1612725072-3b5bf0dbc627b001fc8c0870972eb71d (828982), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Ñîñòîÿíèÿ ñ îäíèì è òåì æå j , íî ñðàçíûìè l = j ± 12 íå ñìåøèâàþòñÿ âîçìóùåíèåì V̂ , ïîñêîëüêóîíî ñîõðàíÿåò ÷¼òíîñòü, à ÷¼òíîñòü òàêèõ ñîñòîÿíèé ïðîòèâîïîëîæíà. Òàêèì îáðàçîì, ïðè âû÷èñëåíèè ðåëÿòèâèñòñêîé ïîïðàâêè ê ýíåðãèè ìîæíî ïîëüçîâàòüñÿ òåîðèåé âîçìóùåíèé áåçâûðîæäåíèÿ.Ñðåäíåå çíà÷åíèå ïåðâîãî ñëàãàåìîãî áûëî âû÷èñëåíî ïðèðàññìîòðåíèè àíàëîãè÷íîé çàäà÷è äëÿ óðàâíåíèÿ Êëåéíà Ôîêà îðäîíà (ñì. 42).Ñðåäíåå çíà÷åíèå âòîðîãî ñëàãàåìîãî îòëè÷íî îò íóëÿ ëèøüïðè l = 0:hnjl| δ(r) |njli = | ψ(0) |2 δl0 .Ñðåäíåå çíà÷åíèå ïîñëåäíåãî ñëàãàåìîãî îòëè÷íî îò íóëÿëèøü ïðè l 6= 0:¯¯+ ·¸¿ À¯ l̂σ ¯31¯¯njl ¯ 3 ¯ njl = j(j + 1) − l(l + 1) −· (1 − δl0) .¯r ¯4r3*3d5/23p3/2, 3d3/2 n = 33s1/2, 3p1/2¾2p3/2n=22s1/2, 2p1/22s1/2}n = 1Òîíêàÿ ñòðóêòóðà óðîâíåé àòîìà âîäîðîäà ñîãëàñíîóðàâíåíèþ Äèðàêà 51.
Òîíêàÿ ñòðóêòóðà óðîâíåé àòîìà âîäîðîäà195Âåëè÷èíû | ψ(0) |2 è h1/r3 i óäîáíî âû÷èñëèòü, âîñïîëüçîâàâøèñü òîæäåñòâîìãäå¸d, Ĥr ,hnjl| Ĉ |njli = 0 , Ĉ =dr¶µ 2~22de2l(l + 1)d+Ĥr = −−−2m dr2 r drr2r· ãàìèëüòîíèàí ðàäèàëüíîãî äâèæåíèÿ. ßâíîå âû÷èñëåíèåêîììóòàòîðà äà¼òĈ =~2 d~2l(l + 1) e2+ 2.−mr2 drmr3rÏåðâîå ñëàãàåìîå â ïðàâîé ÷àñòè ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü ê âèäó¿À ZZ ∞1 d∗ 1 dψ 2ψ=dΩr dr =r2 drr2 dr0ZZ ∞1d|ψ|2=dr = −2π|ψ(0)|2.dΩ2dr0Íàïîìíèì, ÷òî ψ(0) 6= 0 ëèøü äëÿ l = 0. Òàêèì îáðàçîì, èçòîæäåñòâà hnjl| Ĉ |njli = 0 íàõîäèì¿ 2¿ 2ÀÀ2π~2~ l(l + 1)e2|ψ(0)| δl0 +(1 − δl0) =3mmrr2èëè (ñ ó÷åòîì íàéäåííîãî ðàíåå (ñì.
(27.1)) çíà÷åíèÿ h1/r2 i)1hnjl| δ(r) |njli = | ψ(0) |2 = 3 3 δl0 ,πaBn¯ ¯¿À¯ 1 ¯1njl ¯¯ 3 ¯¯ njl = 3 3(1 − δl0).raBn l(l + 1)(l + 1/2) èòîãå ïîïðàâêà ê ýíåðãèè ðàâíà∆Enjme4 α2=− 2 32~ nµ13−j + 1/2 4n¶.(51.2)Âèäíî, ÷òî ñîõðàíÿåòñÿ âûðîæäåíèå óðîâíåé ñ îäèíàêîâûìèn è j , íî ðàçíûìè l.196ëàâà VIII.ÅËßÒÈÂÈÑÒÑÊÀß ÊÂÀÍÒÎÂÀß ÌÅÕÀÍÈÊÀÇàäà÷è51.1. Íàéòè ðàñùåïëåíèå α-ëèíèè ñåðèè Áàëüìåðà (ïåðåõîäñ óðîâíÿ n = 3 íà óðîâåíü n = 2) ñ ó÷åòîì òîíêîé ñòðóêòóðûäëÿ óðàâíåíèÿ Êëåéíà Ôîêà îðäîíà è óðàâíåíèÿ Äèðàêà.51.2. Îöåíèòü ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèÿ íåîïðåäåëåííîñòèêðèòè÷åñêîå çíà÷åíèå Zc çàðÿäà òî÷å÷íîãî ÿäðà, ïðè êîòîðîìâ ðåëÿòèâèñòñêîé êóëîíîâñêîé çàäà÷å âîçíèêàåò ïàäåíèå íàöåíòð.51.3.
Ïóñòü äâà òî÷å÷íûõ ÿäðà ñ çàðÿäàìè Z1 è Z2 íàõîäÿòñÿíà ðàññòîÿíèè R äðóã îò äðóãà. Ïðè ýòîì Z1 < Zc , Z2 < Zc ,Z1 +Z2 > Zc. Îöåíèòü, ïðè êàêîì R â çàäà÷å âîçíèêàåò ïàäåíèåíà öåíòð. 52. îæäåíèå ýëåêòðîí-ïîçèòðîííûõ ïàð ýëåêòðè÷åñêèì ïîëåì197pïîëíàÿ ýíåðãèÿ E = ± m2 c4 + p2 c2 − eEz è ïîïåðå÷íûé èìïóëüñ p⊥ = (px , py , 0).  ýòîì ïîëå îáû÷íàÿ äèðàêîâñêàÿ ùåëü(ðèñ. 12) ïåðåêàøèâàåòñÿ (ðèñ. 28).  ðåçóëüòàòå ýëåêòðîí, êîòîðûé èìåë îòðèöàòåëüíóþ ýíåðãèþ â îòñóòñòâèå ïîëÿ, ìîæåòE+mc2z1z2−mc2èñ. 28. Èçìåíåíèå äèðàêîâñêîé ùåëè ïðè íàëè÷èè ïîñòîÿííîãî ýëåêòðè- 52.îæäåíèå ýëåêòðîí-ïîçèòðîííûõ ïàðïîñòîÿííûì ýëåêòðè÷åñêèì ïîëåìîæäåíèå ýëåêòðîí-ïîçèòðîííûõ ïàð âíåøíèì ýëåêòðè÷åñêèì ïîëåì çàìå÷àòåëüíîå ïðåäñêàçàíèå ðåëÿòèâèñòñêîéêâàíòîâîé ìåõàíèêè (Çàóòåð, 1931; Øâèíãåð, 1951). Íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ, äîñòàòî÷íî áîëüøèå äëÿ ðåàëüíîãîíàáëþäåíèÿ ýåêòà, äîñòèãàþòñÿ â ñòîëêíîâåíèÿõ àòîìíûõÿäåð ñ áîëüøèìè çàðÿäàìè ïðè ñáëèæåíèè ÿäåð íà ìàëûå ðàññòîÿíèÿ.
Ìû ðàññìîòðèì ìîäåëü ÿâëåíèÿ, äîïóñêàþùóþ òî÷íîå ðåøåíèå, ñëó÷àé îäíîðîäíîãî ïîñòîÿííîãî âíåøíåãî ïîëÿ E . Áóäåò èñïîëüçîâàíî ïðåäñòàâëåíèå î äèðàêîâñêîì ìîðå,ýòî ðåçêî óïðîùàåò ðåøåíèå çàäà÷è.Íà÷íåì ñ ðàñ÷åòà îñíîâíîé, ýêñïîíåíöèàëüíîé çàâèñèìîñòèýåêòà. Íàïðàâèì îñü z âäîëü ïîñòîÿííîé ñèëû F = −eE =(0, 0, eE), òîãäà ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ U = −eEz (â ýòîì ïàðàãðàå e îáîçíà÷àåò ýëåìåíòàðíûé çàðÿä, òàê ÷òî çàðÿä ýëåêòðîíà ðàâåí (−e)). Ïðè äâèæåíèè â òàêîì ïîëå ñîõðàíÿåòñÿ÷åñêîãî ïîëÿòåïåðü ïðîòóííåëèðîâàòü ñêâîçü ùåëü (ñì. ïóíêòèðíóþ ëèíèþíà ðèñ. 28) è óéòè íà áåñêîíå÷íîñòü êàê îáû÷íàÿ ÷àñòèöà. Êîíå÷íî, äûðêà, âîçíèêøàÿ òàêèì îáðàçîì, ýòî íå ÷òî èíîå,êàê ïîçèòðîí.
pÏóñòü E = − m2 c4 + p2 c2 − eEz ýíåðãèÿ ÷àñòèöû äèðàêîâñêîãî ìîðÿ. Ïðîäîëüíûé èìïóëüñ ÷àñòèöû1pz (z) =cq(eEz + E)2 − m2c4 − p2⊥c2îáðàùàåòñÿ â íóëü ïðèz1,2−E=∓eEpm2c4 + p2⊥c2.eEÈñõîäíàÿ ÷àñòèöà èç äèðàêîâñêîãî ìîðÿ âõîäèò â áàðüåð â òî÷êå z = z1 è âûõîäèò èç íåãî ïðè z = z2 . Ïîäáàðüåðíîå äåéñòâèåëåãêî íàõîäèòñÿ:S=Zz2z1| p(z) | dz =π (m2c2 + p2⊥)c.2eE198ëàâà VIII.ÅËßÒÈÂÈÑÒÑÊÀß ÊÂÀÍÒÎÂÀß ÌÅÕÀÍÈÊÀ èòîãå ýêñïîíåíöèàëüíûé àêòîð â âåðîÿòíîñòè W ïîäáàðüåðíîãî ïåðåõîäà òàêîâ:W ∼e−2S/~¸·π (m2c2 + p2⊥)c.= exp −eE~(52.1)Çàìåòèì, ÷òî âíåøíåå ïîëå ìîæíî ñ÷èòàòü ïîñòîÿííûì, åñ−ëè îíî ñëàáî ìåíÿåòñÿ íà ïîäáàðüåðíîì ïóòè. Îòíîøåíèå l/λeäëèíû ýòîãî ïóòè l = z2 − z1 ∼ mc2 /(eE) ê êîìïòîíîâñêîé−äëèíå âîëíû ýëåêòðîíà λe = ~/(mc) ðàâíî ïî ïîðÿäêó âåëè÷èíû ïîäáàðüåðíîìó äåéñòâèþ S â åäèíèöàõ ~, òàê ÷òî â êâàçè−êëàññè÷åñêîé ñèòóàöèè l ≫ λe.Âû÷èñëèì òåïåðü ïðåäýêñïîíåíöèàëüíûé àêòîð â âåðîÿòíîñòè ðîæäåíèÿ ïàð.
Ýêñïîíåíòà (1) ýòî âåðîÿòíîñòü òîãî,÷òî îäíà ÷àñòèöà èç äèðàêîâñêîãî ìîðÿ, êîòîðàÿ ïîäõîäèò ñëåâà ê áàðüåðó (ñì. ðèñ. 28), ïðîòóííåëèðóåò ñêâîçü íåãî, ñòàâ,òàêèì îáðàçîì, ðåàëüíûì ýëåêòðîíîì. àññìîòðèì èñõîäíûå÷àñòèöû â ýëåìåíòå èìïóëüñíîãî ïðîñòðàíñòâà d3 p = d2 p⊥ dpz ,ïëîòíîñòü êîòîðûõ ðàâíà3dn = 2dp,(2π~)3ãäå ìíîæèòåëü 2 ñîîòâåòñòâóåò äâóì âîçìîæíûì ïðîåêöèÿìñïèíà ýëåêòðîíà.  åäèíèöó âðåìåíè ÷åðåç ïëîùàäêó dx dy ñëåâà îò áàðüåðà ïðîéäåòdṄ = djz (z) dx dy÷àñòèö, ãäå òîêdjz (z) = vz (z) dn . ýòî âûðàæåíèå âõîäèò âåëè÷èíàvz (z)dpz =∂Edpz = dE ,∂pz 52. îæäåíèå ýëåêòðîí-ïîçèòðîííûõ ïàð ýëåêòðè÷åñêèì ïîëåì199ãäå ÷àñòíàÿ ïðèçâîäíàÿ áåðåòñÿ ïðè èêñèðîâàííûõ çíà÷åíèÿõz è p⊥.
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, êàê íåòðóäíî ñîîáðàçèòü, èíòåðâàëýíåðãèé òóííåëèðóþùèõ ÷àñòèö dE ïðÿìî ñâÿçàí ñ èíòåðâàëîìdz ïðîäîëüíûõ êîîðäèíàò òî÷åê, â êîòîðûõ ÷àñòèöû âõîäÿò âáàðüåð: dE = eE dz (ñ òî÷íîñòüþ äî íåñóùåñòâåííîãî çäåñü çíàêà). ×òîáû ïîëó÷èòü ïîëíîå ÷èñëî ïàð, ðîæäåííûõ â åäèíèöóâðåìåíè â îáúåìå dV = dx dy dz , ýêñïîíåíòó (1) ñëåäóåò äîìíîæèòü íà dṄ .  èòîãå ïîëíîå ÷èñëî ïàð, ðîæäåííûõ â åäèíèöóâðåìåíè â åäèíèöå îáúåìà, ðàâíîP1/2dW≡= 2 eEdt dVZ·¸π(m2c2 + p2⊥) cd2p⊥exp −.(2π~)3eE~Èíòåãðèðóÿ ýòî âûðàæåíèå ïî ïîïåðå÷íûì èìïóëüñàì, íàõîäèìîêîí÷àòåëüíûé îòâåò:P1/2µ¶e2E 2m2 c3πE0==exp−.,E04π 3~2cEe~(52.2)Ìû ñíàáäèëè âåðîÿòíîñòè P â îðìóëàõ, ïîëó÷åííûõ âûøå, èíäåêñîì 1/2, ÷òîáû ïîä÷åðêíóòü, ÷òî ðåçóëüòàò îòíîñèòñÿ ê ÷àñòèöàì ñî ñïèíîì ïîëîâèíà. àçóìååòñÿ, ïîíÿòèå ìîðÿÄèðàêà, à ñ íèì è íàø ïîäõîä, íåïðèìåíèìû ñàìè ïî ñåáå êðîæäåíèþ ïàð çàðÿæåííûõ áåññïèíîâûõ ÷àñòèö, êîòîðûå îïèñûâàþòñÿ óðàâíåíèåì Êëåéíà Ôîêà îðäîíà.
Íî â èñïîëüçóåìîì êâàçèêëàññè÷åñêîì ïðèáëèæåíèè âåðîÿòíîñòè ðîæäåíèÿ÷àñòèö ðàçíîãî ñïèíà îòëè÷àþòñÿ ëèøü ÷èñëîì ñïèíîâûõ ñîñòîÿíèé. Òàêèì îáðàçîì, âåðîÿòíîñòü ðîæäåíèÿ ñêàëÿðíûõ ÷àñòèö, âû÷èñëåííàÿ â ýòîì ïðèáëèæåíèè, âäâîå ìåíüøå:µ¶πE0e2E 2exp −.P0 =8π 3~2cE(52.3)Ñîîòâåòñòâóþùèå òî÷íûå ðåçóëüòàòû äëÿ ïîñòîÿííîãî ýëåê-200ëàâà VIII.ÅËßÒÈÂÈÑÒÑÊÀß ÊÂÀÍÒÎÂÀß ÌÅÕÀÍÈÊÀòðè÷åñêîãî ïîëÿ òàêîâû:P1/2P0¶µ∞e2E 2 X 1πE0,=exp −n4π 3~2c n=1 n2E¶µ∞e2E 2 X (−1)n−1πE0.=exp −n8π 3~2c n=1n2Eàçóìååòñÿ, ó÷åò âûñøèõ ÷ëåíîâ, ñ n ≥ 2, â ýòèõ ñóììàõ îñìûñëåí ëèøü äëÿ î÷åíü ñèëüíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ ïîëåé, ïðè E&E0 .Äëÿ ìåíüøèõ ïîëåé îðìóëû (2) è (3) âåðíû êîëè÷åñòâåííî.Çàäà÷à52.1. ×åìó ðàâíî (â ýÂ/ñì) êðèòè÷åñêîå ïîëå E0 = m2c3/(e~),ïðè êîòîðîì èñ÷åçàåò ýêñïîíåíöèàëüíîå ïîäàâëåíèå ðîæäåíèÿïàð âíåøíèì ïîëåì?ëàâà IXÀÒÎÌ 53.Îöåíêà äëÿ àòîìà ãåëèÿÏðè îïèñàíèè ñîñòîÿíèÿ ñëîæíîãî àòîìà èñïîëüçóþòñÿ ðàçëè÷íûå ïðèáëèæåííûå ìåòîäû.
Ìû íà÷íåì ñ ïðîñòûõ îöåíîêäëÿ àòîìà ãåëèÿ, ãàìèëüòîíèàí êîòîðîãî áåç ó÷åòà ðåëÿòèâèñòñêèõ ïîïðàâîê èìååò âèäH=p22e2 2e2p21e2+ 2 −.−+2m 2mr1r2|r1 − r2|Îöåíèì ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèÿ íåîïðåäåëåííîñòåé ýíåðãèþîñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ àòîìà ãåëèÿ. Åñòåñòâåííî ïðèíÿòü èìïóëüñû îáîèõ ýëåêòðîíîâ ðàâíûìè p1 = p2 , à ðàäèóñ-âåêòîðû ðàâíûìè è ïðîòèâîïîëîæíûìè ïî íàïðàâëåíèþ, r1 = −r2 .Òîãäà äëÿ ýíåðãèè ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ îöåíêó:E ∼p27 e2−.m2rÌèíèìèçèðóÿ ýòî âûðàæåíèå ñ ó÷åòîì ñîîòíîøåíèÿ íåîïðåäåëåííîñòåé, íàõîäèì:Emin ∼ −49Ry = −6, 1 Ry.8Ýòî íå òàê äàëåêî îò ýêñïåðèìåíòàëüíîãî çíà÷åíèÿEexp = −5, 808 Ry .202ëàâà IX. 54.ÀÒÎÌÂàðèàöèîííûé ïðèíöèï54.1. Èäåÿ ìåòîäàÓðàâíåíèå Øðåäèíãåðà Ĥ ψ = E ψ ìîæåò áûòü ïîëó÷åíî èçóñëîâèÿ ìèíèìóìà óíêöèîíàëàZψ ∗(Ĥ − E)ψ dx.Èíà÷å ýòî ìîæíî ñîðìóëèðîâàòü êàê óñëîâèå ìèíèìóìàóíêöèîíàëàZ 54.
Âàðèàöèîííûé ïðèíöèïÏîÿñíèì ñêàçàííîå ñëåäóþùèì. Ïóñòü ψn (x) è En òî÷íûåñîáñòâåííûå óíêöèè è ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ãàìèëüòîíèàíàĤ , ò. å.Ĥ ψn(x) = En ψn(x) .àçëîæèì ïðîáíóþ óíêöèþ ψ(x, β) ïî ýòèì ñîáñòâåííûìóíêöèÿìXψ(x, β) =Èñïîëüçóÿ ýòî ðàçëîæåíèÿ, ìû ïîëó÷èìE(β) =ïðè äîïîëíèòåëüíîì óñëîâèèψ ∗ψ dx = 1,êîòîðîå ó÷èòûâàåòñÿ ñ ïîìîùüþ ëàãðàíæåâà ìíîæèòåëÿ E .Âîëíîâàÿ óíêöèÿ îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ ψ0 ñîîòâåòñòâóåò àáñîëþòíîìó ìèíèìóìó óíêöèîíàëà. Âîëíîâóþ óíêöèþ ïåðâîãî âîçáóæäåííîãî ñîñòîÿíèÿ ψ1 ñëåäóåò èñêàòü íà êëàññåóíêöèé, îðòîãîíàëüíûõ ψ0 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
