1612727554-e4ffead1b409cedb78714fc892e62f15 (828059), страница 4
Текст из файла (страница 4)
В теоретичеокой части этой науки исходные данные, добытые опытным путем, закладываются в математическую модель, после чего проблемы исследуются средствами чистой математики через решение конкретных математических задач. Поэтому теоретическая механика сплошных сред яыяется разделом матэматической физики и составляет основу классической прикладной математики. 4. йля понимания физических оонов формирования математических моделей механики сплошных. сред вначале полезно обратиться к молеклярному ("микро") описанию. Пусть некоторый объем К сплошной среды содержите молекул ~~4 ( ~'=У,...,Л0 . Тогда знание мессы 777 молекулы ~с~~,р 6ф' полоиения аА- ° ~ и скорости ф В момент времени ~„ , а тааке действующей на нее силы ~; определяет положение и скорость этой молекулы в любой момент времени ~ через решение ди4ференциального уравнения второго закона Ньютона (с начальными условиями) ~; ~~а =,Ь т -~-к йо)= Жо ..
~в Йо~-~4о (~=4,.-, ~~'.). Если бы такое определение удалось, то можно было бы ответить на любой вопрос о поведении среды в объеме 'К. Однако, этот Путь неприемлем, так как числоЗ~ очень велико (если 7-1см 12 воздуха, то Л~-Ю >, 'а силы ~; точно не известны. Поэтому ' "микро"-опиоание сплошных сред отпадает и заменяется "макро"- .описанием, в котором основными являются средние вапичины. 'Рассмотрение средних величин есть методологическая основа конструирования математических.
моделей сплошных: сред. 5. Наиболее широко распространены дзе "макро"-теории: ак~- ле но-кинет еская, и еноменологическая. В.молеклярно-кинетической теории (кинетической теории га- 40 зов) средние- величины скорости, плотности и т.д. вводятся с помощью теоретико-верятностного (статистического) списания черве Функцию распределения молекул'по положениям и скоростям.
Кроме того, делаются определенные. предположения о характере сил взаимодействия между молекулами (упругие столкновения, кулоновское отталкивание и т.п.). Получаемая математическая модель имеет вид так называемого авнения Бол ана для Функции распределения. Эта модель используется при изучении взаимодействия тела с сильно разреженным газом. С нвй можно познакомиться как по оригинальной работе создателя этой теории Больцмана "Лекции по теории газов", так и по более'современным монографиям. Я „Яанову феноменологической теории составляет првдотавленив о том, что в каждой точке.Л пространства, занятого сплошной средой, плотность, скорость и другие механические величины моъно определить как пределы некоторых средних по объему У , содержащему точку А . Эти средние формируются так. Пусть молекулы ~~~; 1 ~ = А' ,М), находящиеся в объеме У , имеют массу Ю;, скорость Ф и внутреннюю энергию У; .
Пс ним вычисляются макрохарактеристики объема Ъ": масса М=Д' лт, импульс Х 2' я~,у ,~ 8 и полная энергия .Е=Л (у4Ъ/ф+У,) . С помощью этих характе- к=1 . ристик определяются с е плотность .д,-М~~ и спелазя скорость И„',а~М. Лалее вычисляетоя полная внутренняя энергия у .~ .1- ~ У'=Д ~~уж;Й4-~' ~ + ~Ц и по ней определяется с в т- 1=Х внняя эне гия Ц„= У/'К. Тогда макрохарактеристики объема У выражаются только через средние величины м=чу„, к=ч~. о„, х= ~~~~~„~4~+ у„~. Физическая гипотеза "материального континуума" позволяет приписать точке А "предельные" значения средних, например, у- ~'ю Я„Ф'-~Ьи Р„, когда объем У' стягивается к точке А Наконец, математи.
еская модель имеет вид законов изменения макрохарактеристик со временем на основе дополнительных физических гипотез о силовых и энергетических воздействиях на объем'Ч'. Четкое выделение этих гипотез позволяет рассматривать фе. номенологическую теорию механики сплошных сред как теорию некоторой математической структуры, основанной на определенной системе аксиом. Эта теория и излагается.в дальнейшем тексте. и в любой момент времени ~~р г- справедкивы равенства — ~йа~) =о ф Ф вЂ”,К~сд~) = Гс"ац; -4 Ф вЂ” Нй~ ~ = б ~~д~; + Е (а4) Х~а4~ . Эту аксиому иногда называют "принйипом отвердевания", так как дайяне равенства справедливы в случае движения твердого тела. 6.
Лля конкретизации правых частей в аксиоме баланса требуется определенное представление о силах, действующих на объемы Ю сплошной среды. В настоящем пособии будут рассматривать.- ся только внешние массовые силЫ и внутренние поверхностные си. лы, Внешней массовой с й называется аддитивная вектор-функция л~, имеющая плотность. Ясли ввести ее массовую .плотйость ~ , тс объемная плотность .будет р~ . Позтому внешняя массовая сила, действующая на, обьем<о дается формулой г.~ъц-Яузы.
Соответственно, момент внеиней массовой силы „действующий на объем Юрпределяется- по формуле Кс )-1ПМ.7) "' Внутренняя новерхностиаи сила. действует на объем м только по его поверхности 8Ю. для ее онределения раосматривается сечение Г области Я некоторой плоскостью, делящей Я на час- тиЯ и Ял. Внутренней поверхностной скалой, действующей через сечение Л со стороны части Ял иа часть О,, называется аддитивная ,вектор-4уюпщя ~; множеств б' =Л . Следующая аксиома утверждает существоваиие и дш$ференпируемость етой силы. А~ (аксиома енних нове хностных с ).
Внутренняя. поверхностная сила онределеиа для любого сечения Д", области О и имеет плотность: ~поверхностную) на 2 7. Пусть ~ - срт нормали к „Г,, направленный в сторону Следующая аксиома утверждает су.,ествование и дис4еренцируемость этой ~рункции. А~ (аксиома потока тепла). Поток тепла определен для любого сечения ~~ области Я и имеет плотность (поверностную)на .~ . Поверхностнзя плбтность потока тепла обозначается с~„ .,ьля области 6~2" поток тепла из части Я~ в часть Я~ через площадкуй' равен Потоком тепла в объем «ос=Я из области Я ~ со называется величина й ~~) =Я д,ой', ф где к - внешняя нормаль к ЗЮ. Следующая аксиома фиксирует предположение об отсутствии других, кроме перечисленных выше, механизмов внесения энергии в объемы сб Ав (аксиома пе е ачи эне гии).
Мощность, вносимая в любой объем с0~,0, равна я~Ы) =,Л~ МР) Л~е~а3 Й(ю) — ЯР. о~сй~~Яу гР-~~Ы~~Яф, ~~. дд~ йР ЭйР 10. В итоге принятых аксиом и данных определений Формируется следуюцая классическая математическая мо.ель дьижущейся ' сплошнс~й среды. М~. интегпальные законы сох анения.
В движущейся сплошной среде для .любого движущегося объема сР~ и любого момента времени Же г справедливы равенства Каждое из этих равенствпринято называть "законом сохранения" соответствующей механической величины. Следовательно, модель Ы~ состоит (последовательно) из законов сохранения массы, количества движения (импульса), момента количества движения (мо-.
мента имп.."льса) и полной энергии. Окончательно можно сформулировать следующее' определение: йвищущаяся сполошная среда есть объект, удовлетворяющий аксиомам А~--Аа. Ее математической моделью является совокупность законов сохранения М~. с3 3, НЕПРЕРЫВНОЕ ДВИПНИЛ 1. Основные величины связанные с движущейся сплошной средой~, плотность р , удельная внутренняя, энергия 1У, скорость тУ , напряжение Д на площадке с нормалью л , плотность потока.тепла с.„ и плотность массовых сил/ в дальнейшем будут рассматриваться в эйлеровом описании, т.е.
предполагаться функциями, ф .озаданными на области ЪК 'Яф;ф. Величины р„и д зависят, кроме того, от орта лаМ (от точки единичной сферы 8» ) и поэтому заданы на произведении ЖХБ, . Вообще говоря, эти функпии не обязаны быть непрерывными, так как для справедливости интегральных законов сохранения это не обязательно. Однако класс движений, для которых основные величины являются достаточно гладкими функциями, являетоя наиболее важным и допускает подход к его изучению средствами математического анализа. Поэтому такие движения подлежат изучению в первую очередь.
2. Йвииение снлоинон соевы ыввыввеися не~еоывнеи в облвсти И, если функции у, У, »», Р, ф», непрерывны и непрерывно дифференцируемы на 'М, функции р„, ~~ непрерывны на К~хЛ„и функция / непрерывна на И~ . В этом параграфе будет доказано, что на классе непрерывных движений система законов сохранения М равносильна некоторой системе дифференциальных уравнений. С этой целью каждый из законов сохранения преобразуется в равносильное ему равенство вида Се~~ с непрерывной на Ю функцией Ь . Так,как последнее равенство справедливо для,любого объема Ы~, то, на основании нижеследующей леммы, Ь =б на И» . Совокупность' равенств Ь б и обра. зует искомую систему дп~ференциальных уравнений.
АР -Р) ое~а ~) =о Но тензор.Р- Р можно представить в виде .ГГс), где вектор с однозначно определен тензором Р . Поэтому последнее равенство приводится к такому:. Ь,~Е(Е)ОЕ(ай=-ас а.= О, Так как это верно для любого вектора а., то отсюда следует, что с =б , а значит и ЕСс~=Р"- Р= б . Так как все проделан- нйе преобразования обратимы, то теорема доказана. Итак, в рассматриваемой модели М~ сплошной среды закон со- хранеия момента импульса равносилен симметричности тензора на- пряжений .Р . 7. На.
основании' предыдущего все интегралы в интегральном законе сохранения энергии могут быть преобразованы в интегралы по объему, кроме интеграла, определяхщего поток тепла. Поэтому этот закон может быть записан', так (7) Теперь уравнение (7) может быть использовано для доказатезьства тес емы с еств вания векто а потока тепла. ТЮРЕМА 3. На области И' существует такое векторное поле векторов с~ , что в каждой точке области И~ плотность потока те' пла через любую площадку с нормалью ж дается формулой ',4 = %'~ (8) Локазательство. Почти дословно повторяется доказательство тео-- ремы 1 с очевидными изменениями, вызываемляи тем, что у„ = д,(~7) является скалярной Функцией вектора й .
Поэтому теорема может считаться доказанной. Вектор с~ называется векто ом потока тепла. Знак "-" в формуле (8) взят для того, чтобы вектор ~. показывал реальное направление переноса тепловой энергии, так как в качестве В. берется орт внеиней нормали к греииое Вот того оовеые, в который вносится поток тепла с поверхностной плотностью д,,~ . Введение вектора потока тепла позволяет преобразовать оставшийся интеграл по поверхности в интеграл по объему на осно- вены теоремы Гаусса-Остроградского ~ ц 3~= -Яс~ Яа'~= -Я~«й~-«~дскб, ач.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
