1612725072-3b5bf0dbc627b001fc8c0870972eb71d (828982), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Âîçìóùåíèå δU (r)ïðèâîäèò ê çàìåòíîìó ñäâèãó óðîâíåé òîëüêî äëÿ s-ýëåêòðîíîâ,äëÿ êîòîðûõ∆Ens =ZδU (r)|ψns(r)|2 d3r ∼Ze2|ψns(0)|2 R3 .Ràñ÷åò (ñì.: [1℄, 120) äàåò ñëåäóþùóþ çàâèñèìîñòü ñîîòâåòñòâóþùåé ïîïðàâêè ê ýíåðãèè s-ýëåêòðîíà îò ðàäèóñà ÿäðà Rïðè îäíîðîäíîé ïëîòíîñòè çàðÿäà âíóòðè ÿäðà:2π 2 2Ze R |ψns(0)|2 .5Ñ ó÷åòîì îöåíêè äëÿ âîëíîâîé óíêöèè |ψns (0)|2 ∼ Z/a3B (ñì.:[1℄, 71) ïîëó÷àåì îöåíêó äëÿ ðàçíîñòè óðîâíåé:−1/3∆EV ∼ ∆A · AZ2µr0aB¶2Ry . 62. Èçîòîïè÷åñêèé ñäâèã229Îòíîøåíèå ýåêòà îáú¼ìà ê ýåêòó ìàññû òàêîâî:∆ωVmp∼ Z 2A5/3∆ωMmµr0aB¶2∼ 10−6Z 11/3 ,íàïîìíèì, ÷òî A ≈ 2Z .
Íà÷èíàÿ ñ Z ∼ 40 ýåêò îáú¼ìàîáû÷íî äîìèíèðóåò.Èññëåäîâàíèå èçîòîïè÷åñêîãî ñìåùåíèÿ óðîâíåé â òÿæ¼ëûõàòîìàõ è ñâåðõòîíêîé ñòðóêòóðû èñòî÷íèê öåííîé èíîðìàöèè î ñâîéñòâàõ àòîìíûõ ÿäåð. 63. Íåñòàöèîíàðíàÿ òåîðèÿ âîçìóùåíèé231Ψ0i (x, t) ïðè t → −∞ â ñîñòîÿíèå Ψ0f (x, t) ïðè t → +∞, ïðåäïîëàãàÿ âíà÷àëå, ÷òî ýòè ñîñòîÿíèÿ ïðèíàäëåæàò äèñêðåòíîìóñïåêòðó è íå ÿâëÿþòñÿ âûðîæäåííûìè.Ïóñòü Ψ(x, t) åñòü ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Øð¼äèíãåðàëàâà Xi~ÈÇËÓ×ÅÍÈÅ 63.Íåñòàöèîíàðíàÿ òåîðèÿ âîçìóùåíèéÏóñòü ãàìèëüòîíèàí ñèñòåìû èìååò âèäñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì Ψ(x, t) → Ψ0i (x, t) ïðè t → −∞, òîãäàèñêîìàÿ âåðîÿòíîñòü ïåðåõîäà åñòü®Wi→f = |af i(+∞)|2 , af i(t) = Ψ0f (x, t)|Ψ(x, t) .×òîáû íàéòè óíêöèþ Ψ(x, t), ñäåëàåì ïîäñòàíîâêó13Ĥ = Ĥ0 + V̂ (t),ãäå äëÿ íåâîçìóùåííîãî ãàìèëüòîíèàíà Ĥ0 èçâåñòíû åãî ñîáñòâåííûå óíêöèè ñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèéΨ(x, t) = e−iĤ0t/~ Φ(x, t) ,òîãäà äëÿ óíêöèè Φ(x, t) ïîëó÷èì óðàâíåíèå0Ψ0n(x, t) = ψn0 (x) e−iEnt/~è ñîîòâåòñòâóþùèå ýíåðãèè En0 :Ĥ0ψn0 (x)=En0 ψn0 (x) ,à V̂ (t) ìàëîå âîçìóùåíèå, çàâèñÿùåå îò âðåìåíè.
Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ýòî âîçìóùåíèå âêëþ÷àåòñÿ â íà÷àëå ïðîöåññà(V̂ (t) → 0 ïðè t → −∞). Ìû ðàññìîòðèì ïåðåõîäû ïîä äåéñòâèåì ýòîãî âîçìóùåíèÿ äëÿ äâóõ âàðèàòíîâ ïîâåäåíèÿ V̂ (t)ïðè t → +∞.63.1. Âîçìóùåíèå, äåéñòâóþùåå â òå÷åíèå êîíå÷íîãî âðåìåíèàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà V̂ (t) ìàëîå âîçìóùåíèå, âêëþ÷àþùååñÿ â íà÷àëå è âûêëþ÷àþùååñÿ â êîíöå ïðîöåññà: V̂ (t) → 0ïðè t → ∓∞. Íàéäåì âåðîÿòíîñòü ïåðåõîäà èç ñîñòîÿíèÿ∂Ψ(x, t)= ĤΨ(x, t) ,∂ti~∂Φ(x, t)= V̂I (t) Φ(x, t) , V̂I (t) = eiĤ0t/~ V̂ (t) e−iĤ0t/~ . (63.1)∂tÝòî óðàâíåíèå ñîäåðæèò â ïðàâîé ÷àñòè òîëüêî ìàëîå âîçìóùåíèå V̂I (t) (áåç îñíîâíîãî îïåðàòîðà Ĥ0 , âõîäÿùåãî â ïðàâóþ÷àñòü óðàâíåíèÿ Øð¼äèíãåðà) è ïîòîìó óäîáíî äëÿ ïîñòðîåíèÿïîñëåäîâàòåëüíîé òåîðèè âîçìóùåíèé.Ïåðâîå ïðèáëèæåíèå òåîðèè âîçìóùåíèé êà÷åñòâå íóëåâîãî ïðèáëèæåíèÿ èñïîëüçóåì íåâîçìóù¼ííóþ âîëíîâóþ óíêöèþΦ0(x, t) = eiĤ0t/~ Ψ0i (x, t) = ψi0(x) ,13 Ýòà çàìåíà îòâå÷àåò òàê íàçûâàåìîìóïðåäñòàâëåíèþ âçàèìîäåéñòâèÿ,âåñüìà ïîëåçíîìó â êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ.
ÏðèV̂ (t) → 0ïðåäñòàâëåíèåâçàèìîäåéñòâèÿ ñîâïàäàåò ñ ãàéçåíáåðãîâñêèì ïðåäñòàâëåíèåì.232ëàâà X.ÈÇËÓ×ÅÍÈÅòîãäà ïåðâîå ïðèáëèæåíèå ïîëó÷àåòñÿ ïðè ïîäñòàíîâêå ýòîéóíêöèè â ïðàâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (1) è âûïîëíåíèè èíòåãðèðîâàíèÿ:ZΦ1(x, t) =t1i~−∞dt1 V̂I (t1) ψi0(x) . èòîãå òî÷íîñòüþ äî ÷ëåíîâ ïåðâîãî ïîðÿäêà âêëþ÷èòåëüíîìû ïîëó÷èì âîëíîâóþ óíêöèþΨ(x, t) = Ψ0i (x, t) −i −iĤ0t/~e~Zt−∞dt1 V̂I (t1) ψi0(x)è àìïëèòóäó ïåðåõîäà (ïðè ψf0 (x) 6= ψi0 (x))iaf i(t) = −~ãäåZtVf i(t1) e−∞Vf i(t) =Diωf i t1(63.2)¯ Z +∞¯2¯1¯= ¯¯Vf i(t) eiωf it dt¯¯ .~ −∞(63.3)Âòîðîé ïîðÿäîê òåîðèè âîçìóùåíèéÂòîðîé ïîðÿäîê ìîæåò áûòü ïîëó÷åí ïðè ïîäñòàíîâêå â ïðàâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (1) âîëíîâîé óíêöèè ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ Φ1 (x, t), ÷òî ïðèâîäèò ê âîëíîâîé óíêöèèZ1 tΦ (x, t) =dt1 V̂I (t1) Φ1(x, t1) =i~ −∞Z tZ t11=dt1 V̂I (t1)dt2 V̂I (t2) ψi0(x)(i~)2 −∞−∞¯ Z +∞¯2¯1¯iωt= ¯¯Vf i(t) e f i dt¯¯ dνf .~ −∞a2f i(t)=µi−~¶2 Z(63.4)Íàéäåííàÿ íàìè âåðîÿòíîñòü ïåðåõîäà îïðåäåëÿåòñÿ êîìïîíåíòîé Ôóðüå ìàòðè÷íîãî ýëåìåíòà îïåðàòîðà âîçìóùåíèÿ íàZtdt1−∞t1dt2−∞D¯¯E¯¯ψf0 (x) ¯V̂I (t1) V̂I (t2)¯ ψi0(x).Ìåæäó îïåðàòîðàìè V̂I (t1 ) è V̂I (t2 ) ïðîëîæèì ïîëíûé íàáîðïðîìåæóòî÷íûõ ñîñòîÿíèé1=Åñëè êîíå÷íîå ñîñòîÿíèå ïðèíàäëåæèò íåïðåðûâíîìó ñïåêòðó ñ âîëíîâûìè óíêöèÿìè, íîðìèðîâàííûìè íà δ -óíêöèþïî øêàëå νf , òî ïîëó÷åííûé îòâåò íàäî óìíîæèòü íà ÷èñëîêîíå÷íûõ ñîñòîÿíèé ñ êâàíòîâûìè ÷èñëàìè îò νf äî νf + dνf ,ïðè ýòîì äèåðåíöèàëüíàÿ âåðîÿòíîñòü ïåðåõîäà åñòüdWi→f÷àñòîòå ïåðåõîäà ωf i .
Åñëè âîçìóùåíèå âêëþ÷àåòñÿ è âûêëþ÷àåòñÿ î÷åíü ïëàâíî, òàê ÷òî õàðàêòåðíîå âðåìÿ τ ≫ 1/ωf i (òàêíàçûâàåìûé ñëó÷àé àäèàáàòè÷åñêîãî âîçìóùåíèÿ), òî âåðîÿòíîñòü ïåðåõîäà îêàçûâàåòñÿ î÷åíü ìàëîé (ñì. ïðèìåð íèæå).è àìïëèòóäå ïåðåõîäàE(t) |ψi0(x)åñòü çàâèñÿùèé îò âðåìåíè ìàòðè÷íûé ýëåìåíò îïåðàòîðà âîçìóùåíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, èñêîìàÿ âåðîÿòíîñòü ðàâíàWi→f2332Ef0 − Ei0dt1 , ωf i =,~ψf0 (x)| V̂ 63. Íåñòàöèîíàðíàÿ òåîðèÿ âîçìóùåíèéXnè ïîëó÷èì îêîí÷àòåëüíîa2f i(t)=µi−~¶2 Ztdt1−∞Z| ψn0 (x) i ψn0 (x) |t1−∞dt2XVf n(t1) Vni(t2)ei(ωf nt1+ωnit2).n(63.5)Ýòîò îòâåò ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü òàêèì îáðàçîì: âî âòîðîìïîðÿäêå òåîðèè âîçìóùåíèé ïåðåõîä èç íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿâ êîíå÷íîå ïðîèñõîäèò ÷åðåç ïðîìåæóòî÷íûå ñîñòîÿíèÿ¯ 0®¯ ®¯ ®¯ψi → ¯ψn0 → ¯ψf0 .234ëàâà X.ÈÇËÓ×ÅÍÈÅàññìîòðèì ÷àñòíûé ñëó÷àé, êîãäà îïåðàòîðV̂ (t) = V̂ e−iωt+λt ,ãäå λ ìàëàÿ ïîëîæèòåëüíàÿ âåëè÷èíà, à exp(λt) ìîäåëèðóåòèñ÷åçíîâåíèå âîçìóùåíèÿ ïðè t → −∞.
 ýòîì ñëó÷àå èíòåãðàë ïî t2 ëåãêî âû÷èñëÿåòñÿ è àìïëèòóäà ïåðåõîäàa2f i(t) = −i~ZtMf i(t1) eiωf it1 dt1 ,(63.6)−∞èìååò òàêîé æå âèä êàê è àìïëèòóäà â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè(ñì. (2)) ñ çàìåíîé Vf i (t1 ) → Mf i (t1 ).Ïåðèîäè÷åñêîå âîçìóùåíèåàññìîòðèì ïåðåõîäû ïîä äåéñòâèåì âíåøíåãî ïîëÿ, êîòîðîåâ òå÷åíèå äëèòåëüíîãî âðåìåíè T ≫ 1/ωf i èçìåíÿòñÿ ïî ãàðìîíè÷åñêîìó çàêîíó:(63.7)ïðè |t| < T /2, è âûêëþ÷àåòñÿ âíå ýòîãî èíòåðâàëà: V̂ (t) = 0ïðè |t| > T /2. Çäåñü F̂ íå çàâèñÿùèé îò âðåìåíè îïåðàòîð,êîòîðûé, îäíàêî, ìîæåò çàâèñåòü îò êîîðäèíàò, èìïóëüñîâ èò. ä.
Ïðè òàêèõ ïåðåõîäàõ â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè ïðîèñõîäèòëèáî ïîãëîùåíèå êâàíòà ïîëÿ ~ω , òàê ÷òî êîíå÷íàÿ ýíåðãèÿEf0 = Ei0 + ~ω , ëèáî èñïóñêàíèå êâàíòà, ïðè ýòîì Ef0 = Ei0 − ~ω .Âåðîÿòíîñòü êàæäîãî èç ýòèõ ïåðåõîäîâ îêàçûâàåòñÿ ïðîïîðöèîíàëüíà âðåìåíè T , è ïîýòîìó óäîáíîé âåëè÷èíîé ÿâëÿåòñÿâåðîÿòíîñòü ïåðåõîäà â åäèíèöó âðåìåíè:dwi→f ≡dWi→f.T(63.8)235Ïîëåçíî ïðî÷èòàòü äåòàëüíîå ðàññìîòðåíèå ýòîãî ñëó÷àÿ â Ëåêöèè 27 èç [4℄. Ìû ïðèâåäåì çäåñü òîëüêî êðàòêèé âûâîä îñíîâíûõ îðìóë.Èñïîëüçóÿ îðìóëó (1), íàéäåì àìïëèòóäû ïåðåõîäàiiaf i(∞) = − Ff i I− − Ff+i I+ ,~~(63.9)ãäåI± =X Vf n(t1) Vni(t1)Mf i(t) =Ei0 − En0 + ~ωnV̂ (t) = F̂ e−iωt + F̂ + eiωt 63. Íåñòàöèîíàðíàÿ òåîðèÿ âîçìóùåíèéZT /2−T /2ei(ωf i±ω)t dt → 2π δ(ωf i ± ω) ïðè T → ∞ .Ïåðâîå ñëàãàåìîå â (9) ñîîòâåòñòâóåò ïîãëîùåíèþ êâàíòà ~ω ,âåðîÿòíîñòü òàêîãî ïðîöåññà ïðîïîðöèîíàëüíà I−2 , ÷òî ìîæíîòðàêòîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:I−2= 2π δ(ωf i − ω)ZT /2−T /2ei(ωf i−ω)t dt = 2π δ(ωf i − ω) T . èòîãå âåðîÿòíîñòü ïåðåõîäà ψi0 → ψf0 â åäèíèöó âðåìåíè ñïîãëîùåíèåì êâàíòà ~ω ðàâíàïîãdwi→f =2π2π2|F|δ(ω−ω)dν=|Ff i|2 δ(Ef0 − Ei0 − ~ω) dνf .fifif~2~(63.10)Àíàëîãè÷íî âòîðîå ñëàãàåìîå â (9) ñîîòâåòñòâóåò èñïóñêàíèþêâàíòà ~ω , âåðîÿòíîñòü (â åäèíèöó âðåìåíè) òàêîãî ïðîöåññàðàâíàèñïdwi→f =2π + 2|F | δ(Ef0 − Ei0 + ~ω) dνf .~ fi(63.11)Ïåðåõîäû â íåïðåðûâíîì ñïåêòðå ïîä äåéñòâèåì ïîñòîÿííîãî âîçìóùåíèÿÈñïîëüçóÿ ïîëó÷åííûå îðìóëû ïðåäûäóùåãî ðàçäåëà â ïðåäåëüíîì ñëó÷àå ω → 0, ìîæíî íàéòè âåðîÿòíîñòü ïåðåõîäà (â236ëàâà X.ÈÇËÓ×ÅÍÈÅåäèíèöó âðåìåíè) â íåïðåðûâíîì ñïåêòðå ïîä äåéñòâèåì ïîñòîÿííîãî (íå çàâèñÿùåãî îò âðåìåíè) âîçìóùåíèÿ.
 ïåðâîìïîðÿäêå ýòà âåðîÿòíîñòü ðàâíà2πdwi→f =(45.12)|Vf i|2 δ(Ef0 − Ei0) dνf .~Åñëè ìàòðè÷íûé ýëåìåíò Vf i ðàâåí íóëþ èëè î÷åíü ìàë, òîíåîáõîäèìî èñïîëüçîâàòü âòîðîé ïîðÿäîê òåîðèè âîçìóùåíèé(ñì. îðìóëó (6)), ÷òî äà¼òdwi→fX Vf nVni2π=.|Mf i|2 δ(Ef0 − Ei0) dνf , Mf i =~Ei0 − En0n(63.13)63.
2. ÂîçìóùåíèåV̂ (t),êîíå÷íîå ïðèV̂ (t) → V̂ (∞) 6= 0 ïðè t → +∞ . ýòîì ñëó÷àå åñòåñòâåííî îïðåäåëÿòü âåðîÿòíîñòü ïåðåõîäàèç íà÷àëüíîãî ñòàöèîíàðíîãî ñîñòîÿíèÿ Ψ0i (x, t), ïðèíàäëåæàùåãî äèñêðåòíîìó ñïåêòðó ãàìèëüòîíèàíà Ĥ0 , â êîíå÷íîå ñòàöèîíàðíîå ñîñòîÿíèå Ψ′f (x, t), ïðèíàäëåæàùåå ãàìèëüòîíèàíóĤ ′ = Ĥ0 + V̂ (∞).  ïåðâîì ïðèáëèæåíèè ýòî êîíå÷íîå ñîñòîÿíèå èìååò ýíåðãèþDEEf′ = Ef0 + ψf0 (x)| V̂ (∞) |ψf0 (x) ,à åãî âîëíîâàÿ óíêöèÿ ðàâíàX Vnf (∞)′Ψ′f (x, t) = ψf0 (x) +ψn0 (x) e−iEf t/~ .00En − Efn6=f237Ïîâòîðÿÿ âûêëàäêè ïðåäûäóùåãî ðàçäåëà, íàéäåì àìïëèòóäóïåðåõîäà â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè:Vif∗ (∞) iω t/~ iaf i(t) = 0e fi −Ei − Ef0~ZtVf i(t) eiωf it dt .−∞Ïðîâîäÿ äàëåå èíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòÿì è ó÷èòûâàÿ, ÷òîVif∗ (∞) = Vf i(∞), ïîëó÷èì îêîí÷àòåëüíî àìïëèòóäó ïåðåõîäàZ1af i(t) =~ωf iWi→f¯Z¯ 1¯=¯~ωf it−∞è âåðîÿòíîñòü ïåðåõîäàt → +∞àññìîòðèì òåïåðü ñëó÷àé, êîãäà V̂ (t) ìàëîå âîçìóùåíèå,âêëþ÷àþùååñÿ â íà÷àëå ïðîöåññà, V̂ (t) → 0 ïðè t → −∞, èîñòàþùååñÿ êîíå÷íûì â êîíöå ïðîöåññà: 63.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
