèõ óãëîâ θ è ϕ íåðåäêî èñïîëüçóþò êîìïîíåíòû åäèíè÷íîãî âåêòîðà:n=r, nx = sin θ cos ϕ , ny = sin θ sin ϕ , nz = cos θ .rÇàäà÷è23.1.  ñîñòîÿíèè ÷àñòèöû, çàäàííîì âîëíîâîé óíêöèåéΦ(ϕ) = A cos2 ϕ ,íàéòè âåðîÿòíîñòè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé m ïðîåêöèè ìîìåíòàèìïóëüñà íà îñü z è hlz i.
Òî æå äëÿΦ(ϕ) = A eiϕ cos2 ϕ .23.2. Îáñóäèòü âîïðîñ î òîì, êóäà íàïðàâëåí âåêòîð h ψ| l̂ |ψiâ ñîñòîÿíèÿõ1ψ = Yll è ψ = √ (Y11 + Y1−1) .294ëàâà III.ÌÎÌÅÍÒ ÈÌÏÓËÜÑÀ. ÖÅÍÒÀËÜÍÎÅ ÏÎËÅÏîêàçàòü, ÷òî â ñîñòîÿíèè ψm ñ îïðåäåë¼ííîé ïðîåêöèåé ìîìåíòà èìïóëüñà m íà îñü z ñðåäíèå çíà÷åíèÿ hlx i = hly i = 0.23.3. Èññëåäîâàòü êà÷åñòâåííî óãëîâîå ðàñïðåäåëåíèå ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòè äëÿ ñîñòîÿíèé, îïèñûâàåìûõ ñåðè÷åñêèìèóíêöèÿìè Yl,m=l è Yl,m=0, ñ÷èòàÿ l ≫ 1.23.4. Óêàçàòü, ïðè êàêèõ m è m′ ìîãóò áûòü îòëè÷íû îò íóëÿìàòðè÷íûå ýëåìåíòû äèïîëüíîãî hm′ | xi |mi è êâàäðóïîëüíîãîhm′| xixj − 13 δij r2 |mi ìîìåíòîâ.23.5. ×àñòèöà íàõîäèòñÿ â ñîñòîÿíèè ñ ìîìåíòîì èìïóëüñàl = 1 è åãî ïðîåêöèåé m (m = 0, ±1) íà îñü z .
Íàéòè âåðîÿòíîñòè W (m′ , m) ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé ïðîåêöèè ìîìåíòà èìïóëüñàm′ íà îñü z ′, ñîñòàâëÿþùóþ óãîë α ñ îñüþ z . àññìîòðåòü, â÷àñòíîñòè, ñëó÷àé, êîãäà îñü z ′ ïåðïåíäèêóëÿðíà îñè z .23.6. Íàéòè Ỹlm(θ, ϕ) ñîáñòâåííûå óíêöèè îïåðàòîðîâ l̂2è lˆx äëÿ l = 1. 24.Äâèæåíèå â öåíòðàëüíîì ïîëå24.1. Óðàâíåíèå äëÿ ðàäèàëüíîé óíêöèèÄëÿ öåíòðàëüíîãî ïîëÿ óäîáíû ñåðè÷åñêèå êîîðäèíàòû, âêîòîðûõ óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà èìååò âèä"~2−2mµ2∂∂2+∂r2 r ∂r¶#~2l̂2+ U (r) ψ(r, θ, ϕ) = E ψ(r, θ, ϕ) .+2mr2Åãî ìîæíî ëåãêî ïîëó÷èòü, èñïîëüçóÿ òîæäåñòâî~2l̂211= − [p̂ × r] 2 [r × p̂] = p̂2 − (p̂ · r) 2 (r · p̂) .2rrràçäåëÿÿ ïåðåìåííûåψ = R(r) Ylm(θ, ϕ) , 24. Äâèæåíèå â öåíòðàëüíîì ïîëå95ïîëó÷èì äëÿ ðàäèàëüíîé óíêöèè óðàâíåíèå·~2−2mâ êîòîðîìµ2dd2+2drr drUý¶¸+ U (r) Rl (r) = El Rl (r) ,ý= U (r) +~2l(l + 1).2mr2Îò ïåðâîé ïðîèçâîäíîé ïî r ìîæíî èçáàâèòüñÿ çàìåíîéRl (r) =χl (r).rÄëÿ χl (r) ïîëó÷àåì îáû÷íîå îäíîìåðíîå óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà~2 ′′χ (r) + U (r)χl (r) = El χl (r) ,2m líî ñ ýåêòèâíûì ïîòåíöèàëîì U (r), çàâèñÿùèì îò l.
Óñëîâèå íîðìèðîâêè äëÿ óíêöèè χl (r) â ñëó÷àå èíèòíîãî äâèæåíèÿ òàêîâî:Z ∞| χl (r) |2 dr = 1 .−ýý0Åñëè óíêöèÿ U (r) âñþäó êîíå÷íà, à ïðè r → 0 îáðàùàåòñÿâ áåñêîíå÷íîñòü, íî òàê ÷òî r2 U (r) → 0, òî âîëíîâàÿ óíêöèÿψ(r) äîëæíà áûòü êîíå÷íîé âî âñåì ïðîñòðàíñòâå (ñì. [1℄ 35).Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî â ýòîì ñëó÷àåχl (r) → 0 ïðè r → 0 .(24.1)Òåðìèíîëîãèÿ:l = 0, 1, 2, 3, . .
. (s, p, d, f, . . .) àçèìóòàëüíîå êâàíòîâîå ÷èñëî,m = 0, ±1, . . . , ±l ìàãíèòíîå êâàíòîâîå ÷èñëî.àäèàëüíîå êâàíòîâîå ÷èñëî nr ðàâíÿåòñÿ ÷èñëó íóëåé óíêöèè χl (r) (êðîìå òî÷åê r = 0 è r = ∞).96ëàâà III.ÌÎÌÅÍÒ ÈÌÏÓËÜÑÀ. ÖÅÍÒÀËÜÍÎÅ ÏÎËÅ 24. Äâèæåíèå â öåíòðàëüíîì ïîëå97óíêöèèÏîâåäåíèå ïðè r → 0.Ïóñòü r2 U (r) → 0 ïðè r → 0, òîãäà ðåøåíèÿìè óðàâíåíèÿl(l + 1)χ′′l (r) =χl (r)r2χ(r) = pCκ(r)eR± rr κ(r) dr0,κ(r) =l + 1/2rïðàâèëüíî âîñïðîèçâîäèò àñèìïòîòèêó (2).ñëóæàò óíêöèèÏîâåäåíèå ïðè r → ∞χl (r) = arl+1 è χl (r) =b.rl(24.2)Âòîðîå ðåøåíèå íå óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ (1) è ïîòîìó íå ãîäèòñÿ.Òàêèì îáðàçîì, ïðè ëþáûõ lχl (0) = 0 .Ñîîòâåòñòâåííîψ(0) 6= 0 ëèøü äëÿ l = 0 (s-ñîñòîÿíèÿ) .Çàìåòèì, ÷òî âûâîä êâàçèêëàññè÷åñêîãî ïðèáëèæåíèÿ äëÿðàäèàëüíîãî óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà òðåáóåò íåêîòîðîé àêêóðàòíîñòè, òàê êàê ïðè ìàëûõ çíà÷åíèÿõ r ýåêòèâíàÿ ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ñèíãóëÿðíà, Uý (r) ≈ ~2 l(l + 1)/(2mr2 ).
åçóëüòàò òàêîãî ðàññìîòðåíèÿ (ñì. çàäà÷ó 2 èç 5 â [3℄) ñâîäèòñÿê ïðîñòîé çàìåíål(l + 1) → (l + 1/2)2â ýåêòèâíîé ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè. Ýòà çàìåíà çàâåäîìîäîïóñòèìà äëÿ êâàçèêëàññè÷åñêèõ îðáèòàëüíûõ ìîìåíòîâ, ò. å.ïðè l ≫ 1. À êðîìå òîãî, ïðè ëþáûõ l îíà îáåñïå÷èâàåò ïðàâèëüíîå ïîâåäåíèå ðàäèàëüíîé âîëíîâîé óíêöèè íà ìàëûõðàññòîÿíèÿõ, åñëè öåíòðîáåæíûé ÷ëåí äîìèíèðóåò ïðè r → 0.Äåéñòâèòåëüíî, êàê íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, èìåííî ïðè òàêîé çàìåíå êâàçèêëàññè÷åñêîå âûðàæåíèå äëÿ ðàäèàëüíîé âîëíîâîéÑ÷èòàÿ, ÷òî ïîëå óáûâàåò äîñòàòî÷íî áûñòðî, ïîëó÷èìχ′′l (r) = −òàê ÷òî2mEχl (r) ,~2½A e±ikr èëè B sin(kr + αl )C e−κr√√ãäå ~k = 2mE , à ~κ = −2mE .χl (r) =ïðè E > 0 ,ïðè E < 0 ,24.2.
Ñâîáîäíîå äâèæåíèåÏðè l = 0 ðåøåíèåì óðàâíåíèÿχ′′(r) + k 2χ(r) = 0ñ ãðàíè÷íûì óñëîâèåì χ(0) = 0 ñëóæèò óíêöèÿχk0(r) = A sin kr .Îïðåäåëèì êîýèöèåíò A, èñïîëüçóÿ íîðìèðîâêó íà δ -óíêöèþ ïî øêàëå k :′δ(k − k ) =Z∞χk′0(r) χk0(r) dr =Zi|A|2 ∞ h i(k+k′)r−i(k+k ′ )re= −+e− (k → −k) dr =4 0Z|A|2 ∞ i(k+k′)r= −edr + (k → −k) =4 −∞|A|2= −[2π δ(k + k ′) − 2π δ(k − k ′) ] ;4098ëàâà III.ÌÎÌÅÍÒ ÈÌÏÓËÜÑÀ. ÖÅÍÒÀËÜÍÎÅ ÏÎËÅîòñþäà ñëåäóåòA= èòîãåχk0(r) =rrîòñþäàχkl (r) →rµ1d−r dr¶l2.π2sin kr .πχk0(r) √= krJl+1/2(kr) ;r(kr)l+1ïðè r → 0,2 · (2l ¡+ 1)!! ¢π sin kr − πl2 ïðè r → ∞ .Åñëè ïîëå óáûâàåò ïðè r → ∞ äîñòàòî÷íî áûñòðî, òî ïðèE > 0 è áîëüøèõ r äâèæåíèå ñòàíîâèòñÿ ñâîáîäíûì, ïîýòîìóχkl (r) ≈r9924.2. Îïðåäåëèòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, â êîòîðîé ïîÿâëÿþòñÿÌîæíî ïîêàçàòü (ñì.
[1℄, 33), ÷òî ïðè l > 0rl+1χkl (r) = lk 25. Àòîì âîäîðîäඵ2πlsin kr − + δl ,π2ïðè ýòîì âñå îòëè÷èå îò ñëó÷àÿ ñâîáîäíîãî äâèæåíèÿ çàêëþ÷åíî â âåëè÷èíàõ δl , êîòîðûå íàçûâàþòñÿ àçàìè ðàññåÿíèÿ (îíèèìåþò âàæíîå çíà÷åíèå â òåîðèè ðàññåÿíèÿ (ñì. 34)).Çàäà÷è24.1. Îïðåäåëèòü óðîâíè ýíåðãèè äëÿ äâèæåíèÿ ÷àñòèöû ñìîìåíòîì l = 0 â ñåðè÷åñêîé ïðÿìîóãîëüíîé ïîòåíöèàëüíîéÿìå:½ïðè r < a−VU (r) =0ïðè r > a .Ïîêàçàòü, ÷òî ýòà çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê çàäà÷å 4.1.óðîâíè ñ ðàçëè÷íûìè l ïî ìåðå âîçðàñòàíèÿ ãëóáèíû ÿìû V .24.3. Êàê ìåíÿþòñÿ çíà÷åíèÿ Enr l ýíåðãåòè÷åñêèõ óðîâíåé÷àñòèöû â äèñêðåòíîì ñïåêòðå:à) ïðè èêñèðîâàííîì çíà÷åíèè l ñ óâåëè÷åíèåì nr ;á) ïðè èêñèðîâàííîì çíà÷åíèè nr ñ óâåëè÷åíèåì l?24.4. Íàéòè óðîâíè ýíåðãèè è íîðìèðîâàííûå âîëíîâûåóíêöèè ñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèé ñåðè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðàU (r) = 12 kr2, èñïîëüçóÿ äåêàðòîâû êîîðäèíàòû.
Îïðåäåëèòüêðàòíîñòü âûðîæäåíèÿ óðîâíåé.Ïðîèçâåñòè êëàññèèêàöèþ ÷åòûðåõ íèæíèõ óðîâíåé îñöèëëÿòîðà ïî nr , l è ÷¼òíîñòè, èñõîäÿ òîëüêî èç èçâåñòíîãî çíà÷åíèÿ êðàòíîñòè âûðîæäåíèÿ óðîâíåé.Êàêàÿ êîìáèíàöèÿ âîëíîâûõ óíêöèé ψn1 n2 n3 îòâå÷àåò ñîñòîÿíèþ îñöèëëÿòîðà ñ ìîìåíòîì l = 0 (ïðè N = n1 +n2 +n3 = 2)?24.5. Íåñâÿçàííûé ýëåêòðîí ñîçäàåò â æèäêîì ãåëèè âîêðóãñåáÿ ïóçûðåê. Íàéòè ðàäèóñ ïóçûðüêà, ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî åãîñåðè÷åñêàÿ ïîâåðõíîñòü ñëóæèò íåïðîíèöàåìûì ïîòåíöèàëüíûì áàðüåðîì äëÿ ýëåêòðîíà. Êîýèöèåíò ïîâåðõíîñòíîãîíàòÿæåíèÿ æèäêîãî ãåëèÿ α = 0, 36 · 10−7 Äæ·ñì−2. 25.Àòîì âîäîðîäàÇàäà÷à ñâîäèòñÿ ê äâèæåíèþ â ïîëåU =−e2r÷àñòèöû ïðèâåäåííîé ìàññîém=me mp≈ me ;me + mp100ëàâà III.ÌÎÌÅÍÒ ÈÌÏÓËÜÑÀ. ÖÅÍÒÀËÜÍÎÅ ÏÎËÅíèæå ðàññìàòðèâàåòñÿ òîëüêî ñëó÷àé E < 0 (ñâÿçàííûå ñîñòîÿíèÿ) è èñïîëüçóåòñÿ îáîçíà÷åíèåκ=r−2mE.~2Àòîìíàÿ ñèñòåìà åäèíèöÅñòåñòâåííàÿ ñèñòåìà åäèíèö äëÿ çàäà÷è îá àòîìå âîäîðîäàâêëþ÷àåò ~, e, m.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
