1612725072-3b5bf0dbc627b001fc8c0870972eb71d (828982), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Äèðàêöèîííîå ðàññåÿíèå áûñòðûõ ÷àñòèö íà ÷¼ðíîìøàðåÏóñòü èäåàëüíî ïîãëîùàþùèé (÷¼ðíûé) øàð èìååò ðàäèóñ a.àññìîòðèì ðàññåÿíèå áûñòðûõ (ka ≫ 1) ÷àñòèö íà òàêîì øàðå(ïðèìåð: íåéòðîíû ñ ýíåðãèåé E ∼ 100 Ìý ðàññåèâàþòñÿ íàòÿæ¼ëîì ÿäðå ðàäèóñà a ∼ 10−12 ñì, ïðè ýòîì ka ∼ 10). Ýòàçàäà÷à âïîëíå àíàëîãè÷íà äèðàêöèè ïëîñêîé ñâåòîâîé âîëíûíà ÷åðíîì øàðå. Ïðèöåëüíûé ïàðàìåòð ρl0 = a ñîîòâåòñòâóåòl0 = ka ≫ 1. Ïðè l > l0 ÷àñòèöû íå ñòàëêèâàþòñÿ ñ øàðîì,Sl = 1. Ïðè l < l0 ÷àñòèöû ïîëíîñòüþ ïîãëîùàþòñÿ, Sl = 0.Ñòðîãî ãîâîðÿ, ýòè óòâåðæäåíèÿ ñïðàâåäëèâû ëèøü äëÿ l ≫ l0è l ≪ l0 , íî îáëàñòü l ≈ l0 íå äàåò áîëüøîãî âêëàäà â ñå÷åíèå.Òàêèì îáðàçîì,l0π Xπσel = σin = 2(2l + 1) = 2kkl=0Z0l02l dl = πa2 ,σtot = 2πa2 ,136ëàâà V.ÒÅÎÈß ÀÑÑÅßÍÈßò.
å. ïîëíîå ñå÷åíèå âäâîå áîëüøå êëàññè÷åñêîãî ñå÷åíèÿσêëàññ = πa2.Àìïëèòóäà óïðóãîãî ðàññåÿíèÿ âåëèêà ëèøü â îáëàñòè ìàëûõ óãëîâ ðàññåÿíèÿ θ . 1/(ka) ≪ 1, à â ýòîé îáëàñòèPl (cos θ) = J0(lθ), òàê ÷òîf (k, θ) =i2kl0X(2l + 1) Pl (cos θ) =l=0ikZl0lJ0(lθ) dl .0Åñëè äàëåå âîñïîëüçîâàòüñÿ èçâåñòíûì ñîîòíîøåíèåì äëÿóíêöèé ÁåññåëÿxJ0(x) =òî îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èìf (k, θ) = 34.
Ôàçîâàÿ òåîðèÿ ðàññåÿíèÿRkl (r) = 0 ïðè r < a èr21sin (kr − 12 πl + δl )Rkl (r) ≈πrÑøèâêà ïðè r = a äà¼ò1dσel= |f |2 = a2 ·dΩ4ïðèr > a.δl ≈ −(ka − 12 πl) .Äëÿ íàõîæäåíèÿ ïîëíîãî ñå÷åíèÿ èñïîëüçóåì îïòè÷åñêóþ òåîðåìó, ÷òî ïðèâîäèò ê îòâåòó:l02π Xσ= 2(2l + 1)(1 − cos 2δl ) .kl=0d[xJ1(x)],dxÑëàãàåìûå, ñîäåðæàùèåiaJ1(kaθ) .θáûñòðî îñöèëëèðóþò ïðè èçìåíåíèè l, è ïîýòîìó èõ âêëàäîì âñóììó ìîæíî ïðåíåáðå÷ü.  èòîãå ïîëó÷àåìcos 2δl ≈ (−1)l cos(2ka) ,Îòñþäà äèåðåíöèàëüíîå ñå÷åíèå óïðóãîãî ðàññåÿíèÿ (ka)2137ïðèθ ≪ 1/(ka)8 sin2 ¡kaθ − π ¢ ïðè θ ≫ 1/(ka) .4πkaθ334.6. Óïðóãîå ðàññåÿíèå áûñòðûõ ÷àñòèö íà èäåàëüíîîòðàæàþùåì øàðåÏóñòü ðàäèóñ øàðà ðàâåí a è ka ≫ 1.
Ïîëíîå ñå÷åíèå îïðåäåëÿåò ÷èñëî ÷àñòèö, âûáûâøèõ èç íà÷àëüíîãî ïó÷êà.  êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå ýòî ñå÷åíèå, ðàâíîå πa2 , ñâÿçàíî ëèøü ñ ïðÿìûìñòîëêíîâåíèåì ñ ìèøåíüþ. Ñ ó÷åòîì âîëíîâûõ ñâîéñòâ ÷àñòèöèõ âûáûâàíèå èç ïó÷êà, ò. å. èçìåíåíèå íà÷àëüíîãî èìïóëüñà,ñâÿçàíî òàêæå ñ äèðàêöèåé.Êàê è â 34.5, Sl = 1 ïðè l > l0 . Ïðè l < l0 ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà äëÿ ðàäèàëüíîé âîëíîâîé óíêöèè èìååò âèäσ = 2πa2 ,÷òî âäâîå ïðåâûøàåò êëàññè÷åñêîå ñå÷åíèå σêëàññ = πa2 . äàííîì ñëó÷àå îòëè÷èå îò êëàññè÷åñêîãî ðåçóëüòàòà ñâÿçàíî ñ íàëè÷èåì ïîìèìî êâàçèêëàññè÷åñêîãî ðàññåÿíèÿ, îáóñëîâëåííîãî óãëàìè θ ≫ 1/(ka), åùå è äèðàêöèîííîãî ðàññåÿíèÿíà ìàëûå óãëû θ .
1/(ka). Áîëåå ïîäðîáíî îá ýòîì ñëó÷àå ìîæíî ïðî÷èòàòü â çàäà÷å 13.32 èç [4℄.Äëÿ êëàññè÷åñêèõ ÷àñòèö äèðàêöèÿ ïðàêòè÷åñêè íå íàáëþäàåìà. Òàê, äëÿ ÷àñòèöû ñ m ∼ 1 ã è v ∼ 1 ñì/ñ óãëû äèðàêöèè íà øàðå ðàäèóñà a ∼ 1 ñì íàñòîëüêî ìàëû,θäè∼~∼ 10−27 ,mva÷òî óâèäåòü ýòî ðàññåÿíèå ìîæíî áûëî áû ëèøü íà ðàññòîÿíèÿõr∼aθäè∼ 1027 ñì .138ëàâà V.ÒÅÎÈß ÀÑÑÅßÍÈß34.7.
åçîíàíñíîå ðàññåÿíèåàññìîòðèì ðàññåÿíèå â òàêîì ïîëå U (r), â êîòîðîì èìååòñÿ êâàçèñòàöèîíàðíîå ñîñòîÿíèå. Íàïîìíèì (ñì. 2122), ÷òîêâàçèñòàöèîíàðíîå ñîñòîÿíèå ìîæíî îðìàëüíî ðàññìàòðèâàòüêàê ñîñòîÿíèå ñ êîìïëåêñíîé ýíåðãèåé âèäà Er − 2i Γ, â êîòîðîéìíèìàÿ ÷àñòü îïðåäåëÿåò øèðèíó ñîñòîÿíèÿ Γ.  òàêîì ïîëåñå÷åíèå ðàññåÿíèÿ è àçû ðàññåÿíèÿ èìåþò õàðàêòåðíîå ðåçîíàíñíîå ïîâåäåíèå â çàâèñèìîñòè îò ýíåðãèè íàëåòàþùèõ÷àñòèö E â îáëàñòè çíà÷åíèé, áëèçêèõ ê ýíåðãèè ðåçîíàíñà Er .×àñòî èìåííî èçó÷åíèå ïîâåäåíèÿ ñå÷åíèÿ ðàññåÿíèÿ â çàâèñèìîñòè îò E äà¼ò ñâåäåíèÿ î íåñòàáèëüíûõ ÿäðàõ è ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèöàõ-ðåçîíàíñàõ.Ïóñòü Rkl (r) ðàäèàëüíàÿ óíêöèÿ, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ñòàöèîíàðíîé çàäà÷å ðàññåÿíèÿ.
Ïåðåïèøåì àñèìïòîòè÷åñêîå (ïðèr → ∞) âûðàæåíèåRkl (r) →p¡¢2/πsin kr − 12 πl + δlr1eiÎòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ïàðöèàëüíàÿ àìïëèòóäà ðàññåÿíèÿ (4)äîëæíà èìåòü ïîëþñ ïðè E = Er − 2i Γ.Ïóñòü âáëèçè ýòîãî ïîëþñà¡¢Bl (E) ≈ βl · E − Er + 2i Γ ,òîãäàβl∗ E − Er − 2i ΓSl (E) = e ≈ (−1).(34.5)βl E − Er + 2i ΓÂäàëè îò ðåçîíàíñà, ïðè |E − Er | ≫ Γ, èç (5) ïîëó÷èì:(0)β∗(0)Sl = e2iδl ≈ (−1)l+1 l ,(34.6)βl(0)E − Er − 2i ΓiΓ(0)= Sl −e2iδl , (34.7)iiE − Er + 2 ΓE − Er + 2 Γà îðìóëó äëÿ ïàðöèàëüíîé àìïëèòóäû â âèäå(0)= (−i)l+1 eiδl ,fl (E) ≈ fl(0)−(0)Γ1e2iδl ,i2k E − Er + 2 Γãäå fl àìïëèòóäà ðàññåÿíèÿ âäàëè îò ðåçîíàíñà. Åñëè(0)âáëèçè ðåçîíàíñà âêëàäîì fl ìîæíî ïðåíåáðå÷ü, òî ïàðöèàëüíîå ñå÷åíèå èìååò ðåçîíàíñíóþ çàâèñèìîñòü îò ýíåðãèè(ðèñ.
25):Òîãäà ïàðöèàëüíàÿ àìïëèòóäà ðàññåÿíèÿ ðàâíà¸Al (E)l+1(−1) − 1 .Bl (E)l+12iδl(0)Al (E)= (−1)l+1 Sl (E) .Bl (E)·Bl Er − 2i Γ = 0 .Sl (E) ≈ e2iδlñâÿçàíû ñ Sl (E) ñîîòíîøåíèåì (ñð. (2)(3))11fl (E) =(Sl − 1) =2ik2ikÈçâåñòíî (ñì. îðìóëû (22.1)(22.2)), ÷òî ïðè E = Er − 2i Γðàäèàëüíàÿ óíêöèÿ Rkl (r) íà áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ ñîäåðæèòòîëüêî ðàñõîäÿùóþñÿ âîëíó. Ïîýòîìó ïîòðåáóåì, ÷òîáû (ñð.(22.2))¡¢(0)p¤2/π £Rkl (r) →Al (E) eikr + Bl (E) e−ikr ,2rãäå óíêöèè Al (E) è Bl (E), ðàâíûåAl (E) = Bl∗(E) =139ãäå δl àçà ðàññåÿíèÿ âäàëè îò ðåçîíàíñà. Òåïåðü îðìóëó(5) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäåâ âèäå ñóììû ñõîäÿùèõñÿ è ðàñõîäÿùèõñÿ âîëí:³´1i δl − 2 πl 34.
Ôàçîâàÿ òåîðèÿ ðàññåÿíèÿ(34.4)σ (l) = 4π(2l + 1) |fl |2 →πΓ2(2l+1)k2(E − Er )2 + (Γ/2)2(34.8)140ëàâà V.σ (l)(l)σmaxÒÅÎÈß ÀÑÑÅßÍÈß 34. Ôàçîâàÿ òåîðèÿ ðàññåÿíèÿ1.0δl /π1.00.80.80.60.60.40.40.20.20.00.80.91.01.1èñ. 25. Çàâèñèìîñòü ïàðöèàëüíîãî ñå÷åíèÿ1.21.30.00.81.4E/Erσ (l) (E)îòEâáëèçè ðåçîíàíñàè ïðè E = Er äîñòèãàåò ìàêñèìàëüíî âîçìîæíîãî çíà÷åíèÿ(l)σmax=4π(2l + 1).k2Ó÷åò âêëàäà íåðåçîíàíñíîãî ñëàãàåìîãîìîæåò ïðèâåñòè êèñêàæåíèþ ðåçîíàíñíîé êðèâîé (8).àññìîòðèì òåïåðü ïîâåäåíèå àçû ðàññåÿíèÿ ïðè èçìåíåíèè ýíåðãèè. Ïîñêîëüêó îòíîøåíèå (E − Er − 2i Γ)/(E − Er + 2i Γ)ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå·¸E − Er − 2i Γ2(E − Er )= exp −2 i arcctg,ΓE − Er + 2i Γòî, èñïîëüçóÿ (5)(7), äëÿ àçû ðàññåÿíèÿ ïîëó÷èì âûðàæåíèå(0)0.91.01.1èñ.
26. Çàâèñèìîñòü àçû ðàññåÿíèÿ1.2δl (E)1.31.4E/ErîòEâáëèçè ðåçîíàíñàÇàäà÷è34.1. Âû÷èñëèòü ñå÷åíèå ðàññåÿíèÿ ìåäëåííûõ ÷àñòèö â ïîëå(0)flδl ≈ δl − arctg141Γ,2(E − Er )(34.9)èç êîòîðîãî âèäíî, ÷òî ïðè ïðîõîæäåíèè ÷åðåç ðåçîíàíñ àçàðàññåÿíèÿ èçìåíÿåòñÿ íà π (ðèñ. 26) .Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ìîæíî ðàññìîòðåòü àíàëèòè÷åñêîåïðîäîëæåíèå ïî k óíêöèé Rkl (r) è fl (k) â îáëàñòü îòðèöàòåëüíûõ çíà÷åíèé E (÷òî ñîîòâåòñòâóåò k → iκ ), ïðè ýòîì îêàæåòñÿ, ÷òî ñâÿçàííûì ñîñòîÿíèÿì ñ ýíåðãèåé En < 0 ñîîòâåòñòâóþòïîëþñà àìïëèòóäû ðàññåÿíèÿ ïðè E = En .U (r) = −G δ(r − a) â óñëîâèÿõ ðåçîíàíñà â s-âîëíå.34.2. Íàéòè ñå÷åíèå ðàññåÿíèÿ ìåäëåííûõ ÷àñòèö â ñëó÷àå:à) ñåðè÷åñêîé ïðÿìîóãîëüíîé ïîòåíöèàëüíîé ÿìû (âêëþ÷àÿ è ðåçîíàíñíîå ðàññåÿíèå);á) ñåðè÷åñêîãî ïðÿìîóãîëüíîãî ïîòåíöèàëüíîãî áàðüåðà.34.3.
Íàéòè àçîâûå ñäâèãè δl (k) â ïîëå U (r) = α/r2, α > 0.Âûïîëíèòü ñóììèðîâàíèå ðÿäà, ïðåäñòàâëÿþùåãî ðàçëîæåíèåàìïëèòóäû ïî ïàðöèàëüíûì âîëíàì, â ñëó÷àå mα/~2 ≪ 1 ïðèïðîèçâîëüíûõ óãëàõ ðàññåÿíèÿ. Íàéòè dσ/dΩ è σ . Ñðàâíèòü ñêëàññè÷åñêèì ðàññåÿíèåì íà ìàëûå óãëû.34.4. Êàê âåäåò ñåáÿ ñå÷åíèå íåóïðóãîãî ðàññåÿíèÿ â ïðåäåëåìàëûõ ñêîðîñòåé? 35. Îïûò Øòåðíà åðëàõà143 êëàññè÷åñêîé ýëåêòðîäèíàìèêå ñðåäíÿÿ ñèëà, äåéñòâóþùàÿíà àòîì â ïîïåðå÷íîì (âäîëü îñè z ) íàïðàâëåíèè,Fz = µzëàâà VIìîæåò ïðèíèìàòü ëþáûå çíà÷åíèÿ èç èíòåðâàë௯¯¯¯ ∂Bz ¯¯ ∂Bz ¯¯¯¯¯,−µ ¯≤ Fz ≤ +µ ¯∂z ¯∂z ¯ÑÏÈÍ 35.∂Bz∂zÎïûò Øòåðíà åðëàõà êëàññè÷åñêîé òåîðèè ìàãíèòíûé ìîìåíò àòîìàµ=1 Xeara × va2c a÷òî ïðèâîäèëî áû ëèøü ê ðàçìûòèþ íà ïëàñòèíêå ëèíèè, âäîëüêîòîðîé îñàæäàëèñü ïðîëåòåâøèå àòîìû. êâàíòîâîé ìåõàíèêå M̂ = ~L̂, è ïîòîìó îïåðàòîðµ̂L = −µBL̂ ,ãäå ìàãíåòîí Áîðàîáóñëîâëåí â îñíîâíîì äâèæåíèåì ýëåêòðîíîâµ≈−ãäåM=|e|M,2mecXer e × pe îðáèòàëüíûé ìîìåíò èìïóëüñà ýëåêòðîíîâ.
Âçàèìîäåéñòâèåíåéòðàëüíîãî àòîìà ñî âíåøíèì ìàãíèòíûì ïîëåì B îïèñûâàåòñÿ äîáàâêîéV = −µBê óíêöèè àìèëüòîíà. Âî âíåøíåì íåîäíîðîäíîì ìàãíèòíîìïîëå íà òàêîé àòîì äåéñòâóåò ñèëàF = −∇V = (µ∇)B . îïûòå Øòåðíà è åðëàõà (1921) íåéòðàëüíûå àòîìû ñåðåáðà ïðîëåòàëè ÷åðåç ïîïåðå÷íîå íåîäíîðîäíîå ìàãíèòíîå ïîëå.µB =|e|~.2mecÂåëè÷èíàµ̂z = −µBL̂zïðèíèìàåò äèñêðåòíûé ðÿä çíà÷åíèé−µBl, µB(l − 1), . . . , +µBl ,÷òî äîëæíî ïðèâåñòè ê ïîÿâëåíèþ íà ïëàñòèíêå 2l + 1 ïîëîñ.Îäíàêî â îïûòå ñ àòîìàìè ñåðåáðà íà ïëàñòèíêå ïîÿâèëèñüäâå ïîëîñû, ÷òî îðìàëüíî ñîîòâåòñòâóåò ðàâåíñòâó2l + 1 = 2 , ò.
å. l = 1/2 .èïîòåçà Óëåíáåêà è àóäñìèòà (1925): ýëåêòðîí èìååò ñîáñòâåííûé (íå ñâÿçàííûé ñ âðàùåíèåì âîêðóã ÿäðà) ìîìåíò èìïóëüñà, èëè ñïèí ~ŝ, ïðè÷åì ŝz èìååò äâà ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèÿ ±1/2. Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ìåõàíè÷åñêàÿ ìîäåëü ýëåêòðîíà â âèäå øàðèêà ðàäèóñà re = e2 /(me c2 ), êîòîðûé âðàùàåòñÿ144ëàâà VI.ÑÏÈÍâîêðóã ñâîåé îñè, íåñîñòîÿòåëüíà, òàê êàê ìîìåíòó èìïóëüñà~/2 ∼ merev ñîîòâåòñòâóåò ñêîðîñòü âðàùåíèÿ v ∼ ~/(mere) ∼~c2/e2 = 137 c (ó÷¼ò ðåëÿòèâèñòñêèõ ýåêòîâ íå ñïàñàåò òàêóþ ìîäåëü). 36. 36. Ñïèí è ñïèíîðûÈçŝz |+i = 12 |+iñëåäóåò1h+|ŝz |+i = ,2àíàëîãè÷íîÑïèí è ñïèíîðû1451h−|ŝz |−i = − .2h+|ŝz |−i = 0,36.1.
Îïåðàòîð ñïèíàÍàáîð ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâÊîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ (23.2) äëÿ êîìïîíåíò îðáèòàëüíîãî ìîìåíòà îïðåäåëÿþòñÿ ëèøü îáùèìè ñâîéñòâàìè îïåðàöèè ïîâîðîòà, ïîýòîìó ïîëó÷åííûå â 23 îáùèå îðìóëûñïðàâåäëèâû è äëÿ ñïèíà.  ÷àñòíîñòè,2[ŝj , ŝk ] = iεjknŝn , [ŝj , ŝ ] = 0 ,è ïîýòîìó ñóùåñòâóþò ñîâìåñòíûå ñîáñòâåííûå óíêöèè îïåðàòîðîâ ŝ2 è ŝz , óäîâëåòâîðÿþùèå óðàâíåíèÿì2ŝ |s, mi = s(s + 1) |s, mi =ŝz |s, mi = m |s, mi ,Ââåäåì êðàòêèå îáîçíà÷åíèÿ:34|s, mi ,µh+|ŝz |+i, h+|ŝz |−ih−|ŝz |+i, h−|ŝz |−i¶=12µ1 00 −1¶.Äëÿ îïåðàòîðîâ lˆ± = lˆx ± ilˆy ìû âûâîäèëè ñîîòíîøåíèÿ(23.10)lˆ± |l, mi =p(l ∓ m)(l ± m + 1) |l, m ± 1i .ŝ+ |+i = 0 , ŝ+ |−i = |+i ,µµ¶¶0 10 0+ŝ+ =, ŝ− = (ŝ+) =,0 01 0µµ¶¶ŝ+ + ŝ− 1 0 1ŝ+ − ŝ− 1 0 −iŝx =, ŝy =.=2=21 0i 022iÄåéñòâèå ëþáîãî îïåðàòîðà ŝj íà ïðîèçâîëüíîå ñîñòîÿíèå (1)Ëþáîå ñïèíîâîå ñîñòîÿíèå|χ i(36.1)ïðè÷åì èç óñëîâèÿ íîðìèðîâêè h χ | χ i = 1 äëÿ êîìïëåêñíûõ÷èñåë a1,2 ñëåäóåò óñëîâèå|a1|2 + |a2|2 = 1 .óäîáíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ìàòðèöûò.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
