1612727047-4a4f6e44732b69c46a6fe73841ccf150 (828484), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

ударные волны движутся в одну и ту же сторону. Значит ударная волна D3 идетпо состоянию 2, за ударной волной D2 .В обоих случаях встреча этих волн неизбежна. Что в случае б следует из теоремычемплена. В момент встречи x = 0, t = 0 распределение основных величин образуется произвольный разрыв с известными параметрами при x < 0 и x > 0. Дальнейшеедвижение для t > 0 будет распадом этого разрыва.5. Плоскопараллельное установившееся теченияОпределение. Движение газа называется установившемся, если основные величины не зависят от времени:ut = 0, ρt = 0, pt = 0, St = 028и являются функциями только точки пространства R3 .Исходные интегральные законы сохранения имеют видuux + vuy + ρ−1 px = 0,uvx + vvy + ρ−1 py = 0,~v = (u, v), ~x = (x, y)— закон импульса;(ρu)x + (ρv)y = 0,— закон сохранения массы (уравнение неразрывности);uSx + vSy = 0— одна из форм закона сохраненич энергии.Определение.

Линии определяются как интегральные кривые дифференциального уравненияdydx= .uvВдоль линии тока S = const.Уравнение состояния p = f (ρ, S).В дальнейшем анализе используются операторы дифференцирования вдоль линий∂∂тока Dl = u ∂x+ v ∂y. Тогда последнее уравнение запишется в виде Dl S = 0.∂vω~ = Rot~v = (0, 0, ∂x− ∂u). Если ω~ = 0, то течение - безвихревое.∂y∂φ ∂φ~v = ∇φ = (u, v) = ( ∂x , ∂y )— потенциал течения.=Основное термодинамическое тождество: T dS = d + pdV или T dSdtЕсли ввести i = + pV — энтальпия, тоddt+ p dV.dtdid d(pV )ddVdp=+=+p+V .dtdtdtdtdtdtСумма первых двух членов равна T dS= 0, поэтомуdtdi1 dpc2 dρ= ·=· .dtρ dtρ dtОтсюдаZρi=c2dρ.ρ0— интеграл Бернулли. Линиями тока связан другой важный элемент описания течения — функция тока.

Ее определение связано с уравнением неразрывности, котороепоказывет, что выражение (ρu)x +(ρv)y = 0— есть полный дифференциал некоторойфункции:∂ψ∂ψρu =, ρv = − .∂y∂x29Функция ψ — функция тока. Она определяется последними уравнениям до константы. Вдоль линии тока функция тока постоянна.Из уравнения ЗСИ и ЗСМ получаем для безвихревого движения:(u2 − c2 )ux + 2uvuy + (v 2 − c2 )vy = 0,uy = vx .Для установившегося течения, используя функцию тока, уравнение газовой динатики могут быть записаны в виде интеграла энтропии S = S(ψ) и интеграла Бернулли.В интеграле Бернулли i = i(c2 ) при c → 0 i → 0 (вакуум).Запишем интеграл Бернулли в другой форме:1 2(u + v 2 ) + i(ρ, S) = c0 (L),2здесь L— линия тока.

Обозначая q 2 = u2 + v 2 , получим интеграл Бернулли в форме2q 2 + 2i(c2 ) = qm(ψ).Здесь q— модуль скорости газа. При q > c— сверхзвук, q < c— дозвук. При наглядном графическом изображении течения на плоскости наряду с линиями токаполезны линии равного потенциала ψ = const и линии тока, и эти линии образуютна плоскости ортогональную сеть.В случае политропного газа интеграл Бернулли записывать в критической скоростью v ∗ = c∗ — скорость звукаq2 +2 2 γ+1 ∗ 2c =(c ) .γ−1γ−12Для дозвуковой скорости q 2 + 2i(q 2 ) < q 2 + 2i(c2 ) = qm= c2∗ + 2i(c2∗ ) < c2 + 2i(c2 ), тоесть q < c∗ < c.Аналогично записывается неравенство для сверхзвука.Для системы уравнений двумерных безвихревых изэнтропических течений справедливо, что она имеет эллиптический тип на дозвуковых течениях и гиперболическийтип на сверхзвуковых течениях.

Характеристики и инварианты римана безвихрехвого сверхзвукового течения.У нас были введены функции φ и ψ. Вводя их как новые независимые переменные,искомую функцию ~v будем искать в виде функции q и θdφ = udx + vdy,dψ =∂ψ∂ψdx +dy = −ρvdx + ρudy.∂x∂yВыразим отсюда dx и dy:dx =uvdφ − 2 dψ,2qρqdy =30vudφ + 2 dφ.2qρqПоскольку u = q cos θ, v = q sin θ, то отсюда:dx =cos θsin θdφ −dψ,qρqdy =sin θcos θdφ +dψ.qρqОтсюдаcos θ ∂ysin θ∂x=,=,∂φq ∂φq∂xsin θ ∂ycos θ=−,=∂ψq ∂ψρqОтсюда получаем формулу∂ cos θ∂ sin θ()=− ()∂ψ q∂φ ρq∂ sin θ∂ cos θ()=().∂ψ q∂φ ρqДифференцируя эти равенства по φ, ψ и объединяя коэффициенты при cos θ, sin θ,получим∂ 1ρqψ − qθφ = 0, θψ − q ( ) = 0.∂φ ρqДифференцируя интеграл Бернулли по q (поскольку течение потенциально, то постоянная интеграла Бернулли одинакова для всего потока), получим2q + 2∂i ∂ρ· .∂ρ ∂qПодставляя значение производной энтальпии и сокращая на 2, получимc2 dρ= 0.q+ ·ρ dqДалее имеем∂ 1∂ 1( )=( )qφ =∂φ ρq∂q ρq1∂1= − 2 2 · (ρq)qφ = 2 2 (M 2 − 1),ρ q ∂qρqгде M =qc> 1— число Маха, sin α =−qθφ + ρqψ = 0,1,Mгде α— угол маха.

Имеем систему− ctg1 αqφ + ρqθψ = 0.~ = (θ, q)> . Тогда система основных уравненийВведем матричное обозначения Uω = uy − vx = 0, (ρu)x + (ρv)y = 031вместе с интегралом Бернулли примет вид:~ φ + Aψ U~ ψ = 0,Aφ UгдеAφ =−q00 − ctg2 αAψ =0 ρρq 0.На плоскости потенциала характеристики задаются дифференциальными уравнениямиdψ= κ.dψТогда нормальный характеристический вектор с проекциями на оси декартовыхкоординае (φ, ψ) есть (−κ, 1).

Характеристическая матрица системыA(κ) =qκρρq κ ctg2 α.Приравнивая ее определитель к нулю, получим значения: κ = ±ρ tg α— два вечественных корня. Для построения условия на характеристиках находятся соответствующие этим корням левые собственные векторы матрицы A(κ), которые могутбыть взяты в виде (1, ∓ tg α).

После небольшого преобразования условия на характеристиках оказываются такимиθφ ∓ctg αctg α± ρ tg α(θψ ∓qψ ) = 0.qqВерхние знаки берутся для корня κ+ , а нижние — κ− . Перейдем к дифференцированию по qdθ ctg α dqdθ ctg α dq0=( ∓)·± ρ tg α( ∓)·.dqqdφdqqdψРассмотрим вспомогательную функциюZ qZ q√ 2ctg αM −1µ(q) =dq =dq.qqc∗c∗С этой функцией образуются величины r = θ − µ(q) и l = θ + µ(q), называемыеинвариантами Римана. С ними условия на характеристиках принимают вид:rφ + ρ tg αrψ = 0, lφ − ρ tg αlψ = 0.Введем операторы дифференцирования по φD± =∂∂± ρ tg α .∂φ∂ψ32С этими обозначениями окончательно получаем следующую характеристическуюформу системы исходных уравненийD+ (r) = 0, D− (l) = 0, C± :∂ψ= ±ρ tg α.∂φДля отыскания характеристик на плоскости течения используем связь dx, dy сdφ, dψ.

Тогда для характреристических направлений получаем выражения:dy= tg(θ ± α).dx∂∂+ tg(θ ± α) · ∂y. Окончательно следующуюДелая пересчет операторов D± = ∂xхаактеристическую форму системы исходных урвнений на плоскости течения:C+ :dy∂r∂r= tg(θ + α),− tg(θ + α)=0dx∂x∂ydy∂l∂l= tg(θ − α),+ tg(θ − α)= 0.dx∂x∂yТаким образом, качественная картина следующая:r-волна:r = θ − µ(q) = r0 , C− : y = x tg(θ − α) + f (θ) обращена влево.l-волна:l = θ + µ(q) = l0 , C+ : y = x tg(θ + α) + f (θ) обращена вправо. Истечениясимметричной дозвуковой струиСимметричная струя исходит из бесконечности (на бесконечности диаметр 2h∞ ).Отверстие, из которого вытекает газ диаметр 2h0 .

Ось x— ось симметрии, h0 > h∞ .Задан угол 0 6 θ0 6 π. Вдали от отверствия газ покоится и имеет парамеры p0 (зна2чит известна скорость c0 ). Тем самым, определена константа qm= I(c0 )2 , и интегралбернулли становится конкретным q 2 + I(c2 ) = I(c20 ). На свободных границах заданопостоянное давление p1 > p0 , а следовательно, скорость звука. Расход 2Q, так какна бесконечности должно быть асимптотически постоянное течение, то расход газа в струе выражается интегралом по любому сечению, например, по выходному:RB2Q = ρq dy. Нужно определить Q и H∞ .

Границы AB, A0 B 0 — твердые стенки чеC− :B0репа, слеловательно, выполнено услвия непротекания. Приращение функции токапри переходе от нижней границы струи к верхней, равно 2Q. Поэтому граничноезначение функции тока могут быть взяты такими ψ|AB = −Q, ψ|S 0 B 0 . Тем самым,задача об истечении струи сводится к отыскнию функции тока как решению задачив заданом секторе ABB 0 A0 . В силу симметрии, значение ψ на оси симметрии равнонулю, поэтому достаточно найти решение задачи дирихле в половине указанногосектора с граничными условиямиψ(q, θ0 ) = −Q, ψ(q1 , θ) = −Q, ψ(q, 0) = 0.Для построения решения вводится вспомогательная функцияbarψ =θψ+ .Q θ033Она, в силу граничных условий, обращается в 0 при θ = 0 и при θ = θ0 .

Методомразделения переменных находим частные решения тоже равные нулю при θ = 0 ипри θ = θ0 . Из этих решений образуем рядψ̄ =∞XAn zn (q) sin(νn θ), νn =n=1nπ.θ0Чтобы удовлетворить второму краевому условию, нужно чтобы ψ̄B 0 C 0 =Отсюда находим коэффициенты ФурьеAn = −θθ0− 1.21·nπ zn (q1 )Отсюда получается функция тока (из вспомогательной функции):∞θ2 X zn (q) sin(νn θ)ψ = Q(− −·).θ0 π n=1 zn (q1 )nВ методе Фурье полученное представление нуждается в обосновании сходимостиполученного ряда. С этой целью необходимо выяснить характер асимптотическогоповедения функции Чаплыгина zn (q) при n → ∞.Величина h∞ нужна для отыскания расхода. Ее находят интегрированием дифференциала dy вдоль линии BC:Zdy = h0 − h∞ .BCпри этом Q = ρ0 q0 h∞ .Косые скачки уплотнения Скачки уплотнения в установившевся течения— стационарные ударные волны.Основная задача— описать все состояния движения, достигаемые за возможнымикосыми скачками, через которые может преобразоваться фиксированное постоянноедвижение перед скачком.

При этом, течение перед скачком должно быть сверхзвуковым.Легко видеть, что упомянутая совокупность состояний за косыми скачками образует однопараметрическое семейство. Если задан угол между вектором скоростии поверхностью скачка, то состояние движения полностью определено посколькукасательная к поверхности скачка составляющая вектора скорости при переходечерез скачок меняется непрерывно. а нормальная составляющая однозначно определяется условием Dn = 0. Кроме того, векторы скорости перед скачком и нормаль поверхности скачка всегда в одной плоскости, поэтому для описания этогооднопараметрического семейства состояний достаточно рассмотреть косые скачкив плоско-параллельном течении.

Характеристики

Список файлов лекций