1612727047-4a4f6e44732b69c46a6fe73841ccf150 (828484), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Пусть дополнительно к данным задается p2 . Сравнение p2 с p1 и учет того, чтоударные волны ведут к повышению давления определяет стороны фронта. То естьпри p2 > p1 ⇒ 1 находится перед фронтом. ρ2 находим из адиабаты Г., после чегонаходим Dn из формулы v1 = vn1 − Dn , после чего находим vn2 из уравнения ЗСМρ1 v1 = ρ2 v2 что дает vn2 = Dn + ρρ21 (un1 − Dn ). Тем самы вопрос с p2 исчерпан.б. Пусть дополнительно задано ρ2 (удовлетворяющее ограничениям). Опять же ρ2 >ρ1 ⇒ 1 находится перед фронтом УВ. Остается найти vn2 , p2 , Dn .
p2 находим изадиабаты Г., Dn находим из v12 , из ЗСМ находим vn2 .в. Пусть дополнительно задано Dn , тогда из формулы(vn1 − Dn )2 =15p 2 − p1 2vv1 − v2 1Стороны фронта определяется с помощью теоремы Цемплена: v2 = ω(p2 , v1 , p1 ).г. Пусть дополнительныо задано vn2 , тогда для определения величин V2 , p2 имеемдва уравнения(vn2 − vn1 )2 = (p2 − p1 )(v1 − v2 ),H(V, p; V1 , p1 ) = 0.В этом случае получаем min p2 = 0, при этом v2 = v0 , откуда следует, что(vn2 − vn1 )2 > (v0 − v1 ) ⇒существует одно решение.3. Характеристики уравнений газовой динамикиОсновные определения.Рассматривается система из m квазилинейных дифференциальных уравнений первого порядка для m искомых функций ū = (u1 , .
. . , um ) от n независимых переменных x̄ = (x1 , . . . , xn ) :n XmXi=1 k=1aikl∂uk= fl = fl (x̄, ū).∂xiЗдесь коэффициенты и правые части — заданные функции переменных (x̄, ū). ВВедем в рассмотрение матрицы Ai = {ailk } размера m × m и вектор столбцы f =∂ ūи запишем систему в матричной форме(f1 , . . . , fm ) и ui = ∂xiAi ūi = f.Пусть ξ¯ = (ξ1 , . . . , ξn )— вспомогательный n-мерныйвектор.
нашей системе сопостав¯ = Pn Ai ξi , где элементы матрицыляется ее характеристическаяматрицаA(ξ)i=1Pзадаются формулами Akl = ni=1 aikl ξi , k, l = 1, . . . , m.Определение. Вектор ξ¯ называется нормальным характеристическим вектором¯ = 0. При этом, направление n−1-мерной гиперсистемы в точке (x̄, ū), если det A(ξ)nPплоскости в пространстве Rn , заданной уравнениемξi xi = const называется хаi=1¯ =0рактеристическим направлением для системы в точке (x̄, ū). Уравнение det A(ξ)называется характеристическим.Если η̄ = (η1 , . . .
, ηn ) — фиксированный единичный вектор, то каждый вектор ξ¯может быть разложен на две составляющих: по направлению η̄ и по ортогональномук η̄ по формуле ξ¯ = αη̄ + σ̄, (σ̄, η̄) = 0.Определение. Система называется гиперболической, если характеристическое урав¯ = 0 имеет только вещественные корни, а совокупность левых собнение det A(ξ)ственных векторов образует базис стационарного течения, то есть det A(αη̄ + σ̄) =0— имеет m вещественных корней.16Определение. Пусть задано некоторое решение системы. Гиперповерхность Γ, вкаждой точке которой касательная гиперплоскость имеет характеристическое направление на этом решении, называется характеристической поверхностью или характеристикой системы на данном решении.Соотношения на характеристиках. Для каждого нормального характеристи¯ меньше m. Поэтому между ее строками суческого вектора ξ¯ ранг матрицы A(ξ)ществует линейная зависимость.
Это означает, что существует m-мерныйPmлевый соб¯ственный вектор λ̄ = λ1 , . . . , λm , определяемый из системы уравнений i=1 λl Akl (ξ),k=1, . . . , m. Умножение l-го уравнения на λl и суммирование по l дает соотношение нахарактеристике, которое в матричном виде может быть записсано так λ̄(Ai , ūi − f¯).Определение. Гладкая гиперповерхность Γ называется поверхностью слабого разрыва решения системы, если это решение, а также первые производные от него покасательным направлениям к Γ всюду непрерывны, (включая Γ), а некоторые первые производные по нормали к Γ имеют на Γ разрыв первого рода.Характеристика может быть поверхностью слабого разрыва, а может и не бытьтаковой.
Обратное утверждение является точным.Теорема. Если Γ— поверхность слабого разыва, то она является характеристической поверхностью.Характеристики ДУ газовой динамики.Запишем еще раз ДУ газовой динамики (ЗСИ,ЗСМ,ЗСЭ)ρD~v + ∇p = 0,D=d,dt1,ρc2∂fDS = 0, p = f (ρ, S), c2 =|f =const .∂ρДля отыскания характеристик этой системы запишем в виде системы с симметрической матрицей. Для этого введем следующую запись искомого нормальноговектора ξ¯ = (τ, ξ, η, ζ). Тогда характеристическая матрица At τ + Ax ξ + Ay η + Az ζтаковаρχ, 0,0,ξ, 0,0, ρχ, 0,η, 0,¯ = 0, 0, ρχ, ζ, 0,A(ξ)ξ, η, zeta, bχ, 0,0, 0,0,0, χ.bDp + ÷~v = 0,b=Здесь введено обозначение χ = tau + uξ + vη + wζ.С учетом этого обозначения вычисление определителя дает¯ = ρ3 bχ3 (χ2 − c2 (ξ 2 + η 2 + zeta2 )) = 0,det A(ξ)17pЭто уравнение пятого порядка дает следующие корни χ1,2,3 = 0, χ4,5 = ±c ξ 2 + η 2 + ζ 2 .В соответствии с определением, это означает, что система уравнений газовой является гиперболической.Ичем уравнение характеристик в виде h(t, x̄), ξ¯ = (ht , hx , hy , hz ).
Подставляя этовыражение в выражение для корней, получаем ht uhx + vhy + whz p= 0 и в случаезвуковых характеристик уравнение таково: ht uhx + vhy + whz = ±c h2x + h2y + h2z .Предполагая скорость перемещения конечной, можно дать следующую классификацию типов характеристик:первый тип— контактные характеристики chi = 0;второй тип харатеристики— звуковые характеристики. Через такие характеристики газ течет, причем относительно характеристики по нормали к ней со скоростьюзвука.¯ равен двум. Находим левые собНа контактной характеристике ранг матрицы a(ξ)ственные векторы: λ̄ = (λ1 , λ2 , λ3 , λ4 , λ5 ). Сама матрица имеет вид000ξ0000η0000ζ0ξηζ0000000.Три линейно независимых собственных вектора такие λ̄1 = (0, 0, 0, 0, 1), λ̄2 = (−η, ζ, 0, 0, 0), λ̄3 =(0, ζ, −η, 0, 0).Бихарактеристики.Решение задачи Коши для дифференциальных уравнений газовой динамики может лбыть построено методом характеристик применительно к каждому уравнению.
Предполагается следующая классификация характеристик:χ1,2,3 = 0— контактная характеристика через такую характеристику газ не течет,она отделяет одни частицы от других; pХарактеристики второго типа χ4,5 = ±c| ξ 2 + η 2 + ζ 2 |. Через такую харатеристику газ течет, при чем относительно характеристики по нормали к ней со скоростьюзвука. Слабый разрыв возможен как на контактной, так и на звуковой характеристике. Для отыскания уравнения характеристик в виде h(t, x) = const следует,согласно общей теории, подставить выражение для уравнения поверхности в уравнения характеристик. В случае контактных характеристик это дает уравнениеht + uhx + vhy + whz = 0.В случае звуковых характеристик соответствуещее уравнение такоеqht + uhx + vhy + whz = ±c h2x + h2y + h2z .Каждое из этих уравнений, в которых u, v, w, c надо считать известными функциями переменных x̄, t представляет собой дифференциальное уравнение с частнымипроизводными первого порядка относительно h.
Для этих уравнений можно поставить задачу кошиЖ найти решение h(t, x̄), если задана функция h(0, x̄) = h0 (~x).18Решение этой задачи коши может быть построено методом характеристик, которыедля этих уравнений называются Бихарактеристиками исходных уравнений газовойдинамики. Особый вид характеристической поверхности получается, если образовать геометричесукое место всех бихарактеристик, выходящих из заданной точкиP (x̄0 , t0 ). Полученная поверхность называется характеристическим коноидом свершиной в точке P .Характеристическая форма уравнений газовой динамики.На контактной характеристике ранг матрицы A(ξ) равен двум.
Собственные векторы λ̄ = (λ1 , λ2 , λ3 , λ4 , λ5 такие λ̄1 = (0, 0, 0, 0, 1) и еще два независимых вектораопределяются соотношениями ξλ1 + ηλ2 + ζλ3 = 0, λ4 = λ5 = 0. Получаем уравнение на контактных характеристикахDh0 = 0,DS = 0,∇h0 × (ρDū + ∇p) = 0.(1)На звуковых характеристиках C+ получаем уравненияDh+ c|∇h+ | = 0,ρc(∇h+ Du − c|∇h+ | ÷ u) − (|∇h+ |Dp − c∇h+ · ∇p) = 0,(2)Аналогичные ууравнения получаются для характеристик C− . Полученная системаиз восьми скалярных дифференциальных уравнений для восьми искомых функций h0 , h+ , h− , u, v, w, p, S, есть уравнение состояния образует характеристическуюформу уравнений газовой динамики. Одномерное нестационарное (неустановившееся) движение газа.Пусть r— пространственная координата. В случае произвольного нормального газасистема уравнений имеет вид1ut + uur + pr = 0закон сохранения импульса,ρνρt + uρr + ρur + ρu = 0закон сохранения массы,rνpt + upr + ρc2 ur + ρc2 u = 0.rПараметр ν имеет значение ν = 0 для плоских волн.
при этом координата r = x меняется на всей оси. При ν = 1 имеем цилиндрические уравнения, а при ν = 2— сферические. Для этой системы пространством событий является плоскость и на этойплоскости рассматривается картина одномерного движения газа. Характеристики—просто линии на этой поверхности. Нормальные характеристические веккторы ищем¯ = (ξ, τ ). С величиной χ = τ + uξ характеристическая матрица A(ξ) имеетв виде xiопределитель det A(ξ) = χ(χ2 − c2 ξ 2 ). Корни характеристического уравненияχ1 = 0,χ2,3 = ±cξ.Уравнение характеристик на плоскости событий удобно взять в виде h(r, t) = r −r(t) = 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
