1612727554-e4ffead1b409cedb78714fc892e62f15 (828059), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Это Х- действие задается 'формулой а, -Т«фса) для любого сь еЯ Действие называется тривиальным, если УЯ)= у для любого' 0~0~, Пример нетривиального действия 0' на Я~= /«Я~); для Аз,~й~ 3 тт <.А > = 0 А О б ". 1О. о пные . Пусть даны два действия одной и той же группы -д": ее У~ - действие на пространстве Я и У~— действие на пространстве Я~ . Отображение и :.Р~ Я~р называется инва иантным отображением относительно пары «Я,, У ), если для любого.х~ У~и любого Оеб~ ж Я «О) с.йЯ) = Т~(0~ с, 'и~х) > . В механике такие инвариантные отображения принято называть изот опными . Простейший пример изотропной функции получится, если зщвть Я -действие 0~на Я~формулой а, 0(а) для аеЯ~ Оео" .. Изотропное,относительно пары«У; Я~отображе-.
ние 8~:я Ъ яр~должно удовлетворять функциональному уравнению 12 Пусть (е;~ — базис и ~е'~ - ему соответствующий кобазис в г~. Комоонвнввми ввнворв Ф ринги и в бввиов ~е,) нввввввнон числа Ф(Ф„...,Ю,>, где каждый из векторов Ф ( 8=1,.-.,Е) есть один из векторов базиса или ему соответствуюшего кобазиса. Жоли все а~ являются векторами базиса (е;~, то получаются кона иантные компоненты а если все а - векторы кобазиса - то кон ава иантные компоненты ф ~ ' г ф, Ев~~' еР'г "~ Все прочие виды компонент называются смешанными компонентами тензора Ф, причем о .раз ковариантными и+ раз контравариантными, если в их определение входит р векторов базиса и у векторов кобазиса. При этом валны не только сами числа р и д, но и расположение вектбров. Тензор ранга а имеет всего д~ различных нилов комцоиент.
Число компонент данного вида (например, ковариантиых) равно л.~. 14. Н б азов е' компонент. Закон преобразования компонент тензора 'вытекает иэ свойства линейности формы Ф по кащо-- му аргументу. При переходе от базиса ~е;~к базису ~е,.~с матрицей перехода ~А) = ~~3ковариантные компоненты преобразуются по Формуле ф...— ф.', =У . А'.".. А". г г а'~,. ° г ~,* ° ~ и' ' игр а контравариантные компоненты — по формуле ф~т '~г ф'Жо. ° ~г ф~~" -ЕгА~~, А~г Ллн смешанных компонент преобразованные компоненты получаются умножением исходных на элементы матрицы (А) для каждого ковариантного индекса и на элементы матрицы ~Я) =~А~ ~для каждого контравариантного индекса и суммированием. Это правило преобразования показывает, что тензо о означно о е елен набором своих компонент в каком-то одном базисе.
Этот набор может быть взять произвольно. Кроме того, указанное правило можно положить в основу о е еления понятия тензо а (что иногда и делается в учебниках): танзором ранга я в прост- Е ранстве Я~называется -множество наборов из л чисел, каждый и этом отображение —: Я А~Ж; Я ~, действующее по формуле ОМ . л лз дх' .ж' — — 0с), называется пвоизво стоб ажением для Ж .
Ото- щай бражение а называется не е вно е емым на Я , если производное отображение непрерывно на Я В дальнейшем, с целью упрощения записи различных формул, символ — будет употребляться и для обозначения производной дЮ дл: отображения Ж ~т.е. линейного отображения Я Я ). Если отобр ния М:Я Я и Ф:А Я дифферещируемы, то их композиция У~ й:.Р -Л также дифференцируема, причем д ~ дои,)= о ° дИ дж Э,ж д К дай 3.
С ай л-1 . Здесь й;:ЯЮ- Я обычно называется вектор-функцией переменного ~ . Если а= й~~- в базисе ~~ ~ ~.Я~ то производная вычисляется покомпонентно дв ди' — — У д~ д6 Вычисление производной в общем случае сводится к этому частному. Лля этого берется произвольный вектор а ~Я1иногда он называется "пробным" век-. ором) и рассматривается вспомогательное отображение О'Яй) Я/™ действуацее по формуле Ф®= й~-~-.
Ьг~ Тогда справедлива формула Ди~, Д г~ ~Цх ~-Ы) -И~лй) — ~,Х)(й) = — Й~,) = ~.'а'лз дх 1-о д„ 4. Кос натная зались. Матрица~ — ~ ~ называется матоипейй бх Якоби отображения Ж. Если .х=.х'е,, ы=~~, то где —, — обычные частные производные функций Ж ~.я;,„,.ж ~ Отображение и: Я я непрерывно дифферещируемо на Я, если и только если все частные производные ды~~~йх' существуют и являются непрерывными функциями на множестве Я . б. С ай ля=1, Здесь рассматриваемое отображение является скалярной функцией ф~: Я~ Я. Производное отображение обозначается специальным символом — = Ч~Р д~ . и называется градиентом у .
В .базисе ~Г;~ матрица Якоби градиента имеет вид ( Р~ф = ~ — ~,..; — ~Яа векторы а,еЯ градиент дей- г3~Р 3~ъ Д.ж ствует как, инейнзя форма: ~ С~ У ~я) =,~ И ~ ~Р ~й3. 10. Обыщи~. Говорит, что обивать ат~Л имеет о-г ~~й тревкпр дбо, воли мвоаеотво Эао вомео врекотелвть в вике объединения конечного числа множеств 6» (гладких кусков) со следующим свойством: для каждого д» оуцеотвумт точка ю„'а 8~ и базис ~ЮЛЯ (в котором.ю=.хф) такие, что 6у взаимно (щнозначно проектируйся в направлении е~ на гиперплоскость 'а.ъ ж-~ (проекция обозначается 6~) и задается уравнением вида б~~~",~Рй+ ~ ~ ~ И-1~ с непрерывно дифференцируемнм отображением ф: д'~ Я. бтравичеквев облаоть бт е втоечко-твеввой трейикей вавила.
етов обьемом. Превера обьаьов в Л: вар, вуб, отрезок пиливйра и т.п. Х1. тивные множества. Пуоть ~ы~обозначает со- т вокупность всех объемов со~Я. Отображение Фр~и~ Я называетоя ашццищям отображением, если для лзбых непересеказщихся объемов сд,, Ю~е~й~выполнено равенство Ф~са, Ио,„~= Фйо,)+ ФЯ,). Пусть точка .х~Я и П Сх3- куб с центрома: и'длиной ребра :,~ . Ьддятивное отображение Ф:~я~ 3~ называется непрерывным в точке к., еоли кое ррт'~„беб) О.йепрерквкое в любой точке ттСг-е ф .ко ел отобрекевие Ф иашваетов ве е вием ва ье Аддитивное отображение Ф называется е е емым в точке х, если существует такой вектор абая"', что Ьм ~ ~ ~ Ф(а„~х~)-и/=о. Вектор Ж называется Б~оизюд~ой отображения Ф и обозначается фа ф Отображение Ф.
называется е емым на Я, если оно ди4ференцируемо в каждой точке х;~Р . В этом случае воз- Ю' ! никает отображение и:Я-Я й действующее по формуле Ф=. Ф~ф. Отображение Ф называется не е вно е е емым на Я, если полученное отображение й непрерывно на Я . 13; ~~ел. Пусть дано непрерывное отображение а: И -Я. Тогда справедлива след~лшщя о новная тес ема тес ии иетаг вания'е Существует одна и только одйа непрерывно дифференцируемая ная аддитивная функпия множества Ф-.~а+ я'рр, которая во -.
~ сйи Р йи ~ .. ~ Рс а ъ Ы~ ~д2 д~д 3. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ СИСТИИЫ КООРДИНАТ 1, Ыорлинаты. Здесь рассматриваются криволинейные координаты, для определенности,. в трехмерном евклидовсм пространстве Я . Все общие Факты и Фориулы верны в любом Я~. МИифиетическим ост анством.Ф называется множество наборов троек ве- -» щественных чисел (.К, Х, ф. С естественными операцилмй сложе- » ния троек и умножения их на числа и скалярным произведением ~к,'к,у '~.Г~ и~ ~»~=хМ.к'~',к'е' зто пространство является евклидовым. Системой кос т на открытом множестве Я~,РСУ)называ- ется взаимно однозначное и взаимно непрерывно диФФеренцируемое отображение К:Я Ф . Зто отображение действует по Формуле .х' Х'('х') = М 6х~, Уф~~.>, Л ~Ец~, Значения Функций К'б~)называются коо атами (иногда говорят: "криволинейными координатами" ) вектора (точки) -Е .
для каждой Фиксированной точки Я еЯ уравнение Я'~.'а..~=Х~~„) задает кос т н ве хность П, =А~~',ж), проходящую через .х; . Переоечения С=п,иП„~,=И,п Ц, ~~=ало„ называются кос тными ("криволинейными осями координат"). Вдоль линии 4 меняется только координата Х*.
2. Кос тные базисы. Пусть Фиксирована точка жег. В этой точке определены векторы — — ~г=УЯ,З~ Зх' образухцие базис в Я» . Он называется.кос атным базисом системы координат К в точке.х . Вектор ; является касательным к координатной линии Г~ . Наряду с этим в той же точке определены векторы ЭУс 3 = — = ~~.к ~ к= 1 Я 4), д2; Они образуют кобазис .. (соответствующий базису ~Э,.» ), который называется кос тным кобазисом системы координат К в точке д..
Вектор 3' является вектором нормали к координатной но'.- ф., — ~"' ' ~ „~' ° ф. *" е' дке б~ гдв в символе Ф; ...~., индекс Б стоит на месте индекса е~ . й~"' --.Е Аналогичные формулы для контравариантных компонент имеют вид ~~с" ~е ЪФ~'* ~~ р ~6 уЯХ*--~-- ° 3х ~ке + ез т где в символе Ф'~'"'з'"~* индекс д стоит на месте индекса у - .
Правила ковариантного дифференцирования суммы и произведения тензоров такие же, как и для функпий. 3. Примеры. Компонентй фундаментального тензора являются функциями координат. Тем нв менее, их ковариантные производныв равны нулю: 7~~ Яг~,е=~~ Я ~е = Следовательно, по отношению к ковариантному дифференцированию компоненты фундаментального твнзора ведут себя как константы. Это свойство в сочетании с операцией поднимания индексов (см. 1.16) дает простой способ вычисления ковариантыых производных от смешанных и контравариантных компонент любого тензора, если известны все ковариантные производные от его ковариантных компонент.
Ковариантные производные скаляра совпадают с обычными Ф ра: производными. дФ Ф '= —.. т, д~~' Выражения для ковариантных производных от компонент векто- "1 дуг Ч ' ' У дФ сражения для ковариантных производных от компонент тензора ранга два; дФ;. ~г~' е а ~е~ ~з~ 'е~ Ы у Ду~ Ф~ = — '-г'Ф~ г~ Ф я 6' д е ес,5, еб в ° Ф ~~ г . Искомое отображение х можно подчинить еще условию, чтобы в данной точке 1 в ~ оно принимало заданное значение -т .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
