1612727554-e4ffead1b409cedb78714fc892e62f15 (828059), страница 6
Текст из файла (страница 6)
б~ ~ + б~ У 8 Я Ю + Если все .три главные напряжения имеют один и тот же знак, то квщц)ика напряжений явля8тся зллипсоидом. Если же среди главных напряжений имеются числа разных. знаков, то квадрика напряжений есть объединение однополостного и двухполостного гиперболоидов. Возможны также случаи вырождения, когда некоторые главные напряжения обращаются в нуль; в атих случаях квадрика напряжений имеет либо форму цилиндра второго порядка, либо пары параллельных плоскостей.
Если квадрика напряжений фф~+ 1 задана как геометрическая поверхность ~~~~, то для каждого орта л вектор напряжения Я<л > может быть найден геометрическим построением. Оно основано на том, что Ч Ф~я) =ЯР(7. и на разложении вектора напряжения .Р<й>на нормальную составляющую ~Ъ Х и касательную составляющую Р,. Р< п ) =.,Р~; ~ +,Р~-, -(, ) Здесь.Х„'=л Ял>,а вектор Р определен формулой. ~4).
Величина р называется но мальным н яжение~, а Рт.-/ф~ мо лем.каса, тел ного н яжения на площадке с нормалью м.. Геометрическое построение состоит-в том, что для данного л определяетоя число л'.>о из условия Ф~уд~=+У, что дает точку 4~Я с радиус-вектором а = л' Ж . Направление нормали 9 к Е, в точке А дает направление вектора Р<л>. Для отыскания его длины на прямой, определяемой вектором Й, откладывается отре- зокАЯ дкины /АЗ/=1/к и через точкуЯ проводится плоскость, перпендикулярная л .
Пусть С есть точка пересечения атой плоскости с прямой, прохопящей через точку А с направляющим вектором ~ . Тогда Р~л>=А4, У~=З~Г и построение закончено. 4. Разложение (4) может быть использовано дкя представления ~правда, неполного) напряженного состояния в виде так называемой аммы Мо . Эта диаграмма строится на плоскости переменных (.Р , Х~). Пусть ~ Г '~- главный базис тензора У и пусть в етом базисе л.
=/Т,Г'. Тогда справедлива формула -з -в-,~ -~- д' Р( ж" = б~ Уъ~ е + Од /7~ Г ~- б л Г 3 3 с помощью которой и равенства 1.Р~й>~=2„' +Р, получаешься система рав8нств ж +ж +и =У. й,г Она рассматривается как система линейных уравнений относительно "неизвестных" и, . Если 6' ~ бл <6' то ее решение единст- в венно.
Это решение должно удовлетворять системе неравенств ~; ..~ о, которые, как показывает вычисление, равносильны сле- 4" ~~ 8 ~ ~ 6~-б~ (Рп — ) ~4~. ( — ) . В полуплоскости У„> О плоскости (.Р„ .Р ) зти неравенства в совокупности определяют область 6', ограниченную отрезком (б~„ О~) оси Р =О и тремя,,полуокружностями. Последние называются к .Мо а, а вся областью- аммой Мо а. Те и только те точки ~р , Р ~, которые принадлежат,Ф , дают нормальное напряжение и модуль касательного напряжения на некоторой площадке, нормаль к которой дается решением системы (5). Неполнота представления напряженного состояния с помощью диаграммы Мара связана с тем, что по ней определяется лишь Ф длина ~' вектора Р, а не сам этот вектор.
Позтому для построения вектора напряжения У~л) к диаграмме Мора требуется дополнительная информация, Из диаграммы Мора непосредственно следует,, что максимальное касательное напряжение, которое достигается в рассматриваемой точке области ~~, равно . б~-б~ .Р У юад: 5. Некоторые частные види напряженного состояния имеют специальные названия. Ниже они описываются путем указания соответствующего вида тензора напряжений в главных осях ~3), т.е. частного вида главных нормальных напряжений, ОННОССИСЕ ЯаПРЯИЕааОЕ СсотсЯЫЕ: б а П, бл б' -О . На ПЛО- щадку с нормалью е~ действует только нормальное напряжение (касательное. равно нулю), а на площадках с нормалью вида 7нЯ и~~, полный вектор напряжения равен нулю.
Напряженное состояние сотого с а: 6,+6~=0, о' = О. Нормальное напряжение на площадках с нормалью й- Я + е ~ равно нулю и на зтих же площадках достигается максимальное касательное напряжение„ вектор которого равен 2~ = — (е,~ е~~, "~уЯ паертеское аапРЯиеалое оостоаиие: ~,= бе =ол.
на лвбУв площадку действует только нормальное напряжение, величина которого равна 6~ . Плоское аапряиеааое оостсяаие: бе О. На площадках с иориальв ~ лектор яапрякеаиа ралли иулв. На площадках с иориальв вида иЯ~уне~~ вектор напряжения лежит в плоскости векторов е .5це одно понятие связано с' величиной с е его но мзльного напояжения Тензор Р'-'.Р-~Х называется евиато ом н яжений.. Он характеризуется, тем, что его первый инвариант равен нулю: .~~ ~Р ) = О, ~~.ж: 'А~-~ А~ =~.
Следовательно; квадрика деформаций всегда есть эллипсоид с по- луосями ъл т т ~+26; 6. В главных осях деформации матрйца тензора Т е Т является диагональной и может быть представлена в виде произведения трех таких диагональных ма*риц, в каждой из которых лишь один диагональный элемент может быть отличен от единицы. Из формулы (4) следует, что если А>1 (Я-~(У ), то МСеД>О(Я~е;)~0); в етом случае соответствулмея дееюрналия называется рмтямением 1снатием) вдоль оси Е, . моли ие Я, =У, то главное удлинение тоЯ) = О н де4срмалыя влсль осн е; отсутствует. Ие етнл фактов следует вывод: деформация малой окрестности частицы ' представляет собой композицию из трех растяжений (сжатий) вдоль главных осей деФормации.
Качественное представление о характере перемещения малой окрестности частицы А может быть получено с помощью полярного разложения тензора Т .О Л в композицию (произведение)ортогонального тензора О и симметричного положительно определенного тензораЛ . Последний однозначно определен тензором Т и так как Т" Т=Л О О Л =Л ,- имеет собственные значения, равные ~% . Если .М вЂ” частица из малой окрестности частицы А и АМ= Я в Ы„, то при перемещении сплошной среды из положения Я„в положение Я вектор перемещения частицы.Ммсжет быть записан в виде О =У. +Т~<«~ф>-~ф В силу полярного разложения 7~=0д А,~ перемещение частицы М, как преобразование.а~у «~у ~~~„, описывается формулой «ф.
«~~+ йР = Й~ + О А,~ (аф> . (5) Отсюда следует вывод: перемещение малой окрестности частицы А- сплошной среды есть композиция трех растяжений'(сжатий) этой окрестности вдоль главных осей деформации (преобразовениемЛл ), а также поворота (ортогональным преобразованием Ол ) и переноса (на вектор иГ~ ). этой окрестности. как твердого тела. 7. Наряду .с лагранжевым описанием деформации сплошной среды, приводящим к тенэару де4юрмаций.Е , иногда бывает удобным эйлерово описание.
В этом случае точки ~ рассматриваются как если во всех точных'соотношениях отбросить величины высшего порядка малости по сравнению с миой нормой тензора Т-Х Например, в линейной теории соотношение ~3) упрощается до следующего 3гд~" Зй~ = — + — =и- 7 ~7) а~ з~ а выражения (4) для относительных удлинений вдоль главных осей деформации принимают вид $ 7 ОПРЩЕЛЕНй"" ПЕРЩНЦЕНИЯ ПО ИИЗРМА1мти 1. По известному перемещению сплошной средн из положения .Я,в положением~ деформация вычисляется с помощью операции дифференцирования и некоторых-алгебраических операций, Гораздо сложнее рассматриваемая в данном параграфе обратная задача об определении перемещения по тензору деформаций.
Эта задача име-" ет важное прикладное значение, так как в приложениях часто именно тензор деформаций является наблюдаемой или вычисляемой величиной. В предыдущем параграфе показано, что если перемещение некоторой частицы А известно, то для ее малой окрестности зта' задача решается на основе знания только тензора 'дисторсии Т~ и тензора деформации ~,~ в точке 46 Ы . При этом существенны три особенности: во-первых, если тензор Т~ известен, то перемещение малой окрестности частицы А вычисляется просто по формуле 6~5);. во-вторых, по тензору ~,~ тензор ~~ определяется неоднозначно, а лишь с точностью до ортогонального преобразования ~см. 6.4); в- третьих, на самом деле представление 6~5) является приближенным, ~Ф справедливым лишь с точностью до малых высшего порядка по сравнению с малым расстоянием от частицы А .
Здесь задача об определении перемещения по тензору деформации будет рассмотрена не.патом, бее предполоиений о малости онрестности частицы А и в точной постановке, без каких-либо приближений. 2. Фактически зта задача есть частный случай задачи математического анализа о восстановлении отображения по его производ- .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
