1612725072-3b5bf0dbc627b001fc8c0870972eb71d (828982), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Àíàëîãè÷íî îïåðàòîð x̂ = x â x-ïðîñòðàíñòâå èx̂ = +i~ddpâ p-ïðîñòðàíñòâå.Èç îïåðàòîðîâ r̂ è p̂ ñòðîÿòñÿ âñå äèíàìè÷åñêèå ïåðåìåííûå.Íàïðèìåð, îïåðàòîð ìîìåíòà èìïóëüñà:M̂ = r̂ × p̂ = −i~r × ∇ .Íåñêîëüêî áîëåå ïîäðîáíî îðìàëèçì êâàíòîâîé ìåõàíèêè èçëîæåí â Ïðèëîæåíèè. 3. Êîîðäèíàòíîå è èìïóëüñíîå ïðåäñòàâëåíèÿ. Îïåðàòîðûâîëíîé âèäà ψ(x) = A sin(kx) ñ óçëàìè íà ãðàíèöàõ ÿùèêà.Îöåíèòü En äëÿ:à) ÷àñòèöû ìàññû m ∼ 1 ã â ÿùèêå ðàçìåðîì a ∼ 1 ñì;á) ìîëåêóëû H2 â ÿùèêå ðàçìåðîì a ∼ 1 ñì; íàéòè n, ñîîòâåòñòâóþùèé ýíåðãèè En ∼ kT , ãäå T ∼ 300 Ê; îöåíèòü(En − En−1)/En äëÿ äàííîé ýíåðãèè;â) ýëåêòðîíà â ÿùèêå ðàçìåðîì a ∼ 10−8 ñì.Ñðàâíèòü êëàññè÷åñêóþ ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè, îïðåäåë¼ííóþ ñîîòíîøåíèåìdW (x)dxêëàññ=2v(x)T3.1.
Äëÿ ïîòåíöèàëüíîãî ÿùèêà âèäà∞U (x) =0∞ïðè x < 0ïðè 0 < x < aïðè x > aíàéòè óðîâíè ýíåðãèè En è âîëíîâûå óíêöèè ψn (x), ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî ñîñòîÿíèå ÷àñòèöû âíóòðè ÿùèêà îïèñûâàåòñÿ ñòîÿ÷åé,êëàññãäå Têëàññ êëàññè÷åñêèé ïåðèîä êîëåáàíèé, àr2[E − U (x)]m êëàññè÷åñêàÿ ñêîðîñòü ÷àñòèöû â òî÷êå x, è êâàíòîâóþ ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè dW/dx = |ψn (x)|2 ïðè n = 1 è n ≫ 1.
Ïðîâåñòè òàêîå æå ñðàâíåíèå äëÿ dW/dp ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòèv(x) =â èìïóëüñíîì ïðîñòðàíñòâå.3.2. Íàéòè èçìåíåíèå ñ òå÷åíèåì âðåìåíè âîëíîâîé óíêöèèíåðåëÿòèâèñòñêîé ñâîáîäíîé ÷àñòèöû ìàññû m, åñëè â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíèΨ(r, 0) = A e−(rÇàäà÷è212 /a2 )+ibr.3.3. Íàéòè ϕ(k) äëÿ âîëíîâîé óíêöèèe−r/a~2ψ(r) = √, a== 0, 53 · 10−8 ñì23meeπa(îñíîâíîå ñîñòîÿíèå àòîìà âîäîðîäà). Ïóñòü äàííàÿ âîëíîâàÿóíêöèÿ îïèñûâàåò ñîñòîÿíèå ñâîáîäíîãî ýëåêòðîíà ïðè t = 0.Îöåíèòü, íà êàêîì ðàññòîÿíèè îêàæåòñÿ ýëåêòðîí ÷åðåç 1 ñ. 4. Îïåðàòîð àìèëüòîíà. Óðàâíåíèå Øð¼äèíãåðàÌîæíî îæèäàòü, ÷òî è â îáùåì ñëó÷àå ýâîëþöèÿ âîëíîâîéóíêöèè áóäåò ïðîèñõîäèòü ïî òîìó æå çàêîíó.
Êîíå÷íî, âñåýòî ëèøü íàâîäÿùèå ñîîáðàæåíèÿ, ïîêàçûâàþùèå åñòåñòâåííîñòü ñëåäóþùåãî óòâåðæäåíèÿ: â êâàíòîâîé ìåõàíèêå ïîñòó-ëàâà IIëèðóåòñÿ óðàâíåíèå Øð¼äèíãåðà â âèäåÓÀÂÍÅÍÈÅ ØÄÈÍÅÀ.ÎÏÅÀÒÎÛ 4.23Îïåðàòîð àìèëüòîíà. ÓðàâíåíèåØð¼äèíãåðà êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ÷àñòèöû â ïîòåíöèàëüíîì ïîëå U (r) èìåþò âèä (1.2) ñ óíêöèåé àìèëüòîíà(1.3).  êâàíòîâîé ìåõàíèêå êëàññè÷åñêàÿ óíêöèÿ àìèëüòîíàH=p2+ U (r)2mçàìåíÿåòñÿ îïåðàòîðîì àìèëüòîíàĤ =~2p̂2+ U (r) = − ∆ + U (r) ,2m2mêîòîðûé è äîëæåí îïðåäåëÿòü ýâîëþöèþ ñîñòîÿíèÿ ÷àñòèöû,ò. å.
çàêîí èçìåíåíèÿ ñî âðåìåíåì âîëíîâîé óíêöèè ÷àñòèöûΨ(r, t).Äëÿ ïëîñêîé âîëíûΨ(r, t) = A ei(pr−Et)/~ ,ñîîòâåòñòâóþùåé ñâîáîäíîìó äâèæåíèþ ÷àñòèöû ñ ýíåðãèåé E ,ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî èçìåíåíèå âîëíîâîé óíêöèè ñî âðåìåíåìïðîèñõîäèò ñîãëàñíî óðàâíåíèþp̂2E1∂Ψ(r, t) = Ψ(r, t) = Ĥ Ψ(r, t) , Ĥ =.∂ti~i~2m~2∂Ψ(r, t)= ĤΨ(r, t) , Ĥ = −∆ + U (r) .(4.1)∂t2mÅãî òàêæå íàçûâàþò íåñòàöèîíàðíûì óðàâíåíèåì Øð¼äèíãåðà (E. Shrodinger, 1926). Áîëåå ïîäðîáíîå ðàññìîòðåíèå ýòîãîi~óðàâíåíèÿ áóäåò äàíî â 8.Åñëè â ýòîì óðàâíåíèè ìîæíî ðàçäåëèòü âðåìåííûå è ïðîñòðàíñòâåííûå ïåðåìåííûå, çàïèñàâΨ(r, t) = ψE (r) e−iEt/~ ,òî äëÿ óíêöèè ψE (r) ìû ïîëó÷àåì ñòàöèîíàðíîå óðàâíåíèåØð¼äèíãåðà:Ĥ ψE (r) = E ψE (r) .(4.2)Ñ ìàòåìàòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ ýòî óðàâíåíèå çàäà÷à íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ îïåðàòîðà Ĥ .
Åñëè ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿU (r) íåïðåðûâíàÿ óíêöèÿ, òî ðåøåíèÿ ýòîãî óðàâíåíèÿèùóòñÿ â êëàññå óíêöèé, íåïðåðûâíûõ âìåñòå ñ ïåðâûìè èâòîðûìè ïðîèçâîäíûìè. Åñëè æå ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ èìååò ðàçðûâû, òî ïåðâûå ïðîèçâîäíûå âîëíîâîé óíêöèè òàêæåìîãóò èìåòü ðàçðûâû (ñì. íèæå), íî ñàìà âîëíîâàÿ óíêöèÿ èïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè dW/dV ∝ |ψE (r)|2 ÿâëÿþòñÿ íåïðåðûâíûìè óíêöèÿìè.àññìîòðèì òèïè÷íûé ïðèìåð, êîãäà ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿîáðàùàåòñÿ â íóëü íà áåñêîíå÷íîñòè, U (r) → 0 ïðè r → ∞, àíà êîíå÷íûõ ðàññòîÿíèÿõ ïðèíèìàåò êàê ïîëîæèòåëüíûå, òàêè îòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ.  ýòîì ñëó÷àå ïðè áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ r äâèæåíèå ÷àñòèöû ñ ýíåðãèåé E > 0 ïî÷òè ñâîáîäíî,24ëàâà II.ÓÀÂÍÅÍÈÅ ØÄÈÍÅÀ.
ÎÏÅÀÒÎÛè, ñëåäîâàòåëüíî, ñïåêòð çíà÷åíèé E íåïðåðûâåí. Íàïðîòèâ,ïðè îòðèöàòåëüíûõ ýíåðãèÿõ E < 0 ìû èìååì äåëî ñî ñâÿçàííûìè ñîñòîÿíèÿìè, ÷àñòèöà íå óõîäèò íà áåñêîíå÷íîñòü, ñïåêòðçíà÷åíèé E äèñêðåòíûé.  ñëó÷àå ñâÿçàííûõ ñîñòîÿíèé âîëíîâûå óíêöèè íîðìèðóåìû, ò. å. äëÿ íèõZ|ψEn (r)|2 d3r = 1 ,è ïîòîìó äëÿ äîñòàòî÷íî ãëàäêèõ óíêöèéψEn (r) → 0 ïðè r → ∞ . 5.Ñòàöèîíàðíîå óðàâíåíèå Øð¼äèíãåðà.
Îäíîìåðíûé ñëó÷àé5.1. Ïîâåäåíèå ïðîèçâîäíîédψ(x)/dxàññìîòðèì áîëåå äåòàëüíî ñëó÷àé îäíîìåðíîãî äâèæåíèÿ.Ïîâåäåíèå ïðîèçâîäíîé ψ ′ (x) = dψ(x)/dx îïðåäåëÿåòñÿ âèäîì ïîòåíöèàëà. Èíòåãðèðóÿ óðàâíåíèå Øð¼äèíãåðà â ìàëîéîêðåñòíîñòè òî÷êè x = a, ïîëó÷àåì:Za+εa−εψ ′′(x) dx = ψ ′(a + ε) − ψ ′(a − ε) =Z a+ε2m a+ε2m= 2[U (x) − E] ψ(x) dx = 2 ψ(a)U (x) dx ,~ a−ε~a−εò. å. ψ ′ (x) íåïðåðûâíà â òî÷êå x = a, åñëè ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ U (x) íåïðåðûâíà èëè èìååò ðàçðûâ 1-ãî ðîäà (êîíå÷íûéZñêà÷îê) â ýòîé òî÷êå. Ó ïîòåíöèàëîâ, èìåþùèõ ñêà÷êè 2-ãî ðîäà(ñ óõîäîì íà áåñêîíå÷íîñòü), ψ ′ (x) ìîæåò èìåòü ðàçðûâû (ñì.ïðèìåð ïîòåíöèàëüíîãî ÿùèêà). Äëÿ ïîòåíöèàëüíîé δ -ÿìûU (x) = −G δ(x − a) 5. Ñòàöèîíàðíîå óðàâíåíèå Øð¼äèíãåðà.
Îäíîìåðíûé ñëó÷àéèìååìψ ′(a + ε) − ψ ′(a − ε) = −2mGψ(a) .~225(5.1)5.2. Äèñêðåòíûé ñïåêòðÄèñêðåòíûå óðîâíè â îäíîìåðíîé çàäà÷å âñåãäà íåâûðîæäåíû, ò. å. êàæäîìó ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ ýíåðãèè ñîîòâåòñòâóåò åäèíñòâåííàÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìàÿ ñîáñòâåííàÿóíêöèÿ. Äîïóñòèì îáðàòíîå: ïóñòü ψ1 (x) è ψ2 (x) äâå ëèíåéíî íåçàâèñèìûå ñîáñòâåííûå óíêöèè Ĥ , îòâå÷àþùèå îäíîìóçíà÷åíèþ E . Òîãäàψ1′′ 2mψ ′′= 2 (U − E) = 2 |, ,ψ1~ψ2èëèd ′(ψ ψ2 − ψ1ψ2′ ) .dx 1Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ψ1′ ψ2 − ψ1 ψ2′ = const. Äàëåå, const = 0 èç-çàïîâåäåíèÿ ψn (x) íà áåñêîíå÷íîñòè.
 èòîãå, ψ1 = Cψ2 , ò. å. ýòèψ1′′ψ2 − ψ1ψ2′′ = 0 =óíêöèè ëèíåéíî çàâèñèìû. îäíîìåðíîé çàäà÷å äèñêðåòíûå óðîâíè ÷¼òíîãî ãàìèëüòîíèàíà, îáëàäàþùåãî ñâîéñòâîìĤ(−x) = +Ĥ(x) ,èìåþò îïðåäåë¼ííóþ ÷¼òíîñòü, ò. å. ëèáîψn(−x) = +ψn(x) ,ëèáîψn(−x) = −ψn(x) .Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ òàêîãî ãàìèëüòîíèàíà óíêöèè ψn (x) èψn(−x) ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè, îòâå÷àþùèìè îäíîìó è òîìó æå26ëàâà II.ÓÀÂÍÅÍÈÅ ØÄÈÍÅÀ. ÎÏÅÀÒÎÛçíà÷åíèþ ýíåðãèè En , à òàê êàê â îäíîìåðíîé çàäà÷å ýòîò óðîâåíü íåâûðîæäåí, òîψn(x) = C ψn(−x) .Ñäåëàâ åùå îäíî îòðàæåíèå êîîðäèíàò, ïîëó÷èìψn(−x) = Cψn(x) = C 2ψn(−n) ,îòêóäà ñëåäóåò, ÷òîC = ±1.5.3.
Ïðÿìîóãîëüíàÿ ïîòåíöèàëüíàÿ ÿìààññìîòðèì ïðÿìîóãîëüíóþ ïîòåíöèàëüíóþ ÿìó ñ ãëóáèíîéV è øèðèíîé 2a, ò. å.U (x) =½−V0ïðè |x| < aïðè |x| > a .Ñâÿçàííûì ñîñòîÿíèÿì îòâå÷àåò ýíåðãèÿ E < 0, ïðè ýòîì óðàâíåíèå Øð¼äèíãåðà èìååò âèä′′pïðè |x| < a, ~k = p2m(V − |E|)ïðè |x| > a, ~κ = 2m|E| .2ψ +k ψ =0ψ ′′ − κ 2ψ = 0Èùåì ðåøåíèÿ òàêèå, ÷òîáû ψ(x) è ψ ′ (x) áûëè íåïðåðûâíû,÷òîáû ψ(x) → 0 ïðè x → ±∞ è ÷òîáû ψ(x) áûëà ëèáî ÷¼òíîé,ëèáî íå÷¼òíîé óíêöèåé, òàê êàê Ĥ(−x) = Ĥ(x).×¼òíûå ðåøåíèÿ èìåþò âèäψ(x) =½A cos kx ïðè |x| < aBe−κ|x| ïðè |x| > a .Èç íåïðåðûâíîñòè ψ ′ (x)/ψ(x) â òî÷êå x = a ïîëó÷àåì óðàâíåíèårtg ka =κ=k2mV− 1,~2 k 2 5. Ñòàöèîíàðíîå óðàâíåíèå Øð¼äèíãåðà.
Îäíîìåðíûé ñëó÷àé27äàþùåå äèñêðåòíûé ðÿä çíà÷åíèé kn èëè En (ýíåðãèÿ êâàíòóåòñÿ).Íå÷¼òíûå ðåøåíèÿ èìåþò âèäψ(x) =½C sin kx ïðè |x| < a,±De−κ|x| ïðè x ≷ ±aà óðîâíè ýíåðãèè îïðåäåëÿþòñÿ èç óðàâíåíèÿκ−ctg ka = =kr2mV− 1.~2 k 2Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî ÷¼òíûå è íå÷¼òíûå óðîâíè ÷åðåäóþòñÿ è ÷òî ñàìûé íèæíèé (îñíîâíîé) óðîâåíü ÿâëÿåòñÿ ÷¼òíûì.Ïðè ýòîì õîòÿ áû îäíî ÷¼òíîå ðåøåíèå èìååòñÿ ïðè ïðîèçâîëüíîì çíà÷åíèè V , íàïðîòèâ, ïåðâîå íå÷¼òíîå ðåøåíèå âîçíèêàåòëèøü ïðè ka > π/2, ò.
å. ïðèV >π 2 ~2.8ma2Èíòåðåñíî ïðîñëåäèòü, êàê ìåíÿåòñÿ õàðàêòåð ðåøåíèÿ â çàâèñèìîñòè îò ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó ãëóáèíîé ÿìû V è õàðàêòåðíîé ýíåðãèåé~2.ma2Ìû áóäåì íàçûâàòü ÿìó ãëóáîêîé èëè ìåëêîé â çàâèñèìîñòè îòEõàð=òîãî, ÿâëÿåòñÿ ëè ïàðàìåòðξ=VEõàð=V ma2~2áîëüøèì, ξ ≫ 1, èëè ìàëûì, ξ ≪ 1.
Îáðàòèì âíèìàíèå íà òî,÷òî ïàðàìåòð ξ çàâèñèò îò ïðîèçâåäåíèÿ V a2 , òàê ÷òî ãëóáîêàÿ(èëè ìåëêàÿ) ÿìà îäíîâðåìåííî ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ òàêæåêàê øèðîêàÿ (èëè óçêàÿ) ÿìà.28ëàâà II.ÓÀÂÍÅÍÈÅ ØÄÈÍÅÀ. ÎÏÅÀÒÎÛÂ ãëóáîêîé ÿìå, V ≫ E õàð , óðàâíåíèå äëÿ îïðåäåëåíèÿ ýíåðãèè íèçêèõ ÷¼òíûõ ñîñòîÿíèé tg ka ≈ ∞ ñîîòâåòñòâóåò óñëîâèÿì êâàíòîâàíèÿπka = (n + 1), n = 0, 2, 4, . . .
,2 5. Ñòàöèîíàðíîå óðàâíåíèå Øð¼äèíãåðà. Îäíîìåðíûé ñëó÷àéÏîêàæèòå, èñïîëüçóÿ óñëîâèå (5.1), ÷òî ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèèU (x) = −G δ(x)ñîîòâåòñòâóåò ìåëêàÿ ÿìà ñà óðàâíåíèå äëÿ îïðåäåëåíèÿ ýíåðãèè íèçêèõ íå÷¼òíûõ ñîñòîÿíèé ctg ka ≈ −∞ ñîîòâåòñòâóåò óñëîâèÿì êâàíòîâàíèÿka =π(n + 1), n = 1, 3, 5, . . . .2Òàêèì îáðàçîì, â ãëóáîêîé ÿìå íèçêèå óðîâíè ýíåðãèè(~kn)2π 2 ~22En = −V += −V +2 (n + 1) , n = 0, 1, 2, 3, . . .2m8mañîâïàäàþò ñ óðîâíÿìè ýíåðãèè ïîòåíöèàëüíîãî ÿùèêà øèðèíîþ 2a (ñð. çàäà÷ó 3.1).Ïîêàæèòå, ÷òî â ìåëêîé ÿìå, V ≪ E õàð , ñóùåñòâóåò ëèøüîäíî ñâÿçàííîå ñîñòîÿíèå ñ ýíåðãèåéE0 = −V2~2κ022aV m= −2, κ0 =2mE~2õàðè ÷¼òíîé âîëíîâîé óíêöèåéψ0(x) ≈√κ0 e−κ0|x| .Îáðàòèì âíèìàíèå íà ñóãóáî íåêëàññè÷åñêèé õàðàêòåð ýòîãîñâÿçàííîãî ñîñòîÿíèÿ.
Äåéñòâèòåëüíî, âåðîÿòíîñòü íàéòè ÷àñòèöó âíóòðè ÿìû ìàëà:W (|x| < a) =Za−aκ0 =∆x ∼1≫ a.κ0mG.~25.4. Îñöèëëÿöèîííàÿ òåîðåìàÄëÿ ÷àñòèöû â ïðÿìîóãîëüíîé ïîòåíöèàëüíîé ÿìå ëåãêîóñìîòðåòü ñëåäóþùåå õàðàêòåðíîå ñâîéñòâî âîëíîâîé óíêöèè,îòâå÷àþùåé ýíåðãèè En : ýòà óíêöèÿ èìååò ðîâíî n íóëåé ïðèêîíå÷íûõ çíà÷åíèÿõ êîîðäèíàòû x. Îêàçûâàåòñÿ, è â îáùåìñëó÷àå èìååò ìåñòî àíàëîãè÷íîå ñâîéñòâî, èìåííî, ìîæíî äîêàçàòü î÷åíü ïîëåçíóþ â ïðèëîæåíèÿõ îñöèëëÿöèîííóþ òåîðåìó (ñì., íàïðèìåð, êíèãó Ìåññèà À. Êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà. Ì.:Íàóêà, 1978; ãë. III 12).Âîëíîâàÿ óíêöèÿ ñâÿçàííîãî ñîñòîÿíèÿ ψn (x), ñîîòâåòñòâóþùàÿ (n+1)-ó ïî âåëè÷èíå ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ ýíåðãèè En ,îáðàùàåòñÿ â íóëü (ïðè êîíå÷íûõ x) n ðàç.Çàäà÷è5.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
