1612727047-4a4f6e44732b69c46a6fe73841ccf150 (828484), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Для области x < 0 начальныеданные при t = 0 имеют вид u = 0, c = c0 . В области определенности решенияограниченной справа характеристикой x = −c0 t газ покоится. непостоянное движение, примыкающее к этой области должно быть простой волной, а именно r-волной.В этом случае, r-волна будет центрирована в точке (0, 0). Следовательно, решениезадачи дается соотношениямиxu + σ(c) = σ(c0 ), u − c = .tВ случае политропного газа r0 =u=2c0γ−12x(c0 ),γ+1 tи решение получается в явном видеc=2γ −1xc0 −.γ+1γ+1 t2c0.В частности, скорость истечения политропного газа в вакуум равна umax = γ−1Задача о распаде произвольного разрыва.Сложное движение, возникающее в случае, когда в начальных данных имеется всего одна точка разыва первого рода основных величин называется задачей о распадепроизвольного разрыва. Мы рассмотрим полное решение этой задачи для одномерных движений с плоскими волнами.Постановка задачи: при t = 0 задаются начальные данные u1 , ρ1 , p1 (при x < 0) иu2 , ρ2 , p2 (при x > 0).
То есть, имеем два различных газа и условная перегородкамежду ними. Оба газа предполагаются нормальными, и требуется найти решениепри t > 0.Решение может включать простые и ударные волны, бегущие в разных направлениях. считаем ось x направленноф вправо. Всякая характеристика C+ всегда обращена вправо, а характеристика C− — влево. Таким образом, всегда простая l-волнаобращена вправо, а простая r-волна — влево.Метод (u, p)-диаграмм.(u, p)–диаграммой простых волн с центром в точке (u0 , p0 ) называется геометрическое место точек плоскости состояний движения, изображающих всевозможныесостояния (u, p) за простыми волнами, имеющими состояние (u0 , p0 ) перед волной.Пусть есть r-волна с уравнением r = r0 , тогда уравнение (u, p)-диаграммы с центром (u0 , p0 ) простых r-волн запишется в виде u + σ(p) = u0 + σ(p0 ), а для простых24l-волн в виде: u − σ(p)R = u0 − σ(p0 ).ρ2cДля r-волны σ(ρ) = 0 ρc dρ, для политропного газа σ(c) = γ−1.
Дифференцируяуравнение r-волны по p, находим первую и вторую производную: du+ ρc dρ= 0.dpdpdρc∂σ1Учитывая, что ρ = ∂ρ , и dp = c2 , получаем выражение для первой производнойdu1= − cρ. Аналогично выводится вторая производная. Для l-волны наклон будет вdp2c012c2cдругую сторону, и du= cρ.
При этом σ(c) = γ−1, тогда u + γ−1= u0 + γ−1. Втораяdpпроизводнаяd2 udp2=d(cρ)dpc2 ρ 2. Легко видеть, чтоd(cρ)dp=1cfρρ+ ρ 2cf. Здесь p = f (ρ, S0 )—ρf2уравнение состояния. c = fρ . так как2+ρ ρρ2= fρρ c12 . Отсюда ddpu2 = ρ2 cf3ρ . Посколь2то ddpu2 = 2+m> 0.
Отсюда следует, чтоρ 2 c3∂fρ ∂ρ∂p ∂pку m = ρ ffρρρ > 0 для нормального газа,кривая — выпукла вниз, и уравнение ударного перехода принимает вид(u − u0 )2 = (p − p0 )(v0 − w(p, v0 , p0 )).(2)Это есть уравнение (u, p)-диаграммы ударных волн. Мы используем следующее очевидное определение: (u, p)-диаграммой ударных волн с центром (u0 , p0 ) называетсягеометрическое место точек плоскости состояний движения, изображающих всевозможные состояния (u, p), в которые состояние (u0 , p0 ) при фиксированном значенииэнтропии S0 может перейти в ударных волнах. Очевидно, (u, p)-диаграмма ударныхволн симметрична относительно прямой u = u0 .
Дифференцирование уравнения (1)один и два раза по p дает соотношения2(u − u0 )Как известно,2( du)2dpdwdpdwdu= v0 − w(p, v0 , p0 ) − (p − p0 ) .dpdp(3)< 0, что видно и по графику, и дифференцируя второй раз, по22лучим+ 2(u − u0 ) ddpu2 = −2 dw− (p − p0 ) ddpw2 . Наконец, дифференцируя третийdpраз, получимdu d2 ud3 udu d2 u2+2(u−u)+4=0dp dp2dp3dp dp2d2 wd3 w= −3 2 − (p − p0 ) 3 .dpdpРассматривая вторую и третью производную в точке 0, получим(du 2dw) |0 = − |0dpdp—характеризует угол наклона, иdu d2 ud2 w2 |0 2 |0 = − 2 |0dp dpdp— характеризует кривизну. Подсчитаем dwв окрестности нуля.
Для этого подставимdpвместо v = w(p) в формулу p = ρ(v, S0 ) и продифференцируем два раза по p:dw1|0 = |0 ,dpρvρvvd2 w|0 = − 3 .2dpρv25Для нормального газа ρ > 0, ρv > 0, ρvv > 0, ρS > 0. Имеем v =1ρиρv = −ρ2 c2 ,ρvv = −(ρ2 c2 )v =1 ∂(ρ2 c2 )= ρ3 (2fρ + ρfρρ ).v 2 ∂ρПолучаемd2 u2+m|0 = ∓ 2 3 .2dp2ρ0 c0Умножим обе части формулы (2) на (p − p0 ), получим2((u − u0 )(p − p0 )dudw= (p − p0 )(v0 − w) − (p − p0 )2 .dpdpВ правой части первый член равен (u − u0 )2 > 0, а dw< 0, то есть правая частьdpduположительна, то есть (u − u0 )(p − p0 ) dp > 0. Отсюда следует, что каждая и ветвей есть монотонная кривая, вдоль которой принимаются все значения давления0 < p < ∞. Кинематическое различие этих ветвей выясняется с помощью законасохранения массы в ударном переходе, обращенной влево(u − D)v0 = (u0 − D)v.Этот закон можно преобразовать к виду(u − u0 )v0 = (D − u0 )(v0 − v).Умножая это равенство на p − p0 , мы видим, что знак произведения (u − u0 )(p − p0 )совпадает со знаком величины D − u0 , который определяется тем.
куда обращена ударная волна. Именно: D > u0 для волн, обращенных вправо и D < u0 , для>0волн, обращенных влево. Это означает, что ветвь up-диаграммы, на которой dudpduсоответствует волнам, обращенным вправо, а ветвь, на которой dp < 0— влево.Значение производнойd2 udp2в центре (u0 , p0 ) вычисляется путем дифференцирования20 +2выражения дляи его преобразования: ( ddpu2 )(u0 ,p0 ) = − m. Сравнение получен2ρ20 c20ных формул для производных показывает, что up-диаграммы простых и ударныхволн с центром (u0 , p0 ) имеют в этом центре одинаковый наклон и одинаковую кривизну, то есть имеют касание второго порядка.алгоритм расчета распада произвольного разрыва (ПР) Основной качественный результат:dudpТеорема 1.
Задача о распаде произвольного разрыва в нормальном газе при любыхначальных данных имеет одно и только одно автомодельное решение.Доказательство. Согласно теореме единственности, в некоторой окрестности полуоси x < 0 решение постоянно u = u1 , ρ = ρ1 , p = p1 . Это решение может измениться либо непрерывным образом в некоторой центрированной r-волне разряжения, либо через ударную волну, обращенную влево. Совмещение этих решений26дает up-диаграмму возможных состояний.
Аналогично строится up-диаграмма возможных состояний, в которые может перейти состояние x > 0 посредством волн,обращенных вправо. Совмещая эти диаграммы на одном чертеже, мы видим, чтоони обязательно пересекутся, притом в одной точке. Всего имеется 10 типов случаевв зависимости от отго, на какие части ударного (У) или непрерывного (П) переходапопадает точка пересечения. Эта точка пересечения (u3 , p3 ) дает решение.Доказательство единственности автомодельного решения основано на замечании,что в таком решении не может быть двух различных характеристик (траекторий)в виде лучей x = λt.Задача об ударной трубе.Два покоящихся газа разделены заслонкой в сечении x = 0.
слева газ 1 с параметрами ρ1 , p1 , справа газ 2 с параметрами ρ2 , p2 (p1 > p2 ). В момент времени t = 0заслонка убирается. Описать последующее движение газа для t > 0. В этой постановке задача является частным случаем задачи о распаде произвольного разрыва.Согласно up-диаграмме, точка u3 , p3 находится в результате решения системы уравненийu3 + σ(p3 ) = σ(p1 ),pu3 = (p3 − p2 )(V2 − W (p3 , V2 , p2 )).Затем, по адиабате пуассона, для состояния 1 определяется удельный объем V30 и поадиабате Гюгонио с центром в V2 , p2 удельный объем V300 . Наконец, скорость ударной волны находится из закона сохранения массы, который приводит к формулеV2D = V2 −V00 u3 .3Задача о поршне.В сечении x = 0 труба перекрыта поршнем справа от которого находится покоящийся газ с параметрами ρ1 , p1 .
В момент времени t = 0 поршень начинает двигаться спостоянной скоростью U в любую сторону. Получится либо волна сжатия (U > 0—поршень движется в сторону газа), либо волна разрежения (U < 0).Для расчета первого варианта используем уравнение up-диаграммы ударных волн,в котором полагаем u0 = 0, u = U, (V0 , p0 ) = (V1 , p1 ), и рассматривая его, как уравнение для p = p2 > p1 :U 2 = (p2 − p1 )(V1 − W (p2 , V1 , p1 )).После определения p2 находим удельный объем по формуле V2 = W (p2 , V1 , p1 ), а1U.затем— скорость ударной волны, что дает D = V1V−V2Для расчета второго варианта используем уравнение up-диаграммы простой l-волны,которое принимает вид σ(p2 ) = σ(p1 ) + U, U < 0.
По известному p2 термодинамические величины находятся из уравнения состояния газа:p2 = g(V2 , S1 ), ρ2 =1 2, c = fρ (ρ2 , S1 ).V2Отражение ударной волны от жесткой стенки.По трубе, заполненной покоящимся газом с параметрами ρ1 , p1 и закрытой справа27в x = 0 жесткой стенкой идет ударной волна, перемещающаяся слева направо с постоянной скоростью D. В момент времени t = 0 ударная волна достигает закрытогоконца. Требуется описать и расчитать движение газа для t > 0.Наличие жесткой стенки подразумевает выполнение условия непротекания u(0, t) =0.Здесь состояние 2 за ударной волной можно считать известными все основные величины: u2 , ρ2 , p2 . Поэтому для t > 0 получается автомодельная краевая задачас граничным условием на контактной характеристике x = 0. Характерными элементами решения являются падающая на стенку и отраженная от стенки ударныеволны.
Поскольку состояние 2 известно, то за основу расчета берется up-диаграммаударных волн с центром в точке u2 , p2 . Оба давления p1 , p3 является корнями уравнения(p − p2 )(V2 − W (p, V2 , p2 )) = u22 .Величина p1 удовлетворяет этому уравнению автоматически, и из этого уравнениянаходим p3 , а после нахождения p3 остальные величины определяются обычнымпутем. В частности, для скорости D0 отраженной ударной волны по ЗСМ получим−ρ1D.D0 = − ρρ32 −ρ2Существенная особенность отражения ударной волны состоит в том, что действиепадающей волны после отражения усиливается. Коэффициент усиления характеризует отношение избыточного давления p3 − p1 , получаемого после отражения кизбыточному давлению p2 − p1 , падающей ударной волны.Для слабой ударной волны R = 2, а для сильных ударных волн (политропный газ)R = 8.Задача о взаимодействие ударных волн.По трубе, заполненной покоящимся газом, с параметрами ρ1 , p1 идет ударная волна,с постоянной скоростью D2 .
Имеется вторая ударная волна, которая перемещаетсятакже с постоянной скоростью D3 . Требуется дать описание и расчет движения после момента встречи этих волн. Возможны два случая:а. Ударные волны движутся навстречу друг другу. И значит обе идут по состоянию1.б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
