1612727554-7422b28b59adffe5b22446310d759047 (828458), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Решение этой задачи принадлежит С. В. Измайлову. Пусть к стенке приближается / ', ударная волна. Состояние газа у у1тамж ', 1 ° стенки перед фронтом набегающей волны характеризуется величинами: ра (давление), ра (плотность), и = О (скорость). Состояние газа за фронтом набегающей ударной волны характеризуется значениями рь рь иь После отражения состояние газа за фронтом отраженной волны характеризуется значениями ря, рм и = О (так как стенки неподвижны). Распределение параметров газа до и после отражения в координатах 1, х показано яа рнс, 1О4, где цифрами О, 1, 2 обозначены соответствующие зоны, Если пада1ощая яа стенку волна стационарна, то н отраженная волна также должна быть стационарной, Между фронтом отраженной ударной волны и стенкой возникнет область покоя (и=О). Для того чтобы газ у стенки остановился, он $ 471 отехжвнив валеных волн от ивдевоемигтвмой пгвггхды 3!9 должен получить скорость и„численно равную иь но противоположную по знаку.
Поэтому условие неподвижности стенки можно выразить так: — =о. Используя основные соотношения для ударных волн, перепишем уравнение (47,1) в виде М(р~ — Ро)(оо од =У (Рз р,)(о, — и,), (47,2) где и =1/р. Отсюда получаем: ~~ — Ро (1 гв ) (1 тз) ' 47 3) гв ~~ г~ гэ ' Для политропического газа отношения р!/ре и рт/р! определяются уравнениями Гюгонио для набегающей и отраженной ударных волн: откуда Рэ (Зз — 1) Рт — (а — 1) Рч (47,6 р~ (ф 1)р~+(а+ 1) г ) Для сильной волны (р,»ре) р, За — 1 р~ а — 1 что для Й = 1,4 дает Рз = 8 Р. Из выражения (47,6) получим отношение для избыточных давлений Рх — Ро 1 + 2арз (47,7) Рч Ро (з 1)рз+ (з+ 1) Рв При отражении слабой волны (Р~ — Ро((ро) будем иметь Рз — Ро = 2 (Р~ — Ро).
т. е. приходим к результату, известному в акустике. Уравнение (47,6) легко привести к виду 2арз (р! — Рр) (" — 1) Р!+ (а + 1) Ро (47,8) (ч (»+ 1) Р + (а — 1) р . ге (а — 1)р~+(а+1)ро ' (а + 1) Рз+ (а — 1) Рт Обозначив Р!/Рз = к! и Рз/Р! =им после подстановки значений ро/р~ и р~/рз в уравнение (47.3) получим следующее выражение: (~,— 1)' — '1 ) д+( + )1( ' ), (47,5) (а + 1) чз + (а — 1) 320 порлмвтры хдленых волн но граница воздело срвд (гл. ~х Поскольку внутреннее давление газа в набегающей волне есть рь то второй член правой части уравнения (47,8) определяет давление, создаваемое скоростным напором потока среды за фронтом набегающей ударной волны.
Используя основные уравнения (47,2) и (47,4), избыточное давление в набегающей волне Р~ — ро можно выразить так: — Ро Р— Ро 4 Ри ~1+ 1+(,, —, . (47,9) ) р,и Подставляя значения (Р~ — Ро) и р, из последнего соотношения в уравнение (47,8), получим: Ро Ро = (Ро — Ро) + + '2'Р,и', 1+„(,+~1) 1+ 1+ «,~~~, — ", . (47.10) Скорость Ро отраженной ударной волны определим из соотношения Ао= — и, м +ап ГРо Ро р' о,— оо После подстановки значений ро, и, и оо из соотношений (47,6), (47,2) и (47,4) придем к выражению [(й — 1) р, +ро[. (47,12) Скачок плотности при отражении ударной волны определим из соотношения (47,4), подставляя в него значение ро из уравнения (47,6): Ро аРо (47,13) Ро (о — ))Р1+Ро что для сильной волны (р~))ро) дает ро!р1 —— 3,5 (1=1,4), или р,/ро= 21, т. е. при отражении плотность воздуха у стенки резко возрастает.
Результаты решения для идеального газа при различных значениях й и для воздуха приведены на рнс. 105. Лля воздуха результаты справедливы до значения я <40. При отражении нестационарной ударной волны значения параметров отраженной волны (рь рь 0о) следует рассматривать в качестве начальных, соответствующих моменту отражения, Заметим также, что' решение задачи существенно услож- няется, если учитывать изменение теплоемкости воздуха с рос'том температуры. й 47) отражение ударных волн от недееормирремой преграды 32! е 6 3 Р 5 5 р 5 г / г г5ббюбш гб5) з)юш ююзюзююваб)ив б) ~ дкйз г I г Збягнв з)з) з)юш зюзюзю яюзшзш а) зг д))Ь г,/Ю кб аб Рис.
105. Зависимость а) скачка давления, б) — скачка плотности, в) скачка температуры в отраженмой ударной волне от скачка давления в набегаизщей ударной / г 5зббшю гбз)гбюш зюзюзюгшююзш волне. Р) л' Вычисления при косом отражении ударной волны приведены только для волн, распространяющихся в идеальном газе. Пусть фронт плоской ударной волны, имеющей скорость г)„ подходит к преграде под углом фе (рис. 106). Параметры Рис. 106. «Косое» отражение ударной волны от иедеформируемой стенки.
невозмущенного газа перед фронтом набегающей ударной волны Ръ ра (область О), те же параметры за фронтом ударной волны (область 1) — рз и р, и скорость иь Параметры газа за фронтом 21 Физика азрмаа Более сложным является процесс отражения ударной волны, подходящей к поверхности недеформнруемой стенки под углом фа ) 0', где ф — угол между фронтом набегающей волны и стенкой.
322 плгливтты удавных волн нл голиице тлздвлл стад (гл. »х отраженной ударной волны (область 2) рь рт и ит. Угол между стенкой и отраженной ударной волной Фт. Для определения параметров отраженной ударной волны задачу удобно рассматривать в подвижной системе координат, для которой линия пересечения фронта ударной волны с поверхностью преграды неподвижна. Обозначим скорости газа Рис. 107. «Косое» отрад«емме ударной волин от аедеформируемой стенки в областях О, 1, 2 в подвижной системе координат соответственно через «7о, «7~ и «7» (рис. 107). Как это следует из рисунка, '7о = ° (47,14) Составляющие этой скорости, перпендикулярная и парал.
лельная фронту волны, равны Р, и †. После перехода через О» 1к то фронт ударной волны (область 1) скорость газа изменяется по величине и направлению. Составляющая скорости, параллель. В ная фронту ударной волны —, не изменится. Это объясняется «о то' тем, что в газовом потоке, где все силы перпендикулярны к поверхности, на которую они действуют, касательная составляю. щая потока импульса должна оставаться непрерывной при переходе через фронт. Непрерывность касательной составляющей потока импульса требует непрерывности касательной составляющей скорости.
Составляющая скорости, перпендикулярная фронту, уменьшится и станет равной Р, — иь так как за фронтом набегаю. щей ударной волны скорость среды равна иь Следовательно, (47,15) $471 отражение тдлрных волн от неавоормнррвмой пгегрзаы 323 иг сов (тс+ 6) (47,16) соз рз Угол 5 можно определить из соотношения нли (я то О~ Но так как — ро 1 Е>т К то 13(т,— е) р, 1ят р ' (47,17) Термодинамические величины р и о для соседних областей связаны соотношениями Гюгонио: ос (1+1)Рт+(и — 1)Ро (47,18) оз (Ф вЂ” 1)Ра+(а+1)Ро ос (и+1)Рс+(и — 1)Рт оз (" — 1)Рс+(и+1)Рз (47,19) Три вектора скорости, до, д~ и дм можно определить, если воспользоваться нзвестнымн соотношениями для косой ударной 31и Угол между векторами до и д~ равен 3.
Мы видим, что при переходе потока через фронт ударной волны скорость потока изменяет направление, поворачиваясь на угол 6 влево (к стенке). Направление скорости вблизи стенки должно быть параллельно стенке. Поэтому при переходе потока через фронт отраженной ударной волны вектор скорости потока д, снова должен повер. нуться в противоположную сторону на угол 3. Эти рассуждения справедливы, если фронт отраженной ударной волны проходит через точку О. Угол ез между фронтом отраженной ударной волны и стенкой в общем случае не равен ео и является искомой величиной. При переходе потока через фронт отраженной ударной волны составляющие скорости потоков д~ и дм параллельные фронту волны, должны быть равны по указанной выше причине.
Это позволяет определить ~уз (см. рис. 107); 324 плвлметгы валеных волн нл гелннце влзделл свед [гл. ~х волны. Параметры состояния р» и о» и скорости»7» в соседних областях связаны четырьмя квадратными ур оо (Р» — Ро) = Чо Ыо А)ю о» (Ро — Р») = »7» (»7» '7о) %» (Рг Рй) = А (Р» — »7») ой(Р» Рг) = А(Рй»7») авнениями: (47,20) Из этих уравнений и определяются векторы скоростей»7», »7» и »7г.
Дополнительное условие есть »7о Х Чй = 0з (47,21) означающее, что»7г и»7, паРаллельны. Уравнение (47,20) можно переписать так: (т»о+ о») (Р» — Ро) = »уо — »7ь' (и» + ой) (Рг Р») = »7» Ргг (47,22) Решение системы квадратных уравнений с использованием установленных выше соотношений принципиальных трудностей не вызывает, но довольно громоздко.
Мы приведем лишь некоторые окончательные зависимости в форме, предложенной в работе Куранта и Фридрихса: ( ) 1 ~ — — йг — — М, (47,23 1+ ~ + ( — +»й')»,', 1 + Н йй + (ег +»й ) й 1ей — — Е, (47,24) ( + — ')(1+Р) (»'+ )(1+»й) яй(] Нй)й(г г ) +я ((! 1»й)й (г гй)й Ьй+ гггй)г) (Го Гй) = 0 (47 25) где л — 1 ГО (й тОу (й (й тй н Из анализа приведенных зависимостей следует, что при заданном значении е» и 1» мы, решив квадратное уравнение (47,25), получим два значения для Гг (1й, н 1й ) и два соответствующих цм значения нг (нг, ц н~ ), Зависимость угла отражения ег ог.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
