1612727047-4a4f6e44732b69c46a6fe73841ccf150 (828484), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Обозначая dΩ = γ, получим ω~ · θ~ dγ = 0. Здесь θ—γΩмерная нормаль к γ и ~l— орт оси t. В этих обзначенияхθ~ = ~l cos(θ, t) + ~n sin(θ, t).RR~ n sin(θ, t))dγ. Закон сохранения массы 0 = (ρ cos(θ, t)+Имеем 0 = (f cos(θ, t)+(f~v +φ)~γγρ~v · ~n sin(θ, t))dγЗакон сохранения импульса:Z(p~v cos(θ, t) + (ρ(~v · ~n)~v + p~n) sin(θ, t))dγ = 0.γЗакон сохранения энергииZq2q2(ρ( + ) cos(θ, t) + (ρ( + ) + p)~v~n sin(θ, t))dγ = 0.22γПоверхность Σ ∈ R4 , на ней функции ~v , p, ρ, S имеют разрывы первого рода— этоповерхность сильного разрыва. F (t, ~x) = F (t, x, y, z) = 0.
Разложим ее в ряд Тейлора:0 = F (t + δt, ~x + δ~x) = F (t, ~x) + Ft δt + ∇F δ~x.Обозначим δ~x = δτ~τ ,δτ.δt→0 δtDτ = limВ этих обозначениях производная первогопорядка по формуле тейлора:0 = Ft + ∇F (δτFt)~τ ⇒ Dτ = −.δt∇F ~τПоследнее формула есть скорость распространения поверхности F = 0 вдоль вектора ~n. Выражение для вектора нормалиFt( |∇F· ∇F )| |∇F |~θ = p Ft · ∇F= qF2Ft2 + (∇F )21 + |∇Ft |2−Dn · ~nθ~ = p1 + Dn2Dncos(θ, t) = − p,1 + Dn21sin(θ, t) = − p1 + Dn2[f (vn − Dn ) + φn ] = 09— скачок функции δ[].
ЗСМ ρ1 (v1n − Dn ) = ρ2 (v2n − Dn ); ЗСИ p1 + ρ1 (v1n − Dn )2 =p2 + ρ2 (v2n − Dn )2 ; Зсэ [ρ( + q 2 /2)(vn − Dn ) + pvn ] = 0. Классификасия сильныхразрывов.В приложениях возникает необходимость в изучении классов движений более широких, чем непрерывные. Математическая модель таких движений может быть построена на основе интегральных законов сохранения, но их нужно обобщить.Определение. Набор шести неизвестных функций, определенных в R4 (~x, t) называется обобщенным движением, если для любой замкнутой кусочно–гладкой гиперповерхности эти функции удовлетворяют выведенным соотношениям.Определение. Если в области определения обобщенного движения существует гиперповерхность Σ, на которой неизвестные шесть величин имеют разрыв первогорода, то такое движение называется движением с сильным разрывом.[ρ~v (vn − Dn ) + p~n] = 0[ρ(~v · ~τ )(vn − Dn )] = 0а.
vn − Dn = 0— контактный разыв, vn непрерывно при переходе через границуразрыва.б. vτ = 0— ударная волна.обобщенное движение газа.Определение. Рассмотрим поверхность разрыва B(t). Если через поверхность разрыва газ не течет, то такой разрыв называется контактным разрывом, а если течет— ударной волной (будет дальше).Поверхность F (~x, t) = 0. На ней полная производная по t равна нулю:∂F∂FdF=+u+dt∂t∂x+v∂F∂F+ω.∂y∂zОбозначим оператор∂∂∂∂, u , v , ω ).∂t ∂x ∂y ∂z∂F1, ∇F ) p 2~ν = (=∂tFt + |∇F |2∇=(−Dn · ~n.=p1 + Dn2Здесь cos(θ, t) = √−Dn 2 ; sin(θ, t) = √1.21+DnDn ) + φn = 0].
Здесь vi = vni − Dn ,i = 1, 2,1+Dn10Общее соотношение на разрыве: [f (vn −~ · ~n,φn = φvn = ~v · ~n.Уравнения сильного разрыва для ударных волн принимают вид~ = 0, ρ1 v1 = ρ2 v2 .1. Закон сохранения массы: f = ρ, φ2. Закон сохранения импульса: [ρ~v (vn − Dn ) + p~n] = 0.2~ = p~v такой:3. закон сохранения энергии: f = ρ( + q2 ), φ[ρ( +q2)(vn − Dn ) + pvn ] = 0.2Классификация сильных разывовПусть ~σ — касательная к поверхности Σ.
Домножим закон сохранения энергии на ~σскалярно, получим скачок [ρvσ (vn − Dn )] = 0. Отсюда[ρ(vn − Dn )] = 0] = [ρv] = ρ2 v2 − ρ1 v1или(vn − Dn )[vσ ] = 0Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю: имеем два случая.1. vn = Dn , vn — непрерывно, p—непрерывно из ЗСИ, p1 = p2 .
имеем случай контактного разрыва (КР);2. vσ = 0— ударная волна (УВ).Соотношения на ударной волне.vσ меняется непрерывно. 1. ρ1 v1 = ρ2 v2 , ρ1 (vn1 − Dn ) = ρ2 (vn2 − Dn ),2. [ρvn (vn − Dn ) + p] = 0,ρ21 + p1 = ρ2 v22 + p2 ,ρ1 (vn1 − Dn )2 + p1 = ρ2 (vn2 − Dn )2 + p2 ,1,v12 = ρρ12 ρp22 −p−ρ1ρ1 p2 −p12v2 = ρ2 ρ2 −ρ1 ,(v1 − v2 )2 = (vn1 − vn2 )2 = (p2 − p1 )(v1 − v2 ).23. ЗСЭ: [ρ( + q2 )v + pvn ] = 0,q 2 = vn2 + vσ2 ,1ρ1 1 v1 + ρ1 v1 (v1 + Dn )2 + p1 (v1 + Dn ) =21= ρ2 2 v2 + ρ2 v2 (v2 + Dn )2 + p2 (v2 + Dn ).22v1ρ1 v1 (1 + 1 ) + p1 v1 + ρ1 v1 Dn2 + ρ1 v12 Dn + p1 Dn =222v1= ρ2 v2 (2 + 2 ) + p2 v2 + ρ2 v2 Dn2 + ρ2 v22 Dn + p2 Dn .22Учтено, что [vσ ] = 0.1p1 v1 (1 + v12 ) + p1 v1 =21= p2 v2 (2 + v22 ) + p2 v2 .211v12v2+ p1 v1 = 2 + 2 + p2 v2 ,22p 1 p21−⇒2 − 1 = (v12 − v22 ) +2ρ1 ρ21⇒ 2 − 1 = (p1 + p2 )(v1 − v2 ).2Пусть в осях p и v заданы две пересекающиеся в точке 1 кривые.
Эта точка называется центром (не геометрическим).Функция Гюгонио.Функция переменных (V, p)1 +1H(v, p, v1 , p1 ) = e(v, p) − e(v1 , p1 ) + (v − v1 )(p + p1 ).2называется Функцией Гюгонио.Кривая на плоскости R2 (V, p) : H(v, p, v1 , p1 ) = 0— адиабата Гюгонио.Политропный газ — идеальный газ, у которого cv = const.pv = γ−1,Учитывая это, для политропного газа уравнение адиабаты Гюгонио приведется квиду(γ + 1)v1 − (γ − 1)vp=.p1(γ + 1)v − (γ − 1)v1γ+1v1 ⇒ p = 0,γ−1γ−1=v1 ⇒ p → ∞,γ+1v0 =v∞1v= ,ρρ22 v22ρ12 v12+ p1 =+ p2 ,ρ1ρ2так как m21 = ρ21 v12 и m22 = ρ22 v22 , то получаем m2 (v1 − v2 ) = p2 − p1 .1m2 ρρ21−ρ= p2 p1 ⇒ sign(p2 − p1 ) = sign(ρ2 − ρ1 ).ρ2Теорема 1. для нормального газа уравнение адиабаты Гюгонио принимает видV = W (p, v1 , p1 ), причем ∂W< 0.∂pДоказательство.
Дифференцируя H по V , получим 2Hv = 2Cv + p + p1 > 0, чтоозначает, что H монотонно возрастает с ростом V .H → ∞ при v → ∞.H(0, p, v1 , p1 ) = −e1 − 21 v1 (p1 + p2 )limv→∞ e(V, p) = 0 ⇒ найдется точка по теореме о неявной функции V = W (p, v1 , p1 ),в которой H = 0 : H(W (p), p, v1 , p1 ) = 0.
(2ev + p + p1 ) ∂W+ (2ep + Wp − v1 ) = 0∂p∂HВ первых скобках стоит выражение ∂V > 0 выражение во вторых скобках такжеp +e1 pбольше нуля. pep > e, 2ep + w(p) − v1 = 2ep − 2[e(V,p)−e]> 2ep+p> 0. Отсюдаp+p11∂Wследует, что ∂p < 0 что и требовалось доказать.12Поведение вблизи центра.Следующая теорема характеризует поведение адиабаты Гюгонио вблизи ее центра.Пусть S(p) = σ(W (p), p)— значения энтропии вдоль адиабаты Гюгонио. Индексом1 обозначается значения величин в центре.Теорема 2. Для нормального газа справедливо предельное соотношение, и в центре (V1 , p1 ) адиабата Гюгонио имеет адиабатой a(S1 ) касания второго порядка.limp→p1S(p) − S(p1 )= k1 > 0.(p − p1 )3Доказательство.
Адиабата Г плюс ОТТ дает:T dS = dE + pdV .Дифференцируем адиабату Гюгонио по p: ẽ = e(W (p), p)2ẽp + W (p) − v1 + W 0 (p1 − p) = 0ẽp + pW 0 = T Sp(∗) 2T Sp = W 0 (p − p1 ) + v1 − W (p) ⇒ Sp (p1 ) = 0, dS= 0. Дифференцируем (∗) поdtp, получим 2Tp Sp + 2T Spp = W 00 (p − p1 ) + W 0 − W 0 ⇒ Spp (p1 ) = 0. Еще раз дифференцируя по p, получим 2T Sppp (p1 ) = W 00 (p1 ).
S = S1 + (p − p1 )Sp (p1 ) + 21 (p −p1 )2 Spp (p1 ) + 16 (p − p1 )3 Sppp (p1 ). Поскольку, мы показали, что первые члены равнынулю, то отсюда следует утверждение теоремы.Нам осталось доказать, что k1 > 0. Мы получили 2T (p1 )Sppp (p1 ) = w00 (p1 ). Рассмотрим уравнение состояния нормального газа p = g(W (p), S(p)). Для нормальногогаза g > 0, gv < 0, gvv > 0, gS > 0. Дифференцируя уравнение состояния по p двараза, получим1 = gv W 0 + Sp (p),0 = gvv W 02 + gv W 00 + 2GSV W 0 S 0 + gSS Sp2 + gS Spp .В силу предыдущего, в точке V1 , p1 эти равенства принимают видgV W 0 = 1,gV V W 02 + GV W 00 = 0.В результате получаем, что W 00 (p1 ) = −gV V /gV3 ⇒ k1 > 0.Соотношение доказанное в теореме 2, показывает, что локально, вблизи центраV1 , p1 энтропия монотонно возрастает с ростом p. Оказывается, это свойство справедливо и в целомТеорема 3.
Вдоль адиабаты Гюгонио всюду S 0 (p) > 0.Доказательство. В силу теоремы 2, это неравенство выполненно в окрестноститочки p1 . Пусть S 0 (p2 ) = 0 в некоторой точке p2 6= p1 . Тогда определена прямая−V1. С другой стороны, в точке p2 W 0 (p2 ) =l12 с угловым коэффициентом k = Vp22 −p1W (p2 )−V1.p2 −p1Следовательно, прямая l12 касается адиабаты гюгонио в точке V2 , p2 .
Изпредыдущих результатов следует, что энтропия S вдоль прямой l12 принимает вточке p2 максимальное значение. Если рассмотреть изменение функции Гюгонио Hвдоль прямой l12 , то для ее дифференциала получим11dH = d + (V − V1 )dp + (p + p1 )dV = d + pdV.2213Последнее равенство выполнено в силу уравнения V = V1 + k(p − p1 )— прямой l12 .Используем первый закон термодинамики, получим T dS = dH.
Поскольку функцияH обращается в ноль в точках (V1 , p1 ) и (V2 , p2 ), то по теореме ройля в интервале(p1 , p2 ) найдется точка p3 , в которой dH = 0. Отсюда, dS(p3 ) = 0, что противоречиттому, что на прямой l12 имеется единственная стационарная точка.Следствие.
Адиабата Гугонио звёздна относительно своего центра V1 , p1 . Этоозначает, что каждый луч, выходящий из центра, либо вообще не пересекаетадиабату Г., либо пересекает ее только в одной точке.Качественное картина ударного перехода.1. Вдоль всей адиабаты Гюгонио Энтропия S строго возрастает с ростом p.2. Ударная волна всегда вызывает повышение давления и сжатия газа; ударныеволны разряжения невозможны.Действительно, если состояние 1 находится перед фронтом ударной волны, то S2 >S1 , так как Sp > 0, следовательно, p2 > p1 , ρ2 > ρ1 .Следующая теорема фактически равносильна свойству возрастания энтропии вдольадиабаты Гюгонио.Теорема 4 (Цемплена).
Абсолютная величина нормальной составляющей скорости движения газа относительно ударной волны больше скорости звука передфронтом и меньше скорости звука за фронтом, то есть если состояние 1 передфронтом, то |v1 | = |vn1 − Dn | > c1 , |v2 | = |vn2 − Dn | > c2 .Доказательство. Рассмотрим изменение энтропии S вдоль прямой p − p1 = k(V −V1 ), проходящей через центр V1 , p1 адиабаты Г. и какую-нибудь ее точку V2 , p2 , p2 >−p1< 0. В силу того, что в некоторой точке между указаннымиp1 , так что k = Vp22 −V1точками dS = 0, то в этой точке S достигает максимума. Поэтому, на концах интервала:dSdS< 0,> 0.dV 1dV 2Дифференцирование по V уравнения p = g(V, S) вдоль нашей прямлй дает соотdSношение k = gV + gS dV, Откуда в силу того, что gS > 0 и последних неравенствследует, чтоgV 1 > k > gV 2 .Поскольку gV = −ρ2 c2 , то полученная цепочка неравенств равносильна следующейρ22 c22 >Если подставить Vi =ства1ρip2 − p1> ρ21 c21 .V1 − V2и учтем уравнение сильного разрыва, то получим неравенc22 >ρ 1 p2 − p1= v22 ,ρ2 ρ2 − ρ114ρ 2 p2 − p1= v12 ,ρ1 ρ2 − ρ1которое равносильно утверждению теоремы.c21 <Следствие.
1.limρ2 →ρ1p2 − p1p2 − p1= lim= c21 ,ρ2 − ρ1 p2 →p1 ρ2 − ρ12. lim |vn1 − Dn | = lim |vn2 − Dn | = c1 ,p2 →p13.lim vn2 −vn1p2 →p1 p2 −p1=p2 →p11.ρ1 c1Свойства определенности.Уравнения сильного разрыва для ударной волны связывают семь величин: vn1 , ρ1 , p1 , Vn2 , ρ2 , p2 , Dn .Так как для ударной волны всего имеется три уравнения, то четыре из этих величинмогут быть заданы, а остальные три определяются из этих уравнений.Теорема (Об определенности УВ). Для любого заданного движения (vn1 , ρ1 , p1 )существует единственный ударный переход, в котором одна из величин p2 , ρ2 , Dnимеет произвольное значение (для ρ2 и Dn с ограничением), причем этим заданием определяется и сторона фронта, в которой начинается движение.
Если кдвижению дополнительно задано vn2 , то ударный переход всегда существует, нов зависимости от абсолютной величины скачка [vn ] возможны одно или два решения. во втором случае единственное решение выделяется указанием стороныфронта, с которой находится движение.Доказательство. Отметим ограничения на переменные, упомянутые в теореме.Ограничения на ρ: если положение 1 находится перед фронтом, то ρ1 < ρ2 < ρ∞ =1, если положение 1 находится за фронтом, тоv∞ρ1 > ρ2 > ρ0 =1.v0v2 pОграничения на Dn : (vn1 − Dn )2 > v01−v11 .а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
