1612727554-e4ffead1b409cedb78714fc892e62f15 (828059), страница 5
Текст из файла (страница 5)
да2«. й2~ После этого, в силу леммы, из закона сохранения энергии получается равенство ю — '~1~~~-/+ Д~ = с1юФР~И".~- ДЙ ° ~-сЬд$ д . -ю- ЯГ, -э ->" Если еще заметить, что — ~й~ =8~ — «Й~Р<Й>=Ф«й~Р:Р:Ж ур 4я~К . ««Ы и исключить — с помощью уравнения импульса, то окончательно сЫ получится уравнение — .Р г Ю- ~к'~~, сКУ которое называется авнение итока тепла. 3 этом уравнении через®обозначен тензор второго ранга который называется тенер ом око остей о и.
8. Общий вывод. На любом непрерывном движении сплошной среды, описываемой моделью М~, существуют непрерывно дифференпируемые поля симметричного тензора напряжений .Р и вектора потока .тепла ~ , с которыми интегральные законы сохранения равносильны системе дифференпиальных уравнений, справедливых для любой точки ~ х,~) ~ Ж, -е — + р~ЙФ.Ф-= б «6: «Й7 ~ — = а~гФ'.Р+ ~-~ Ж~ М ~ — =.Р:.а- «~.« '~, «~Ц У где Ю- тензор скоростей деформыки, определеиный формулой (Э). При этом вектор напряжения, действующего на площщку с нормалью в, дается формулой,~5), а плотность потока тепла. через такую площадку — формулой ~8).
Следовательно, эта система дифференциальных уравнений является математической моделью М2 непрерывных движений сплошной среды« Полезно взглянуть на модель М~ с точки зрения ее "замкну- тости" в смысле соответствия числа уравнений числу связываемых ими искомых величин. Обычно модель считается "замкнутой", если эти числа равны. В модели М содержится 5 скалярных уравнений, а число искомых скалярных функций равно ~~:Ь~,.в,, ~,, ър~=й, так как Явыражается через О, а массовая плотность внешних сил обычно считается известной. Поэтому, с точки зрения упомянутого соответствия, систему М~ следует считать "не замкнутой".
Отсюда возникает важнейшая проблема "замыкания" модели, которая должна решаться на основании дополнительной информации о среде. $ 4. МИЯБТЫ ТЕРЮ,ПИНЬМИКИ 1. Учет тепловой энергии в моделях механики сплошных сред .требует привлечения. фактов из термодинамики (точнее было бы го- ! ворить "термостатики"). Термодинамика изучает связи между тепловой энергией.и другими видами энергии, в первую очередь — с механической энергией,: и. устанавливает закономернооти взаимного превращения одного вида энергии в другой.
попомним нонлтнемь термоююемнки япялетоя пенятне ооотояиия фмеитеоиото .тела. Феноменолоптьеоиое опиоение ооотштюш ооуще- . ствляется с помощью па амет ов состояния. Например," уже введеннйе в предыдущих парагра4ах величины, такие как удельная внутренняя энергия ~У и плотность ~ ~или ельный объем У= /~) являются параметрами состояния сплошной среды. Кроме них наиболее часто используются следующие параметры состояния: абсолитпел темпе т а О, ельвав ент ошш Л и яанленне р .
Иногда параметрами состояния удобно считать также компоненты тензора ншряжений .Р,или какие-либо другие величины. Если для некоторой среды уже установлен набор характеризующих ее параметров состояния, тс следующей задачей является определеййе всех возможных соотношений между этими параметра.ми. Эти соотношения должны вытекать из общих физичзских законов и опытных закономерностей, регулирующих поведение рассма, триваемой среды. Пусть я=ф; я )обозначает набор характерных параметров Х состояния Е какой-либо среды. Множество всевозможных допустимых значений Я рассматривается как некоторое топологическое .пространство Л вЂ” с анство состояний - которое обычно .явля- ется многообразием. Размерность ~ многообразия Е равна мини- мальному числу параметров, определяищих состояние данной сре- ды.
Боли 1=Х, то среда называется однопараметрической,. если М=Š— то двухпараметрической и т.д. Жли даны дза состоя- ния й„и Я~, то на многообразии Я можно, вообще говоря, ука- зать пути (направлекнные кривые) Р~'у~, Ул~ идущие от точки У„к ~'„. В~деляется некоторое подмножество путей, которые называ- ютол п~Щ~вссмвн.
ПРоцесс б~пюУ~амвпветсн' обРатиьмм, воли пУть 8Яяу„~~, идущий по той же кривой, - также процесс. В против ном опутав процесс лЯюлл3навнпавтся пвобрат1нмм. Зв ТЕПЛОВая ЭНЕРГИЯ ~ИЛИ КОЛИЧЕСТВО ТЕПЛа) 6 и ОПРЕДЕЛЯЕМая как энергия хаотического движения молекул, вообще говоря, не является параметром состояния. Количество тепла Й, полученное средой, перешедшей из состояния Х~ в состояние ЯЕ путем ГСУ~, Ял) зависит от процесса Г~я~Щ. Жми рассмотреть состояния К' из малой окрестности точки я, то для дифференцируемых процессов, начинакщихся в Я , может быть написана формула количества те- пла, вырабатываемого- в элементарном процессе ~Ф =2.
'Ь~,~ц~ ~Й, ~к ж я. где йК = У - Я . В этом представлении зависимость от пути вы- ражается в том, что правая часть не является полным дифферен- циалом какой-либо функции. Однако, как доказывается в термоди- намике, существует параметр состояния, называемый абсолютной твмпвратуроя 6, о копорки отноявпив отр/6 пля любого обоати- мого процесса уже есть полный ди44еренциал некоторой Функции, тоже являющейся параметром состояния. Эта функция и называется энтропией Л . Итак, для любого обратимого процесса 8~Я~,Яя,) у сФ 'гя„~.) ~~ 3. Если в некотором элементарном процессе физическому телу сообщено количество тепла <4~А , то это тело совершит механичес- кую работу<~А, а его внутренняя энергия получит приращение а'У' .
Пе вый закон термодинамики утверждает, что всегда справедливо равенство с4 =сФ+~6$.. Этот физический закон, устанавливающий эквивалентность тепловой и механической энергии, явжется термодинамическим выражением всеобщего закона сохранения энергии. Зто ой закон термодинамки утверждает, что при любом про- .
цессе, идущем в теплоизолированном теле (т. е. без внешнего подвода или отвода тепла), энтропия этого тела не убывает. Математическим выражением второго закона для элементарных процессов является неравенство 9б~~д~ ' СЯ При этом процесс является обратимым, если и только если справедливо равенство дсЫ = йФ ..Следовательно,.
необратимые процессы (в теплоиэолированном теле) характеризуются тем, что в них энт опия воз астает. ВЫполнение этих законов термодинамики дзя сплошных сред является новой аксиомой. А, (аксиома те о амики). Для сплошной среды справедливы первый и второй законы термодинамики.
Обратимые' процессы в сплошной среде характеризуются равенством ай бйР или ос овным те о амическим то еством ВВ- ~ц ~А. 4. Важную'роль' играют так называемые "идеальные" сплошные среды, для которых во всех. точках области М тензор напряжений кратен .единичному. '.Р= -рг йдесв ков4чмдиеыт пропорпиовельвооти р вввыввется леклевяем. В "идеальнйх" средах элементарная работа дается Формулой сЛФ-~р-а'У . Поэтому 'основное термодинамическое тождество для "идеальной" оплошной среды имеет вид 8~Я = с~б'+ рсВ", Состояние "идеальной" сплошной среды определяется значением пяти параметров состояния у ~~у 6 т ~вТ' Если ".идеальная" среда является двухпараметрической, то из уравнения (1) следуют два соотношения между этими пятью пара- метрами. Поэтому для полного описания термодинамического состояния "идеальной" двухпараметрической среды достаточно задать епе одно соотвовевие, Такие ооотяовевия ввеывватся чрунеыияии состоявия.
Ови обычно получивтся с привяечеиыем,ометивх яввимх и имевт вид явиото вырвкевия коков-либо термодившвчеокой функции через независимые параметры. В приложениях чаще всего ис- 5 5. ТЕЕЗОР НАПРЯЖЕНИЙ 1. Совокупность векторов напряжения в Фиксированной точке ~ ~,~)~Мописывает . яженное состояние сплошной среды в этой точке. В силу теорем 2, 3 это описание сводится к изучению симметричного тензора напряжений .Р . Этот тензор можно рассматривать с двух точек зрения: как линейное отображение и как билинейную Форму.
По определению тензора напряжений.Р как линейного отобра- 3 3 жения Я Я , совокупность векторов напряжения, действующих на площадках с нормалью Ж , дается формулой р -=.Р<й,."- При изучении тензора напряжений Р его матрипа ~Р)в каком-либо ортонормироваыном базисе ~Г;~записывается в виде ! 6~ . Е~~~ ~~д ~р3= т кг 7гд ~ с. — Ъ.) Ъ 'Ъ бз Диагональные елементы етой витрион б, наеываытоя нооыальниии ра напряжения ~~~,, т.е. б'; = е; .Р~. Не диагональные' элементы называются касательными н ениями.
Они равны величинам касательных составляющих вектора напряжений, действующего на площадке с нормалью е~, т.е. 7;~ =е; ~~~.. У Все эти напряженияв как компоненты тензора.Р в базисе 1 4'-й ~ в зависят от выбора базиса. Поэтому особенно важно установить свойства напряженного состояния, не зависящие от базиса (инвариантные по отношению к выбору базиса).: 2. Собственные векторы е и сосбственные значения Я линейного отображения У определяются уравнением Р<еЗ=Ле или ~Я-'ЯЦ <е» = б, -При этом любое собственное значение Я должно быть корнем характеристического уравнения /еЕ~'.Р-,~~~=аии, в раскрытой Форме, 3 :~ —,~, А„~- 4~— (2) гые,~ =.т Я- инварианты теиеора неыревавий у . роли в ортонор- ние квадрикл напряжений имеет вид 6 ~~ -у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
