1612725072-3b5bf0dbc627b001fc8c0870972eb71d (828982), страница 19

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 19)

Íåðåëÿòèâèñòñêèé ïðåäåë óðàâíåíèÿ ÄèðàêàÏðîâåäåì ðàçëîæåíèå óðàâíåíèÿ Äèðàêà (2) ïî ñòåïåíÿì v/cäî ïåðâîãî ïîðÿäêà âêëþ÷èòåëüíî (ðàçëîæåíèå äî âòîðîãî ïîðÿäêà ñì. ⠟ 51). Äëÿ ýòîãî ââåä¼ì íåðåëÿòèâèñòñêóþ ýíåðãèþEíåð= ε − mc2è áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî |Eíåð | ≪ mc2 è |eA0 | ≪ mc2 . Òîãäàèç óðàâíåíèÿ (2b) â ïåðâîì ïîðÿäêå ïî v/c íàõîäèì³1e ´χ(r) =σ p̂ − A ϕ(r) .2mccÏîäñòàâëÿÿ ýòî âûðàæåíèå â (2a), ïîëó÷àåìe ´i21 h ³σ p̂ − A(E − eA0) ϕ(r) =ϕ(r) .2mcíåðÑ ó÷åòîì (37.2) ýòî óðàâíåíèå ïðèíèìàåò âèä óðàâíåíèÿ Ïàóëè:Ĥíåðϕ(r) = Eíåðϕ(r) , Ĥíåð1 ³e ´2=p̂ − A + eA0 − µ̂e B ,2mcâ êîòîðîì çíà÷åíèå ìàãíèòíîãî ìîìåíòà ýëåêòðîíàµ̂e =e~σ2mcïîëó÷åíî êàê ïðîñòîå ñëåäñòâèå óðàâíåíèÿ Äèðàêà.Ÿ 48.Íåðåëÿòèâèñòñêèé è óëüòðàðåëÿòèâèñòñêèé ïðåäåëû óðàâíåíèÿ Äèðàêà 18748.2.

Óëüòðàðåëÿòèâèñòñêèé ïðåäåë óðàâíåíèÿ Äèðàêààññìîòðèì óëüòðàðåëÿòèâèñòñêèé ïðåäåë óðàâíåíèÿ Äèðàêà (1), (2), êîãäà ïðè ε ≫ m â ãàìèëüòîíèàíå ìîæíî ïðåíåáðå÷üñëàãàåìûì, ïðîïîðöèîíàëüíûì ìàññå ýëåêòðîíà, ò. å. êîãäàĤ = α(p̂ − eA) + eA0 .(48.3) ýòîì ñëó÷àå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Äèðàêà îáëàäàþò äîïîëíèòåëüíîé ñèììåòðèåé. ×òîáû óâèäåòü ýòî, ïåðåïèøåì (2), ïðåíåáðåãàÿ ìàññîé ýëåêòðîíà,(ε − eA0) ϕ(r) = σ (p̂ − eA) χ(r) ,(ε − eA0) χ(r) = σ (p̂ − eA) ϕ(r) .Ñêëàäûâàÿ è âû÷èòàÿ ýòè äâà óðàâíåíèÿ, ïîëó÷èì ñèñòåìóíåñâÿçàííûõ óðàâíåíèé:σ(p̂ − eA) ξ(x) = +(ε − eA0) ξ(x) ,σ(p̂ − eA) η(x) = −(ε − eA0) η(x) ,ãäå íîâûå äâóõêîìïîíåíòíûå ñïèíîðû ξ è η âûðàæàþòñÿ ëèíåéíî ÷åðåç ñòàðûå:ξ = 12 (ϕ + χ) , η = 12 (ϕ − χ) .Âèäíî, ÷òî íîâûå ñïèíîðû ξ è η ÿâëÿþòñÿ ñîáñòâåííûìè óíêöèÿìè îïåðàòîðàK̂ = (ε − eA0)−1 σ(p̂ − eA)ñ ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè +1 è −1 ñîîòâåòñòâåííî.

Òàêèì îáðàçîì, ñïèíîðû ξ è η îïèñûâàþò äâà ðàçíûõ êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèÿ, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè óðàâíåíèÿ Äèðàêà ñ îäíîé èòîé æå ýíåðãèé ε. Ñîñòîÿíèå, îïèñûâàåìîå ñïèíîðîì ξ(x), íàçûâàåòñÿ êèðàëüíûì ñîñòîÿíèåì ñ ïîëîæèòåëüíîé (èëè ïðàâîé,188ëàâà VIII.ÅËßÒÈÂÈÑÒÑÊÀß ÊÂÀÍÒÎÂÀß ÌÅÕÀÍÈÊÀR) êèðàëüíîñòüþ, à ñîñòîÿíèå, îïèñûâàåìîå ñïèíîðîì η(x), íàçûâàåòñÿ êèðàëüíûì ñîñòîÿíèåì ñ îòðèöàòåëüíîé (èëè ëåâîé,L) êèðàëüíîñòüþ.Ïðè ñâîáîäíîì äâèæåíèè äèðàêîâñêîé ÷àñòèöû, êîãäà 4-ïîòåíöèàë Aµ = 0, îïåðàòîð K̂ = σ p̂/ε ëèøü ìíîæèòåëåì 2 îòëè÷àåòñÿ îò îïåðàòîðà ñïèðàëüíîñòè Λ̂ = 12 σ p̂/|p|, òàê êàê â óëüòðàðåëÿòèâèñòñêîì ïðåäåëå |p| = ε.

Ïîýòîìó ïðàâûì èëè ëåâûì êèðàëüíûì ñîñòîÿíèÿì ñîîòâåòñòâóþò îïðåäåëåííûå çíà÷åíèÿ ñïèðàëüíîñòè λ = +1/2 èëè λ = −1/2.  êâàçèêëàññè÷åñêîìâåêòîð√ ïðèáëèæåíèè îïåðàòîðó p̂ − eA ñîîòâåòñòâóåò√mv/ 1 − v 2, à îïåðàòîðó ε − eA0 âåëè÷èíà m/ 1 − v 2, òàê÷òî îïåðàòîðó K̂ è â ýòîì ñëó÷àå ñîîòâåòñòâóåò îïðåäåëåííàÿïðîåêöèÿ ñïèíà íà íàïðàâëåíèå äâèæåíèÿ ÷àñòèöû. îáû÷íîì îðìàëèçìå ÷åòûðåõêîìïîíåíòíûõ ñïèíîðîâψ(r) äîïîëíèòåëüíàÿ ñèììåòðèÿ óðàâíåíèÿ Äèðàêà ïðè m = 0ñâÿçàíà ñ íàëè÷èåì äîïîëíèòåëüíîãî èíòåãðàëà äâèæåíèÿ. Ñîîòâåòñòâóþùèì åìó îïåðàòîðîì ÿâëÿåòñÿ âåëè÷èíà (ñì. (44.7))γ5 = −iγ0γxγy γz =ñî ñâîéñòâàìèµ0−I−I0¶(γ5)2 = 1 , γ5γµ + γµγ5 = 0 , γ5α − αγ5 = 0 .Èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ γ5ðàâíû ±1, à èç âòîðîãî è òðåòüåãî óðàâíåíèé ñëåäóåò, ÷òî γ5 íåêîììóòèðóåò ñ ïîëíûì ãàìèëüòîíèàíîìĤ = α(p̂ − eA) + eA0 + mγ0 ,ñîäåðæàùèì ñëàãàåìîå mγ0 , íî êîììóòèðóåò ñ ãàìèëüòîíèàíîì(3), â êîòîðîì ýòî ñëàãàåìîå îòñóòñòâóåò.

Ïîýòîìó ìû ìîæåìñòàâèòü çàäà÷ó íà ïîèñê ñîâìåñòíûõ ñîáñòâåííûõ óíêöèé îïå-Ÿ 49. Ñõîäñòâî è ðàçëè÷èå óðàâíåíèé Äèðàêà è Êëåéíà Ôîêà îðäîíà189ðàòîðîâ Ĥ (3) è γ5 . Ïóñòü ψ(r) åñòü íåêîòîðîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ĥ ψ(r) = ε ψ(r). Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî óíêöèè1 − γ5ψ(r) =ψR (r) =21 + γ5ψL(r) =ψ(r) =2µµξ(r)ξ(r)¶η(r)−η(r)ÿâëÿþòñÿ ñîáñòâåííûìè óíêöèÿìè γ5 :,¶γ5 ψR,L(r) = ∓ ψR,L(r) .Èç ýêñïåðèìåíòà ñëåäóåò, ÷òî ìàññà íåéòðèíî î÷åíü ìàëà, è÷òî îáû÷íî íåéòðèíî ìîæíî ñ÷èòàòü ñ õîðîøåé òî÷íîñòüþ ëåâûì, à àíòèíåéòðèíî ïðàâûì.

Âî âçàèìîäåéñòâèÿõ íåéòðèíî÷¼òíîñòü íå ñîõðàíÿåòñÿ.Ÿ 49.Ñõîäñòâî è ðàçëè÷èå óðàâíåíèé Äèðàêàè Êëåéíà Ôîêà îðäîíàÏðèìåíèâ îïåðàòîð γ µ (i∂µ − eAµ ) + m ê óðàâíåíèþ Äèðàêà,êâàäðèðóåì ýòî óðàâíåíèå:ie µ νγ γ Fµν − m2}Ψ(x) = 0 ,2= ∂µ Aν − ∂ν Aµ .{(i∂µ − eAµ)(i∂ µ − eAµ) −Fµν(49.1)Îòëè÷èå ýòîãî óðàâíåíèÿ îò óðàâíåíèÿ Êëåéíà Ôîêà îðäîíà âî âòîðîì ñïèíîâîì ñëàãàåìîì.àññìîòðèì äâèæåíèå çàðÿæåííîé ÷àñòèöû â ïîñòîÿííîì (íîíå îáÿçàòåëüíî îäíîðîäíîì) ìàãíèòíîì ïîëå B(r) â îòñóòñòâèåýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ.  ýòîì ñëó÷àå ñïèíîâîå ñëàãàåìîå ïðèíèìàåò îðìóie− γ µγ ν Fµν = eΣB .2190ëàâà VIII.ÅËßÒÈÂÈÑÒÑÊÀß ÊÂÀÍÒÎÂÀß ÌÅÕÀÍÈÊÀÄëÿ ñòàöèîíàðíîãî ðåøåíèÿ Ψ(r, t) = ψE (r) e−iEt â ñèëó óðàâíåíèÿ (1) ïîëó÷àåì:Òàê êàꩪ(E 2 − (p̂ − eA)2 + eΣB − m2 ψE (r) = 0 .(p̂ − eA)2 − eΣB = (2ŝ(p̂ − eA))2 ,ãäå ŝ = 12 Σ îïåðàòîð ñïèíà ýëåêòðîíà, òî ìû ïðèõîäèì êâûâîäó, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå ñîñòîÿíèå ñ îïðåäåë¼ííîé ýíåðãèåé ψE (r) îäíîâðåìåííî ÿâëÿåòñÿ ñîñòîÿíèåì ñ îïðåäåë¼ííûì2çíà÷åíèåì îïåðàòîðà (2ŝ(p̂ − eA)) ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåìE 2 − m2.

Ïîýòîìó ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèåŝ (p̂ − eA)òàêæå√ èìååò â äàííîì ñîñòîÿíèè îïðåäåë¼ííîå çíà÷åíèå1± 2 E 2 − m2 . êâàçèêëàññè÷åñêîìïðèáëèæåíèè âåëè÷èíà p − eA ñîâïà√2äàåò ñ mv/ 1 − v , à ìîäóëü ýòîé âåëè÷èíû ñîõðàíÿåòñÿ â ìàãíèòíîì ïîëå, íå çàâèñÿùåì îò âðåìåíè. Òàêèì îáðàçîì, èç ñîõðàíåíèÿ âåëè÷èí sv è |v| ñëåäóåò, ÷òî â ïîñòîÿííîì ìàãíèòíîì ïîëå ñîõðàíÿåòñÿ âåëè÷èíà λ = s v/|v|, ò. å. ñïèðàëüíîñòüýëåêòðîíà (ïðîåêöèÿ ñïèíà ýëåêòðîíà íà íàïðàâëåíèå åãî äâèæåíèÿ). äåéñòâèòåëüíîñòè ýòî óòâåðæäåíèå íàðóøàåòñÿ çà ñ÷åò ìàëîãî àíîìàëüíîãî ìàãíèòíîãî ìîìåíòà ýëåêòðîíà. Ìàãíèòíûéìîìåíò ýëåêòðîíà ðàâåí (â îáû÷íûõ åäèíèöàõ)µ=e~(1 + κ),2mcκ≈α≪ 1.2πÝòó ïîïðàâêó ìîæíî ó÷åñòü, ìîäèèöèðîâàâ óðàâíåíèå Äèðàêàñëåäóþùèì îáðàçîì:·¸ieκ µ νµγ γ Fµν Ψ(x) = 0.γ (i∂µ − eAµ) − m −4mŸ 50.

àññåÿíèå ðåëÿòèâèñòñêîãî ýëåêòðîíà â êóëîíîâñêîì ïîëåŸ 50.191àññåÿíèå ðåëÿòèâèñòñêîãî ýëåêòðîíàâ êóëîíîâñêîì ïîëåÏóñòü ðåëÿòèâèñòñêèé ýëåêòðîí ðàññåèâàåòñÿ â êóëîíîâñêîìïîëå ïðîòîíà (−e2 /r), ïåðåõîäÿ èç íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿψi(r) = up eiprpñ èìïóëüñîì p è ýíåðãèåé ε = m2 + p2 â êîíå÷íîå ñîñòîÿíèå′ψf (r) = up′ eip r èìïóëüñîì p′ è òîé æå ýíåðãèåé ε.

Çäåñü ÷åòûðåõêîìïîíåíòíûå ñïèíîðû up è up′ îïðåäåëåíû ÷åðåç îáû÷íûå äâóõêîìïîíåíòíûå ñïèíîðû ϕi è ϕf ñîîòâåòñòâåííî (ñì. Ÿ 47):up =rε+m2εµϕi ϕi =¶, up′ =rε+m2εσp′σp, Â′ =.ε+mε+mµϕfÂ′ ϕf¶,Áîðíîâñêàÿ àìïëèòóäà ðàññåÿíèÿ8f =−εUf i2πñ òî÷íîñòüþ äî ìíîæèòåëÿ ðàâíà óðüå-îáðàçó ïîòåíöèàëà âçàèìîäåéñòâèÿ, èëè ìàòðè÷íîìó ýëåìåíòóUf i = U (q) =4πe2= − 2 ϕ+fq½Zψf+(r)µe2−r¶ψi(r) d3r = −q2i[p′ × p]σ1−+4ε(ε + m) 2ε(ε + m)¾4πe2 +u ′ up =q2 pϕi ,q = p′ − p .Âûðàæåíèå â èãóðíûõ ñêîáêàõ ïåðåïèøåì â âèäå½q2i[p′ × p]σ1−+4ε(ε + m) 2ε(ε + m)¾= A + i nσ B , n =p′ × p,|p′ × p|8 Òàêîå ðåëÿòèâèñòñêîå îáîáùåíèå îðìóë Ÿ 33 ìîæåò áûòü ïîëó÷åíî ñïîìîùüþ íåñòàöèîíàðíîé òåîðèè âîçìóùåíèé (ñì. íèæå Ÿ 63).192ëàâà VIII.ÅËßÒÈÂÈÑÒÑÊÀß ÊÂÀÍÒÎÂÀß ÌÅÕÀÍÈÊÀãäå n íîðìàëü ê ïëîñêîñòè ðàññåÿíèÿ. Åñëè âûáðàòü n â êà÷åñòâå îñè êâàíòîâàíèÿ ñïèíà (îñè z ), òîòîëüêî åñëè íà÷àëüíûå è êîíå÷íûå ïðîåêöèè ñïèíîâ íà ýòó îñüñîâïàäàþò, mi = mf . Ýòî äåëàåò òðèâèàëüíûì óñðåäíåíèå ñå÷åíèÿ ïî ïîëÿðèçàöèÿì íà÷àëüíîãî ýëåêòðîíà è ñóììèðîâàíèåïî ïîëÿðèçàöèÿì êîíå÷íîãî ýëåêòðîíà, òàê ÷òîΣmi,mf¯¯2v2 2¯ +¯22¯ϕf (A + i nσ B) ϕi¯ = A + B = 1 − 2 sin (θ/2) ,cãäå θ óãîë ðàññåÿíèÿ.

 èòîãå ñå÷åíèå ðàññåÿíèÿ ðàâíî (âîáû÷íûõ åäèíèöàõ)dσe4c4= 2 4 4dΩ 4ε v sin (θ/2)Ÿ 51.µ¶v2 21 − 2 sin (θ/2) .cÒîíêàÿ ñòðóêòóðà óðîâíåé àòîìà âîäîðîäàÅñëè îãðàíè÷èòüñÿ â âûðàæåíèè äëÿ ìàòðè÷íîãî ýëåìåíòàïåðâîé ðåëÿòèâèñòñêîé ïîïðàâêîé, ïîëîæèâ â íåé ε = mc2 , òîïîëó÷èì22 24πee~U (q) ≈ − 2 + π 2qc½i[q × p]σ1−22m~m2q2¾193(îïóñêàåì äëÿ êðàòíîñòè ϕ+f è ϕi ). Îòëè÷èÿ óðüå-îáðàçà ýòîé9âåëè÷èíû , ðàâíîãîe2 e2~2U (r) = − + 2 2rmcϕ+f (A + i nσ B) ϕi 6= 0,12Ÿ 51. Òîíêàÿ ñòðóêòóðà óðîâíåé àòîìà âîäîðîäà½πlσδ(r) + 324r¾,îò êóëîíîâñêîé ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè (−e2 /r) ñîñòàâëÿþò ðåëÿòèâèñòñêóþ ïîïðàâêó ê âçàèìîäåéñòâèþ ýëåêòðîíà ñ ÿäðîì:V̂1 =e2~2πe2~2lσ+δ(r) .4m2c2r32m2c2Ïåðâîå ñïèí-îðáèòàëüíîå ñëàãàåìîå â ýòîé ïîïðàâêå ìîæíî êà÷åñòâåííî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê âçàèìîäåéñòâèå ìàãíèòíîãîìîìåíòà ýëåêòðîíà µ = ee ~σ/(2mc) â åãî ñîáñòâåííîé ñèñòåìå ñ ìàãíèòíûì ïîëåì B = −(v/c) × E , âîçíèêàþùèì â ýòîéñèñòåìå èç-çà äâèæåíèÿ ýëåêòðîíà â ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå ÿäðàE = epr/r3 (çäåñü ep è ee = −ep çàðÿä ïðîòîíà è ýëåêòðîíà).

Âòîðîå δ -óíêöèîííîå ñëàãàåìîå â ïîïðàâêå òàêæå èìååòñïèíîâîå ïðîèñõîæäåíèå è ÿâëÿåòñÿ ÷èñòî êâàíòîâûì.Ó÷èòûâàÿ íàéäåííóþ ðàíåå ïîïðàâêó¡ 2 ¢2p̂V̂2 = − 3 28m cê çàâèñèìîñòè ýíåðãèè îò èìïóëüñà (ñì. Ÿ 42), ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå âûðàæåíèå äëÿ ðåëÿòèâèñòñêîãî âîçìóùåíèÿ â êóëîíîâñêîé çàäà÷å:¡ 2¢2p̂πe2~2e2~2l̂σ +δ(r) .V̂ = V̂1 + V̂2 = − 3 2 +8m c4m2c2r32m2c29 Ïðè âû÷èñëåíèè óðüå-îáðàçà èñïîëüçóåì èíòåãðàëû:Z4π iqr d3 q1r1e=,= −∇ = −q2(2π)3r r3rZeiqrd3 q= δ(r) .(2π)3Z4πiq iqr d3 qe,q2(2π)3(51.1)194ëàâà VIII.ÅËßÒÈÂÈÑÒÑÊÀß ÊÂÀÍÒÎÂÀß ÌÅÕÀÍÈÊÀÑîñòîÿíèÿ ñ îäíèì è òåì æå l, íî ñ ðàçíûìè ïîëíûìè ìîìåíòàìè j íå ñìåøèâàþòñÿ ýòèì âîçìóùåíèåì, ïîñêîëüêó îíî ñîõðàíÿåò ïîëíûé ìîìåíò.

Характеристики

Список файлов книги