1612727554-e4ffead1b409cedb78714fc892e62f15 (828059), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Задача об отыскании такого отображения называется задачей Коши и кратко записывается так: найти решение обыкновенного ди44еренциахьного уравнения, удовлетворяющего начальному условию ~~= И (;х,~~, -т'й„) =.т,р. ,м В дальнейшем задача Ко.'и рассматривается в предположении, что заданное отображение Ю 'Йиг. Я"непрерывно и непрерывно диФференцируемо на множестве Я м;г . 2. Творвив.
Сднвоввувв одно и только одно рвивиив ввдачи Каши, определенное на некотором интервале ~ = ~ (зависящем от точки .х ). Для каждого фиксированного .6е'Е~ это решение, как отображение .к:,ж .я=~~„ ф~ненрерывно ди4ференцируемо, причем производное отображение удовлетворяет "уравнениям в вариациях" 3 З.й д~ 8л. Ои. — — ж —, о — я — (Й' ~=Х, д~ дЛЪ гж' бХр аХО ~да.~ В качестве следствия из этой теоремы для якобиана 7=( — ~ ~Ж> отображения .т:,- т; получается ла Зйле а ,~ ° Сйд Иь М 3. Восстановление стоб ажения по его оизво ой. Пусть даны, открытые множества Оса ~„'г~, Ус= Я'»~и~ и отображение д~.. Од Ч ~~Я».Р'» ~ .
Требуется найти ди4ференцируемое отображение й:Я- Я , для которого было бы справедливо равенство ~~~(;х~=Ях,драпри всех .х~Я . Далее эта задача рассматриваед~ ся в предположении, что отображение/ непрерывно ди4ференцируемо на О хЪ" . Тес ема е ~ственности. Пусть дана точка ('.х;, И, )~ Я х"К Может существовать нв более одного отображения И:Я Я'", для которого а~л.~ уи равенство — ~ф=ф~~у~фвыполнено для всех дж д,~ .х из некоторой окрестности точки,х, . -;Эта теорема показывает, что естественна следующая задача о восстановлении стоб ажения: найти отображение й:Я -Я'», удовлетворяющее дифференциальному уравнению и начальному условию — =Ях', ю~ р ' 4~~ М = ~'а' дий.
4. Задача о восстановлении отображения разрешима. не всегда. Дело в том, что если решение,существует, то вторую производную: Физические компоненты вектора О"=(в" д' „фТензорные компоненты я, б~, ь)= ~1, ~ 4, ~ лыио~ ), ~ю~, о; и~=ф;,—, — „ 8 ~ ф д~ Физические компоненты тензора Р ранга два: Р г Ргв Ау ® = Рвг Рвв Рв~ Руг Ргв Р~ ~ Тензорные контравариантные компоненты ( ~ — номера строк) ~гг з Ргв г~; ~в~г~ СР'~= -ЕРвг Ч вЂ” Рвв зг огюсте 1~щдент функции дГ, ЗР, г ~ дГ ЗР з ~ Зг (гГ~ ~~7~= — ' (кГ~ = — ' ( гР~= — — '~~Я) — '('Щ= —— дг ™ дб ' Е дО ' ~ д~г' ггпу,:~гг~уд~Р . Матрица ковариантных производных вектора (г — номера отрок) дА. ао; дг~; — -б — 5г'а В 0~г дг дб в д4г б') 1 ддв 1 д~в ~Ъ Зф сазб (т~ .)- в — — — — Ф~ 8 дг 0 д~' 'Й Дф г дб ' У ' дй~ 1 д~ф г~г с~уд Р— — + — ~+ — О '/УО д9 ' з,~г~г~ дну ~ к В дивергенция вектора д('к гЦ 1 З~~г~Оф~ ~ д~~ ~ЬФ' 0'= + + Ф д8 г ~~'лВ д9 гв ггпу ду~ Оператор Лапласа от функции 1 д где'1 У д, дР1 1 д à — — — — — — с"- — ) —,,— г а~ (,~~/,л.~,,д д~ д,вГ г'~, гд д~ ' Ротор вектора гвму 0= Л: „с 1 /д(ггггдф) дф 1 4 .К уд~~ д~М~)1 О2 / ' Й~ = ~ — 5а'7сд Й 5г'л В д~г /' ~где' У дф' в .1 ~.3фЯ) ЗФ» дз дВ '/ ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ СТЯЩАРТНЫЕ ОБО:-ЕАЧЕНИЯ Я вЂ” трехмерное эвклидово аффинное проотранство 3.:, ф — 'радиус-векторы точки в Я вЂ” время ~.х,+) - зйлеровы координаты Д , 1) — лагранжевы координаты — — полная производная сИ ы - область в Я с кусочно-гладкой границей (объем) доз - граница области сй оО Ю вЂ” 4Ьиижйийся, (материальный) объем й~ - вектор перемещения Й - вектор скорости Х - единичный тензор Т - тензор дистороии ~,ф — тензоры деформации Р, У - тензоры напряиений Ж вЂ” тензор скоростей деформации р - давление д — плотности Ю вЂ” абсолютная температура 0' - внутренняя энергия единицы массы .
5 — энтропия единицы массы ы~ - свободная энергия единицы массы .ф — вектор потока тепла ' ~. — вектор плотности внешних массовых сил ~ 1. ПРИМЕТ И МЕТОД 1. П2елюетом изучения в механике сплошных сред являются физические тела, обладающие характерными свойствами оплошности и внутренней подвижности. Сплошность есть свойство тела заполнять целиком, без пустот, занимаемую им часть пространства. Свойство вн енней по ижности или деформируемости состоит в том, что отдельные части тела могут перемещаться относительно друг друга при неизменной внешней форме тела.
Сплошное деформируемое физическое тело получило название сплошная с е а. Строго говоря, в силу атомно-молекулярного строения любого вещества, таких физических тел нет. На самом деле, когда речь идет о физическом 'теле как сплошной среде, свойство оплошности предюлагается выполненным ппиближенно, при условии малости характерного масштаба молекулярных процессов по сравнению с минимальным масштабом изучаемого взаимодействия со средой. Эти масштабы различны для разных условий.
Например, среднее расстояние между частицами (молекулами) воздуха вблизи земли -6 "5 ~- уд см, в атмосфере на высоте 60 км 8-Ю см, а в космосе см. Если принять, что нижняя грань длин Х, на которых изучаются явления' в этих средах, соответственно равна 10 см, 10 см и 10 см, то для всех трех случаев будет е/Л-10 .
Поэтому космическую среду можно считать сплошной в том же смысле, в каком это допустимо для воздуха при нормальных условиях. В повседневной практике встречаются разнообразные сплошные среды, такие как вода, воздух, масло, глина, дерево, железо, гранит, песок и т.п. Они играют большую роль в процессе освоения.
человеком окружающей среды..Во взаимодействии со сплошны. ми средами плавают корабли, летают самолеты, добываются полезные ископаемые и формируется погода, из сплошных сред строятся дома и мосты, сплошные среды участвуют в производстве электроэнергии и продуктов питания. 1рубо схематически сплошные среды можно подразделять на ~жидкости, газы и е емые тве е тела. Условность этих понятий хорошо показывают примеры асфальта, который крошится при ударе молотом, но плавно растекается по поверхности за достаточно большое время, или металла; твердого при нормальной температуре, но жидкого при плавлении., 2.
Механика сплошных сред изучает механические и тепловые процессы, протекающие в сплошных средах под влиянием приложенных внешних воздействий со стороны других тел. Проблемы механики сплошных сред многообразны. Это - проблемы силового и энергетического взаимодействия жидкостей и газов с двищущимися в них телами; протекания жидкостей и газов по трубам и каналам и фильтрации сквозь пористую среду; движения и равновесия деформируемых твердых тел, их прочность и разрушения; волновых и вибрационных явлений в жидких и твердых телах; циркуляция атмосферы и океана, прогноза погоды; турбулентных - быстро и беспорядочно пульсирующих дрижений жидкостей и газов;-:,несведения очень сильно сжатых (до миллиона атмосфер) и очень сильно разреженных (космос) сред; использования движений иониэованных газов (плазма) и веществ в условиях химических превращений (горение, взрыв, детонапия); поведения.
полимерных материалов; биомеханики (мышцы, кровь, растения) и многие другие. 3. Как естественная наука, механика сплошных сред подразделяется на экспериментально-Физическую и теоретическую. Кастоящие лекции посвящены вопросам только тес етической механики сплошных с е . Метод теоретической механики сплошных сред заключается в том, что, на основе общих физических законов и систематизированных данных экспериментов, строится математическая мо ель поведения того или иного класса сплошных сред. Математическая модель представляет собой систему соотношений (уравнений и неравенств), связывающих величины., характеризующие различные свойства среды. Обычно это - е е ные (н конечные) чражвння, к которыя ноееянякеоя кнчеяьные н грнничные условия.
Математическая модель должна обладать свойством ко ектности, т.е. решение входжцих в нее уравнений долано существовать, быть единственным и устойчивым. В действительности, строго доказать корректность математической модели удается не всегда, ввиду-чего для оценки ее качества широко используется к ите ий актики. Затем идет разработка чисто математических методов изучения структуры модели и решения конкретных задач, связанных со "чиализацией дополнительных условий протекания процессов в сплошной среде, Эти методы могут быть аналитическими (методы Анализа) или численными (применение ЭБМ); ~~ из них имее~ свои преимущества и недостатки и применяется в зависимости от конкретной цели исследования.
Ввиду сложности общих уравнений механики сплошных сред, создание и применение математических методов встречаетбольшие трудности.. Поэтому получили широкое распространение мето о ения исходных уравнений (или решаемых задач), как точные, так и приближенные. Место механики сплошных сред в классификащп наук определяется тем, что механика вообще является частью физики, изучающей строение реального мира.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
