1612727047-4a4f6e44732b69c46a6fe73841ccf150 (828484), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Дифференцируя h по t, получаем dh= ht + uhr = 0 и, поскольку hr = 1,dt19то нормальный характеристический вектор запишется в виде ξ = (1, −r0 (t)) и величина χ = u − r0 (t). Отсюда получаются следующие дифференциальные уравненияхарактеристик исходной системы(C0 )dr= u,dtdr= u + c,dtdr(C− )= u − c.dtДля получения условий на характерстиках находят левые собственные векторыматрицы A(ξ). Для характеристик C0 это вектор λ0 = (0, −c1 , 1). Вводя компактную∂∂запись дифференциального оператора, D0 = ∂t+ u ∂r, получим первое уравнение2системы в характеристической форму D0 p = c D0 ρ, D0 S = 0. Аналогично, вводя∂∂+ (u + c) ∂r,дифференциальные операторы D+ = ∂t∂∂D− = ∂t + (u − c) ∂r ,получим второе и третье уравнение исходной системы в характеристической форме:1D+ p = νr cu,(C+ ) D+ u + ρc1D− p = − νr cu.(C− ) D− u − ρc(C+ )Лемма (о плотности).
Если движение непрерывно, и ρ = 0 в некоторой точке M ,то ρ = 0 вдоль всей характеристики C0 (M ) (то есть, во всех точках траектории,проходящей через точку M ).Доказательство. Уравнение неразрывности с использованием оператора D0 переписывается в виде оду для величины ρ вдоль C0 :νD0 ρ = −(ur + u)ρ.rТак как коэффициент при rhoв правой части уравнкения непрерывен, то в силуединственности решения из условия ρ(M ) = 0 следует ρ(C0 (M )) = 0.Теорема единственности.Пусть непрерывное движение опрделено в полуполосе (0 6 t 6 T, r > 0), и пустьточка M в этой полуполосе выбрана так, что характеристики, проходящие через M ,достигают оси Ox(t = 0). Тогда образуется характеристический треугольник AM Bс основанием AB на оси Ox.Теорема (единственности). Если решение u непрерывно дифференцируемо в характеристическом треугольнике и u0 — другое решение, тоже непрерывно дифференцируемое, и они совпадают на основании A, B, то они совпадают и всемтреугольнике AM B.204.
Одномерные неустановившиеся движения газаИзэнтропические движения с плоскими волнами инварианты Римана,простые волны,. . ..Изэнтропические одномерные движения газа с плоскими волнами являются однойиз простейших моделей неусттановившихся движений газа. (изэнтропия— неизменность энтропии в процессе движения газа). В качестве исходных уравнений возьмемследующиеut + uux +c2ρx = 0,ρρt + uρx + rhoux = 0,c2 = f0 (ρ, S0 ).(1)Определим инварианты Риманавеличины u±σ(c)— называются инвариантами Римана. В этих обозначениях в силу,того, что на звуковых характеристиках: D+ (u + σ(c)) = 0 и D− (u − σ(c)) = 0,характеристическая форма системы (1) принимает вид(C+ )dx= u + c,dtr = u + σ(c) = const,dx= u − c, l = u − σ(c) = const.dtДругими словами, вдоль каждой характеристики C+ сохраняет постоянное значение инвариант римана r, а вдоль каждой характеристики C− сохраняет постоянноезначение инвариант римана l.2c.
Инварианты римана вВ случае политропного газа p = Aργ и фунция σ(c) = γ−1политропном газе даются формулами(C− )r =u+2c,γ−1l =u−2c.γ−1Простые волны.Простая волна— это такое движение, в котором основные величины u, p, ρ зависятот одной функции α = α(x, t)— параметра простой волны. При этом линни уровняα(x, t) = const образуют семейство характеристик на плоскости R2 . Справедливаследующая теорема.Теорема (о простой волне).
В каждой простой волне, если она не есть постоянное движение, один и только один из инвариантов Римана r или l сохраняеттождественно постоянное значение. Если в простой волне r = const, то ее линиями уровня являются прямолинейные характеристики семейства C− . А если впростой волне l = const, то ее линиями уровня являются прямолинейные характеристики семейства C+ . Обратно, если в некоторой области движение непостоянно, и один из вариантов Римана тождественно постоянен, то движение вэтой области есть простая волна.21Доказательство. Имеем r = r(α), l = l(α). Подстановка этого представления вуравнение характеристик приводит их к равенствам D+ r = r0 (α)D+ α, D− l =l0 (α)D− α. Очевидно, имеется четыре возможности удовлетворить этим двум равенствам одновременно:1.
r0 (α) = 0 и l0 (α) = 0— означает оба инварианта тождественно постоянны, чтодает не простую волну, а постоянное движение.2. D+ α = 0 и D− α = 0— также не годится, так как приводит к равенству αt = αx = 0,что равносильно тому, что α = const и не может быть параметром простой волны.3. r0 (α) = 0, D− α = 0. В этом случае r = const и параметр α постоянен вдольхаратеристики C− . Так как вдоль каждой характеристики C− постоянен инвариантРимана l, то вдоль каждой характеристики постоянны величины u и c, а с ними= u − c, то есть характеристика C− —угловой коэффициент характеристики dxdtпрямая линия.4. этот случай рассматривается аналогично.Обратно: Если в некоторой области непостоянного движения например r = const,тогда инвариант l нетождественно постоянен, и обе величиы u и c являются функциями только от l.
Согласно определению движение в рассматриваемой областиесть простая волна.Простая волна, в которой тождественно постоянен инвариант Римана r(l) называется r-волной (l-волной). Уравнение прямолинейных характеристик для простыхволн легко интегрируется. Например, в случае R-волны в уравнении характеристикC− : dx − (u − c)dt = 0, коэффициент u − c— постоянный в силу чего вдоль этиххарактеристик x − (u − c)t = const. Аналогично интегрируется уравнение характеристик C+ в простой l-волне: x − (u + c)t = const.Итак, уравнение простых волн могут быть записаны в следующем виде. Уравнения r-волны:r = u + σ(c) = r0 = const,x − (u − c)t = F (u);Уравнения l-волны:l = u − σ(c) = l0 = const,x − (u + c)t = F (u).Теорема о примыкании.Возникает задача о распознавании плоских волн.
Следующая теорема дает общеедостаточное условие существования простой волны.Теорема (О примыкании). Если в непрерывном (одномерном, с плоскими волнами) движении газа есть характеристика C+ (или C− ), не являющиеся линиейвакуума, вдоль еоторой величины u, ρ, p постоянны, то в окрестности этой характеристики, с каждой ее стороны, данное движение является изэнтропическими либо постоянным, либо простой l-волной (r-волной). В частности, непостоянное изэнтропическое движение, непрерывно примыкающее к постоянному, всегдаесть простая волна.22Доказательство.
Пусть вдоль характеристики C+ величины u, ρ, p постоянны. Тогда вдоль нее постоянна энтропия S = S0 . Пусть Ω0 ⊂ R2 (x, t)— множество, состоящее из точек всех траекторий C0 , пересекающих данную характеристику C+ . таккак C+ не есть линия вакуума, то Ω0 является областью. Ясно, что в этой областиэнтропия тождественно постоянна.
Пусть Ω− — мнжество, состоящее из всех точекхарактеристик C− , пересекающих C+ . Так как инвариант Римана l — постоянныйвдоль каждой кривой C+ и C− , то он тождественно постоянен в области Ω− . Следовательно, если на пересечении областей Ω0 ∩ Ω− движение непостоянно, то в силутеоремы 1 это движение есть простая l-волна. Аналогично рассматривается случай,u, ρ, p— постоянны вдоль некоторой характеристики C− .Докажем вторую часть теоремы.
Если непостоянная изэнтропичеаское движениепримыкает к постоянному движению вдоль некоторой линии L, то вдоль этой линии должен быть слабый разрыв. Следовательно, L должна быть характеристикой.В силу изэнтропичности движения L может быть только звуковой характеристикой, например, C+ . Поскольку она принадлежит находящемуся по одну сторону отнее постоянному решению, то вдоль этой характеристики величины u, ρ, p постоянны.
По первой части теоремы по другую сторону от C+ движение есть простаяволна.Центрированные простые волны.Определение. Простая r-волна (l-волна) называется центрированной в точке (x0 , t0 ),если все ее прямолинейные характеристики C− (соответственно, C+ ) пересекаютсяв точке x0 , t0 .Например, если простая r-волна центрирована в точке (x0 , t0 ), то ее уравнение= u − c (так как F (u) = 0).Аналогично выписывается уравнения центрированной l-волны.Волны сжатия и разряжения.При распространении простой волны плотность ρ в каждой точке увеличиваетсяили уменьшается. Понятно, что направление изменения плотности характеризуют∂∂ся знаком производной D0 (ρ), где D0 = ∂t+ u ∂x= dtd .При D0 ρ < 0 имеем волну разряжения, а пои D0 > 0— волну сжатия.Имеет местоx−x0t−t0Теорема.
В волне сжатия (разряжения) характеристики прямолинейного семейства сходятся (расходятся) с ростом t.Доказательство. Пусть r— волна сжатия: r = u + σ(ρ) = r0 , D0 (ρ) > 0. Имеемρt + uρx + rhoux = 0. Дифференцируя уравнение волны сжатия по x, получимxux + σ 0 (ρ)ρx = 0, откуда ρx = − σu0 (ρ). Уравнение характеристики C− dx= u − c.dt∂c2Дифференцируя u − c по x, получим u − cx = ux − ∂ρ ρx . Так как c == fρ , то2ccρ = fρρ и справедлива формула kx = − m+2D0 (ρ). Так как в нормальном газе m2ρположительно, то отсюда следует утверждение теоремы.23Градиентная катастрофа.в простых волнах сжатия непрерывное движение газа не может существовать долго. Действительно, при сближающихся характеристиках они (эти характеристики)должны пересечься при некотором значении t.
При этом происходит неограниченный рост градиентов основных величин, то есть ux , px и так далее. Такого сортаявление называется градиентной катастрофой.Задача об истечении газа в вакууме.Пусть левая часть цилиндрической трубы заполнена покоящимся газом, удерживаемым заслонкой в сечении x = 0, справа от которой находится вакуум. В моментвремени t = 0 заслонка убирается и начинается процесс истечения газа в вакууме.Требуется найти возникающее одномерное движение, если известна скорость звукаc0 в покоящемся газе и его уравнение состояния σ(c).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
