1612725072-3b5bf0dbc627b001fc8c0870972eb71d (828982), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Òàê, àòîìHe4 èìååò â ñâîåì ñîñòàâå ÷¼òíîå ÷èñëî åðìèîíîâ (äâà ýëåêòðîíà â ýëåêòðîííîé îáîëî÷êå, äâà ïðîòîíà è äâà íåéòðîíà âÿäðå) è ÿâëÿåòñÿ áîçîíîì, â òî âðåìÿ êàê àòîì He3 èìååò â ñâîåìñîñòàâå íå÷¼òíîå ÷èñëî åðìèîíîâ (äâà ýëåêòðîíà â ýëåêòðîííîé îáîëî÷êå, äâà ïðîòîíà è îäèí íåéòðîí â ÿäðå) è ÿâëÿåòñÿåðìèîíîì. Ýòî ïðèâîäèò, â ÷àñòíîñòè, ê ðåçêîìó ðàçëè÷èþñâîéñòâ æèäêîãî He4 è He3 â îáëàñòè íèçêèõ òåìïåðàòóð. 42.Óðàâíåíèå Êëåéíà Ôîêà îðäîíà ðåëÿòèâèñòñêîé òåîðèè îïåðàòîðûp̂0 =i~ ∂è p̂ = −i~∇c ∂tîáðàçóþò 4-ìåðíûé âåêòîðµ1∂, −∇p̂ = i~c ∂tµÓðàâíåíèå Øðåäèíãåðàcp̂0 Ψ(r, t) =½¶= i~∂ µ.¾1 ³e ´2p̂ − A + eφ Ψ(r, t)2mcè óðàâíåíèå Ïàóëè (ñì.
24)cp̂0 Ψ(r, t) =½¾1 ³ ³e ´´2+ eφ Ψ(r, t)σ p̂ − A2mc168ëàâà VIII.ÅËßÒÈÂÈÑÒÑÊÀß ÊÂÀÍÒÎÂÀß ÌÅÕÀÍÈÊÀíå ÿâëÿþòñÿ ðåëÿòèâèñòñêè-èíâàðèàíòíûìè, êîìïîíåíòû p̂µâõîäÿò â íèõ ÿâíî íåñèììåòðè÷íûì îáðàçîì: ýòè óðàâíåíèÿ ëèíåéíû ïî îïåðàòîðó p̂0 è êâàäðàòè÷íû ïî p̂. Ïðîñòåéøåå ðåëÿòèâèñòñêîå îáîáùåíèå óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà ìîæíî ïîëó÷èòü,ïîòðåáîâàâ, ÷òîáû â íåãî âõîäèëà âòîðàÿ ñòåïåíü îïåðàòîðà p̂0 .Èç êëàññè÷åñêîãî ñîîòíîøåíèÿ äëÿ êîìïîíåíò 4-èìïóëüñà ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû6e ´µ ³e ´p− Ap − A = m2 c 2 ,cc µãäå Aµ = (A0 (r, t), A(r, t)) 4-ïîòåíöèàë ýëåêòðîìàãíèòíîãîïîëÿ è A0 (r, t) ≡ φ(r, t) ñêàëÿðíûé ïîòåíöèàë, ïðè çàìåíåp0 → i(~/c)(∂/∂t), p → −i~∇ âîçíèêàåò ðåëÿòèâèñòñêîå âîëíîâîå óðàâíåíèå Êëåéíà Ôîêà îðäîíà (19261927)"µ#¶2 ³e ´2e~ ∂− A0 − −i~∇ − AΨ(r, t) = m2c2 Ψ(r, t) .ic ∂t cc(42.1)³Câîáîäíîìó äâèæåíèþ ÷àñòèöû ñ îïðåäåëåííûì 4-èìïóëüñîì pµ = (E/c, p) ñîîòâåòñòâóåò ïëîñêàÿ âîëíàΨ(x) = A e−i(Et−pr)/~ .Åñëè ïîäñòàâèòü ýòó óíêöèþ â óðàâíåíèå (1) ñ Aµ = 0, òîíàéäåì åñòåñòâåííóþ ñâÿçü ìåæäó ýíåðãèåé è èìïóëüñîìE 2 = m 2 c 4 + p2 c 2 ,êîòîðîé ñîîòâåòñòâóåò çàêîí äèñïåðñèè, ò.
å. çàâèñèìîñòü ýíåðãèè îò èìïóëüñà, âèäàE = ±cpm2 c2 + p2 .6  ýòîé ãëàâå ïî ïîâòîðÿþùèìñÿ èíäåêñàì 4-âåêòîðîâ ïîäðàçóìåâàåòñÿñóììèðîâàíèå, ò. å. âûðàæåíèåµµA Bµîçíà÷àåòA Bµ ≡ A0 B0 − Ax Bx − Ay By − Az Bz = A0 B0 − AB . 42. Óðàâíåíèå Êëåéíà Ôîêà îðäîíà169Îòëîæèì îáñóæäåíèå äâóõ âîçìîæíûõ çíàêîâ ± â ýòîì âûðàæåíèè äî 47.åëÿòèâèñòñêîå óðàâíåíèå ÊÔ îêàçàëîñü óðàâíåíèåì âòîðîãî ïîðÿäêà ïî âðåìåíè. Ýòî ïðèâîäèò ê ñëåäóþùåìó ïðèíöèïèàëüíîìó îòëè÷èþ îò íåðåëÿòèâèñòñêîé êâàíòîâîé ìåõàíèêè, îñíîâàííîé íà óðàâíåíèè Øð¼äèíãåðà óðàâíåíèè ïåðâîãîïîðÿäêà ïî âðåìåíè. Îäíèì èç ïîñòóëàòîâ êâàíòîâîé ìåõàíèêèÿâëÿåòñÿ èíòåðïðåòàöèÿ êâàäðàòà ìîäóëÿ âîëíîâîé óíêöèèêàê ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòè ρ(r, t) = |Ψ(r, t)|2 .
Ýòà ïëîòíîñòüâåðîÿòíîñòè è ïëîòíîñòü òîêà âåðîÿòíîñòèe ´1 ∗³Ψ −i~∇ − A Ψ + êîìï. îïð.j=2mcñâÿçàíû óðàâíåíèåì íåïðåðûâíîñòè∂̺+ ∇j = 0 ,∂tRèç êîòîðîãî ñëåäóåò, ÷òî óñëîâèå íîðìèðîâêè ρ(r, t) d3 r = 1íå èçìåíÿåòñÿ ñ òå÷åíèåì âðåìåíè.Ïîäîáíàÿ èíòåðïðåòàöèÿ íåâîçìîæíà äëÿ âîëíîâîé óíêöèèRóðàâíåíèÿ ÊÔ, òàê êàê äëÿ íå¼ èíòåãðàë |Ψ(r, t)|2 d3 r íå ñîõðàíÿåòñÿ ñ òå÷åíèåì âðåìåíè. Åñòåñòâåííûì ðåëÿòèâèñòñêèìîáîáùåíèåì 3-âåêòîðà j ÿâëÿåòñÿ 4-âåêòîðn ³´∗ o³e ´ejµ = Ψ∗ i~∂µ − Aµ Ψ + i~∂µ Ψ − AµΨ · Ψ .ccËåãêî ïðîâåðèò, èñïîëüçóÿ óðàâíåíèå ÊÔ, ÷òî êîìïîíåíòûýòîãî 4-âåêòîðà óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ íåïðåðûâíîñòè.
Ýòîîçíà÷àåò, ÷òî ðîëü ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòè äîëæíà èãðàòü íóëåâàÿ êîìïîíåíòà 4-âåêòîðà jµ , ò. å.ρ=³´∗ oj0 1 n ∗ ³e ´eΨ i~∂0 − A0 Ψ + i~∂0 Ψ − A0Ψ · Ψ .=ccccÎäíàêî ýòà âåëè÷èíà íå ÿâëÿåòñÿ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåë¼ííîé! êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ ïîêàçûâàåòñÿ, ÷òî 4-âåêòîð jµ èãðàåò170ëàâà VIII.ÅËßÒÈÂÈÑÒÑÊÀß ÊÂÀÍÒÎÂÀß ÌÅÕÀÍÈÊÀðîëü íå ïëîòíîñòè òîêà âåðîÿòíîñòè, íî ïëîòíîñòè òîêà çàðÿæåííûõ ÷àñòèö, à â ýòîì ñëó÷àå j0 ìîæåò áûòü îòðèöàòåëüíîéâåëè÷èíîé.Óðàâíåíèå ÊÔ è 4-âåêòîð jµ èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî êàëèáðîâî÷íîãî ïðåîáðàçîâàíèÿAµ → Aµ − ∂µf,Ψ → Ψ eief /(~c) ,(p2)2p2−+ ...2m 8m3c2∆Enl = −Çäåñü1∆Enl = hnl| V̂ |nli = −2mc2ìîæåò áûòü ïåðåïèñàíà ñ ó÷åòî쯵 ¶ ¯ +¯ p̂2 2 ¯¯¯nl ¯¯ nl¯ 2m ¯*p̂2e2= Ĥ0 + , Ĥ0 |nl i = En |nl i2mr¶13.−l + 12 4n(42.3)1e2≈~c 137 áåçðàçìåðíàÿ êîíñòàíòà, ïîñòîÿííàÿ òîíêîé ñòðóêòóðû.âîçíèêàåò èç-çà èçìåíåíèÿ çàêîíà äèñïåðñèè.
Ñîîòâåòñòâóþùååâîçìóùåíèå ðàâíîóðîâíåé. Âîçíèêàþùàÿ ïîïðàâêà ê ýíåðãèèµα=p̂2+ U (r)2m¡ 2 ¢2p̂V̂ = − 3 2 .8m c êóëîíîâñêîé çàäà÷å (ïðè U (r) = −e2 /r ) ýòà ïîïðàâêà ñíèìàåò âûðîæäåíèå ïî l â ñïåêòðå è ïðèâîäèò ê òîíêîé ñòðóêòóðå12mc2¯µ¶¯ +¯2 2¯e¯¯nl ¯ En +¯ nl =¯r ¯*me4 α2=− 2 32~ nàññìîòðèì äâèæåíèå íåðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû â ïîòåíöèàëüíîì ïîëå U (r).
åëÿòèâèñòñêàÿ ïîïðàâêà ê íåðåëÿòèâèñòñêîìó îïåðàòîðó àìèëüòîíàĤ0 =171â âèäå (ì. (13.1) è (27.1))(42.2)ãäå f ïðîèçâîëüíàÿ óíêöèÿ êîîðäèíàò è âðåìåíè.Îáñóäèì íåðåëÿòèâèñòñêèé ïðåäåë p2 ≪ m2 c2 .  ýòîì ñëó÷àåE = mc2 + 43. Ñèììåòðè÷íàÿ îðìà óðàâíåíèÿ Äèðàêà2l= 10n=31l=0¾n=2l= 0}n = 1Òîíêàÿ ñòðóêòóðà óðîâíåé àòîìà âîäîðîäà ñîãëàñíî (3)Îäíàêî ðåàëüíûé ñïåêòð àòîìà âîäîðîäà îòëè÷àåòñÿ îò ýòîãîñïåêòðà.
Ïðè÷èíà â òîì, ÷òî óðàâíåíèå (1) íå ó÷èòûâàåò ñïèíýëåêòðîíà. 43.Ñèììåòðè÷íàÿ îðìà óðàâíåíèÿ Äèðàêà íåðåëÿòèâèñòñêîé êâàíòîâîé ìåõàíèêå ñïèí ýëåêòðîíà ó÷èòûâàåòñÿ â óðàâíåíèè Ïàóëè (ñì. (37.1), (37.2)), êîòîðîå ìû172ëàâà VIII.ÅËßÒÈÂÈÑÒÑÊÀß ÊÂÀÍÒÎÂÀß ÌÅÕÀÍÈÊÀïðåäñòàâèì â îðìå½¾e ´i21 h ³σ0 (cp̂0 − eA0) −Ψ(r, t) = 0 ,σ p̂ − A2mcãäå σ0 åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà. Åñòåñòâåííîå ðåëÿòèâèñòñêîåîáîáùåíèå óðàâíåíèÿ Ïàóëè âûãëÿäèò òàê:½hγ0³¾³e ´i2e ´2 2p̂0 − A0 − γ p̂ − A− m c Ψ(x) = 0,cc(43.1)ãäå γ µ = (γ0 , γ) íåêîòîðûå ìàòðèöû, à x = (ct, r) 4-ðàäèóñâåêòîð. Ïðåäñòàâèì îïåðàòîð âòîðîãî ïîðÿäêà {.
. .} â ëåâîé÷àñòè óðàâíåíèÿ (1) â àêòîðèçîâàííîì âèäåih ³ih ³e ´e ´{. . .} = γ µ i~∂µ − Aµ + mc γ ν i~∂ν − Aν − mc .ccÔóíêöèÿ Ψ(x) óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (1), åñëè îíà ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêàhγµ³ie ´i~∂µ − Aµ − mc Ψ(x) = 0.c(43.2)Ýòî è åñòü óðàâíåíèå Äèðàêà (1928). Äëÿ ñâîáîäíîé ÷àñòèöûóðàâíåíèå Äèðàêà èìååò âèä(γ µp̂µ − mc) Ψ(x) = 0 .(43.3)Êîíå÷íî, âñå ïðåäûäóùåå íå âûâîä, à ëèøü íàâîäÿùèå ñîîáðàæåíèÿ. Ìû ïîñòóëèðóåì óðàâíåíèå Äèðàêà â âèäå (2), àñïðàâåäëèâîñòü åãî ïîäòâåðæäàåòñÿ ñîîòâåòñòâèåì ñëåäñòâèéèç íåãî ýêñïåðèìåíòó.Îòìåòèì ñðàçó æå îñíîâíîå ñâîéñòâî ìàòðèö γ µ .
åøåíèåóðàâíåíèÿ Äèðàêà äëÿ ñâîáîäíîé ÷àñòèöû (3) óäîâëåòâîðÿåòòàêæå óðàâíåíèþ (1) (ïðè Aµ = 0), êîòîðîå ìû ïåðåïèøåì âîðìåµν(γ p̂µ + mc) (γ p̂ν − mc) Ψ(x) = 0 .(43.4) 43. Ñèììåòðè÷íàÿ îðìà óðàâíåíèÿ Äèðàêà173×òîáû ñîõðàíèòü îáû÷íóþ ñâÿçü ìåæäó ýíåðãèåé è èìïóëüñîì, E 2 = (p2 + m2 c2 )c2 , åñòåñòâåííî ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû óðàâ(4) ñîâïàäàëîñ óðàâíåíèåì Êëåéíà Ôîêà îðäîíà¡íåíè墵2 2p̂ p̂µ − m c Ψ(x) = 0. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òîγ µγ ν + γ ν γ µ = 2g µν I .(43.5)Ñêîëüêî êîìïîíåíò ó âîëíîâîé óíêöèè Ψ(x)? Ïðè âûÿñíåíèè ýòîãî âîïðîñà âàæíóþ ðîëü èãðàåò èíâàðèàíòíîñòü óðàâíåíèÿ Äèðàêà îòíîñèòåëüíî îòðàæåíèé ïðîñòðàíñòâåííûõ îñåéèëè P -èíâàðèàíòíîñòü.Ïðè ïîâîðîòå íà óãîë θ âîêðóã îñè n ïðåîáðàçîâàíèå 2-êîìïîíåíòíîãî ñïèíîðà ϕ èìååò âèä (36.2)¢θσn ϕ = [ cos(θ/2) + i σn sin(θ/2) ] ϕ .(43.6)¡i¢Îïåðàòîð ïîâîðîòà exp 2 θσn íå íàðóøàåò P -èíâàðèàíòϕ′ = exp¡i2íîñòü, òàê êàê è ñïèí (ñîáñòâåííûé ìîìåíò èìïóëüñà ýëåêòðîíà) ŝ = σ/2, è îñü ïîâîðîòà n àêñèàëüíûå âåêòîðû, à ïîòîìóïðîèçâåäåíèå σn èñòèííûé ñêàëÿð, íå èçìåíÿþùèé çíàê ïðèîòðàæåíèè êîîðäèíàò.Ïðåîáðàçîâàíèå Ëîðåíöà âäîëü îñè x ñî ñêîðîñòüþ V èìååòâèäx′ = x ch θ − ct sh θ , ct′ = ct ch θ − x sh θ ,1(V /c)ch θ = p, sh θ = p21 − (V /c)1 − (V /c)2è ñîîòâåòñòâóåò ãèïåðáîëè÷åñêîìó ïîâîðîòó â ïëîñêîñòè x, ct,à ñîîòâåòñòâóþùåå ïðåîáðàçîâàíèå ñïèíîðà ìîæåò áûòü ïîëó÷åíî çàìåíîé θ → iθ â óðàâíåíèè (6), ÷òî äà¼ò¢¡ϕ′ = exp − 12 θσx ϕ ,ãäå áûñòðîòà θ îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì th θ = V /c.
 ñëó÷àåïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà, çàäàâàåìîãî ïðîèçâîëüíûì âåêòîðîì174ëàâà VIII.ÅËßÒÈÂÈÑÒÑÊÀß ÊÂÀÍÒÎÂÀß ÌÅÕÀÍÈÊÀñêîðîñòè V, èìååì:¡(43.7)VVn = , th θ = .c¡ 1¢ VÎïåðàòîð exp − 2 θσn íàðóøàåò P -èíâàðèàíòíîñòü, òàê êàêñêîðîñòü V = V n ïîëÿðíûé âåêòîð, è, ñëåäîâàòåëüíî, σn ïñåâäîñêàëÿð, èçìåíÿþùèé çíàê ïðè îòðàæåíèè êîîðäèíàò.Ïîýòîìó äëÿ ñîõðàíåíèÿ P -èíâàðèàíòíîñòè ïðèõîäèòñÿ ââîäèòü âòîðîé ñïèíîð χ ñ èíûì, ÷åì ó ϕ, ïîâåäåíèåì ïðè îòðàæåíèè êîîðäèíàò. ÅñëèP̂ ϕ(t, r) = ηP ϕ(t, −r) ,P̂ χ(t, r) = −ηP χ(t, −r) ,(43.8)ãäå ηP àçîâûé ìíîæèòåëü, òî ïðåîáðàçîâàíèå âèäàϕ′ = ϕ ch (θ/2) − σn χ sh (θ/2) ,χ′ = χ ch (θ/2) − σn ϕ sh (θ/2)Ψ(x) =µϕ(x)χ(x)¶,äëÿ êîòîðîãî ïðåîáðàçîâàíèå (6), ñîîòâåòñòâóþùåå ïîâîðîòó,èìååò âèä¡i¢Ψ = exp 2 θΣn Ψ = [ cos(θ/2) + i Σn sin(θ/2) ] Ψ ,Ψ′ = exp − 12 θαn Ψ = [ ch(θ/2) − αn sh(θ/2) ] Ψ ,ãäå ìàòðèöûΣ=µσ 00 σ¶, α=µ0 σσ 0¶ΨP (x) ≡ P̂ Ψ(t, r) = ηP UP Ψ(t, −r) ,µ¶I 0−1UP = UP =.(43.14)0 −IÍàéäåì 4 × 4 ìàòðèöû γµ , ðàññìàòðèâàÿ äëÿ ïðîñòîòû óðàâ-íåíèå Äèðàêà äëÿ ñâîáîäíîé ÷àñòèöû (3).
Ïðè îòðàæåíèè êîîðäèíàò îïåðàòîð p̂0 íå èçìåíÿåòñÿ, à îïåðàòîð p̂ èçìåíÿåò çíàê.Åñëè â óðàâíåíèè Äèðàêà (γ0 p̂0 − γ p̂ − mc) Ψ(t, r) = 0 ïðîâåñòè çàìåíû p̂ → −p̂, Ψ(t, r) → Ψ(t, −r) = ηP−1 UP ΨP (x), ñîîòâåòñòâóþùèå P -îòðàæåíèþ, òî ïîëó÷èì óðàâíåíèå(γ0p̂0 + γ p̂ − mc) UP ΨP (x) = 0 .Òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû óíêöèÿ ΨP (x) óäîâëåòâîðÿëà òîìó æåóðàâíåíèþ, ÷òî è óíêöèÿ Ψ(x), ìàòðèöû γµ äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèÿìUP γ0 = γ0UP ,UP γ = −γUP .ßñíî ïîýòîìó, ÷òî ìîæíî âûáðàòüγ0 = UP =µÈç UP γ + γUP = 0 ñëåäóåò, ÷òî(43.11)γ=à ñîîòíîøåíèå(43.12)(43.13)Ïðåîáðàçîâàíèå (8), ñîîòâåòñòâóþùåå îòðàæåíèþ ïðîñòðàíñòâåííûõ êîîðäèíàò, ìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäå(43.10)à îðìóëà (9), ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïðåîáðàçîâàíèþ Ëîðåíöà,èìååò âèä¢Σj Σk = I δjk + iεjkn Σn , αj αk + αk αj = 2I δjk .(43.9)ñîõðàíÿåò P -èíâàðèàíòíîñòü.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
