1611689564-c292adb9a0ffac330f3ca30cdb684bd6 (826864), страница 6
Текст из файла (страница 6)
ñïåöèàëüíûì âûáîðîì+∞Ríà÷àëà îòñ÷åòà) ôóíêöèè ϕ ìîæíî, íå èçìåíÿÿ âåëè÷èíû|ϕ(x)|2 dx,−∞ïîëó÷èòü íîâóþ ôóíêöèþ ϕ, äëÿ êîòîðîé M1 (ϕ) =+∞R−∞x|ϕ(x)|2 dx = 0,ò. å. òàêóþ, ÷òî åå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ðàâíî íóëþ.38(á) Ïîêàæèòå, ÷òî àíàëîãè÷íûì ñäâèãîì ïî àðãóìåíòó ôóíêöèè ψ+∞+∞RRìîæíî, íå íàðóøàÿ ðàâåíñòâ M1 (ϕ)=0 è|ϕ(x)|2 dx=|ψ(p)|2 dp=1,−∞äîáèòüñÿ òîãî, ÷òî M1 (ψ) =+∞R−∞−∞p|ψ(p)|2 dp = 0.(â) Óáåäèòåñü, ÷òî äèñïåðñèÿ (ñðåäíåêâàäðàòè÷íîå óêëîíåíèå) σ 2 =+∞R−∞(x − x0 )2 |ϕ(x)|2 dx ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû x ñ ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëå-íèÿ |ϕ(x)|2 è ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì x0 = M1 (ϕ) =ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå σ 2 = M2 (ϕ)−M12 (ϕ), ãäå M2 (ϕ) =(ã) Ðàññìîòðèòå âåëè÷èíó+∞R−∞+∞Rx|ϕ(x)|2 dx−∞+∞R−∞x2 |ϕ(x)|2 dx.|txϕ(x) + ϕ0 (x)|2 dx, êîòîðàÿ, î÷åâèäíî,íåîòðèöàòåëüíà ïðè ëþáîì çíà÷åíèè ïàðàìåòðà t ∈ R .
Îïèðàÿñü íàðàâåíñòâî Ïàðñåâàëÿ è ôîðìóëó äëÿ íàõîæäåíèÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüåîò ïðîèçâîäíîé, âûâåäèòå, ÷òî t2 M2 (ϕ) − t + M2 (ψ) ≥ 0.(ä) Ïîëó÷èòå èç (ã) ñîîòíîøåíèå M2 (ϕ) · M2 (ψ) ≥ 1/4.Ýòî ñîîòíîøåíèå ïîêàçûâàåò, ÷òî ÷åì áîëåå ¾ñîñðåäîòî÷åíà¿ ñàìàôóíêöèÿ, òåì áîëåå ¾ðàçìûòî¿ åå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå è îáðàòíî. êâàíòîâîé ìåõàíèêå ýòî ñîîòíîøåíèå íàçûâàþò ïðèíöèïîì íåîïðåäåëåííîñòè Ãåéçåíáåðãà è èíòåðïðåòèðóþò â òîì ñìûñëå, ÷òî íåëüçÿîäíîâðåìåííî òî÷íî èçìåðèòü è êîîðäèíàòó êâàíòîâîé ÷àñòèöû, è ååèìïóëüñ. 10. Ñâåðòêà áûñòðî óáûâàþùèõ ôóíêöèéÊàæäûì äâóì áûñòðî óáûâàþùèì ôóíêöèÿì f, g : Rn → C ñîïîñòàâèì íîâóþ ôóíêöèþ f ∗ g : Rn → C, íàçûâàåìóþ ñâåðòêîé ôóíêöèé fè g è çàäàâàåìóþ ôîðìóëîéZ(27)(f ∗ g)(x) = f (x − y)g(y) dy.RnÏîñêîëüêó ôóíêöèè f è g áûñòðî óáûâàþùèå, òî ñõîäèìîñòü ýòîãîèíòåãðàëà î÷åâèäíà.
Èíîãäà ãîâîðÿò, ÷òî (27) çàäàåò ñâåðòêó ëþáûõ(íå îáÿçàòåëüíî áûñòðî óáûâàþùèõ) ôóíêöèé, äëÿ êîòîðûõ èíòåãðàë,ñòîÿùèé â ïðàâîé ÷àñòè, ñõîäèòñÿ.Ðàññìîòðèì íàèáîëåå âàæíûå ñâîéñòâà ñâåðòêè áûñòðî óáûâàþùèõôóíêöèé.1) Ñâåðòêà êîììóòàòèâíà: f ∗ g = g ∗ f .39Äîêàçàòåëüñòâî íåìåäëåííî âûòåêàåò èç ôîðìóëû çàìåíû ïåðåìåííîé â êðàòíîì èíòåãðàëå:Z(f ∗ g)(x) = f (x − y)g(y) dy =Rn=(ñäåëàåì çàìåíó x − y = z )=ZZ= f (z)g(x − z) dz = g(x − z)f (z) dz = (g ∗ f )(x).RnRn2) Ñâåðòêà àññîöèàòèâíà: (f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h).3) Ñâåðòêà ëèíåéíà ïî ïåðâîìó àðãóìåíòó, òî åñòü äëÿ ëþáûõ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë a, b ∈ C è ëþáûõ áûñòðî óáûâàþùèõ ôóíêöèé f, g, hñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî (af + bg) ∗ h = a(f ∗ g) + b(g ∗ h).Äîêàçàòåëüñòâà ñâîéñòâ 2 è 3 ñòîëü æå ïðÿìîëèíåéíû, êàê è ïðèâåäåííîå âûøå äîêàçàòåëüñòâî ñâîéñòâà 1.
Ïîýòîìó ìû îñòàâëÿåì èõ÷èòàòåëþ â êà÷åñòâå óïðàæíåíèé.4) Äëÿ ëþáîãî ìóëüòèèíäåêñà α è ëþáûõ áûñòðî óáûâàþùèõ ôóíêöèé f, g ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà Dα (f ∗ g) = (Dα f ) ∗ g = f ∗ (Dα g). Äðóãèìè ñëîâàìè, ÷òîáû ïðîäèôôåðåíöèðîâàòü ñâåðòêó, ìîæíî ñíà÷àëàïðîäèôôåðåíöèðîâàòü ëþáóþ èç ôóíêöèé, à çàòåì ñâåðíóòü ðåçóëüòàòñ äðóãîé ôóíêöèåé.Äîêàçàòåëüñòâî îïèðàåòñÿ íà âîçìîæíîñòü äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ïîïàðàìåòðó èíòåãðàëà îò áûñòðî óáûâàþùåé ôóíêöèè:ZZDα (f ∗g)(x) = Dα f (x−y)g(y) dy = (Dα f )(x−y)g(y) dy = ((Dα f )∗g)(x).RnRnÂòîðîå ñîîòíîøåíèå èç ñâîéñòâà 4 âûòåêàåò èç óæå äîêàçàííîãî ââèäó êîììóòàòèâíîñòè ñâåðòêè: Dα (f ∗ g) = Dα (g ∗ f ) = (Dα g) ∗ f =f ∗ (Dα g).5) F± [f ∗ g] = (2π)n/2 F± [f ] · F± [g].Äîêàçàòåëüñòâî.ZF± [f ∗ g](x) = (2π)−n/2(f ∗ g)(y)e∓i(x,y) dy =RnZ ·Z= (2π)−n/2¸f (y − z)g(z) dz e∓i(x,y) dy =Rn Rn40=(èçìåíèì ïîðÿäîê èíòåãðèðîâàíèÿ)=¸Z ·Z−n/2∓i(x,y)= (2π)f (y − z)edy g(z) dz =Rn Rn=(âî âíóòðåííåì èíòåãðàëå ñäåëàåì çàìåíó ïåðåìåííîé y − z = t)=¸Z ·Z−n/2∓i(x,t)= (2π)f (t)edt g(z)e∓i(x,z) dz =Rn Rn=(âíóòðåííèé èíòåãðàë íå çàâèñèò îò ïåðåìåííîé z ; âûíåñåì åãî èç-ïîäçíàêà âíåøíåãî èíòåãðàëà)=·¸ ·¸ZZ= (2π)n/2 (2π)−n/2 f (t)e∓i(x,t) dt · (2π)−n/2 g(z)e∓i(x,z) dz =RnRn= (2π)n/2 F± [f ](x) · F± [g](x).6) F± [f · g] = (2π)−n/2 F± [f ] ∗ F± [g].Äîêàçàòåëüñòâî.
Âûâåäåì ñâîéñòâî 6, ñîîòâåòñòâóþùåå âûáîðó âåðõ∨íèõ çíàêîâ, èç ñâîéñòâà 5 è ôîðìóëû îáðàùåíèÿ: ïîäñòàâèâ â 5 f âìåñòî∨f è g âìåñòî g , áóäåì èìåòü∨∨∨∨F+ [f ∗ g ] = (2π)−n/2 F+ [f ] · F+ [g ] = (2π)−n/2 f · g.Ïðèìåíèâ ê îáåèì ÷àñòÿì ïîñëåäíåé ôîðìóëû îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèåÔóðüå, ïîëó÷èì∨∨∨∨f ∗ g = F− [F+ [f ∗ g ]] = (2π)−n/2 F− [f · g]èëèF− [f · g] = (2π)n/2 F− [f ] ∗ F− [g].Ôîðìóëà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ âûáîðó âåðõíèõ çíàêîâ, äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî.Ñâîéñòâà 5 è 6 îçíà÷àþò, ÷òî ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ïåðåâîäèò (ñ òî÷íîñòüþ äî ïîñòîÿííîãî ìíîæèòåëÿ) ñâåðòêó â ïðîèçâåäåíèå è íàîáîðîò.Íàëè÷èå òàêîé äâîéñòâåííîñòè îáúÿñíÿåò âàæíîñòü îïåðàöèè ñâåðòêè:ñ òî÷íîñòüþ äî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå íàì áåçðàçëè÷íî, ïåðåìíîæàòüôóíêöèè èëè ñâîðà÷èâàòü èõ.41Çàäà÷è64.
Ïóñòü x0 âåêòîð èç Rn . Îïåðàòîðîì ñäâèãà â S(Rn ) íàçîâåìîòîáðàæåíèå, ñîïîñòàâëÿþùåå êàæäîé áûñòðî óáûâàþùåé ôóíêöèè fíîâóþ ôóíêöèþ Tx0 f , îïðåäåëÿåìóþ ôîðìóëîé (Tx0 f )(x) = f (x − x0 ).Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáûõ áûñòðî óáûâàþùèõ ôóíêöèé ñïðàâåäëèâûðàâåíñòâà Tx0 (f ∗ g) = (Tx0 f ) ∗ g = f ∗ (Tx0 g). ñëåäóþùèõ çàäà÷àõ âû÷èñëèòå ñâåðòêó, ñ÷èòàÿ, ÷òî H ôóíêöèÿÕåâèñàéäà, ò. å. ÷òî H(x) = 0 äëÿ x < 0 è H(x) = 1 äëÿ x > 0.65. H(x) ∗ H(x).66. H(x) ∗ H(1 + x).67. H(1 − x2 ) ∗ H(1 − x2 ).68. x ∗ (x2 H(x)).69.
H(x) ∗ (H(x) sin x).70. (x2 H(x)) ∗ (H(x) sin x).71. (x3 H(x)) ∗ (H(x) cos x).72. (H(x) sin x) ∗ (H(x)sh x).73. e−|x| ∗ e−|x| .74. e−ax ∗ (xe−ax ), a > 0.22 ñëåäóþùèõ çàäà÷àõ äîêàæèòå ðàâåíñòâà, ñ÷èòàÿ ïàðàìåòðû a è bïîëîæèòåëüíûìè.75. fa ∗ fb = f√a2 +b2 , åñëè fa (x) = a−1 (2π)−1/2 e−x2/2a276. fa ∗ fb = fa+b , åñëè fa (x) = aπ −1 (a2 + x2 )−1 .77. fa ∗ fb = fa+b , åñëè fa (x) = xa−1 e−ax H(x)/Γ(a).42. 11.
Ôîðìóëà ÏóàññîíàÒåîðåìà (ôîðìóëà Ïóàññîíà). Åñëè f : R → C áûñòðî óáûâàþùàÿôóíêöèÿ, òî+∞+∞XX√f (2πn) =2πfb(n).n=−∞n=−∞Äîêàçàòåëüñòâî. Ìû äîêàæåì, ÷òî äëÿ âñåõ x ∈ R âûïîëíÿåòñÿðàâåíñòâî√+∞X2πf (x + 2πn) =n=−∞+∞Xfb(n)einx ,(28)n=−∞ïîäñòàâèâ â êîòîðîå x = 0, î÷åâèäíî, ïîëó÷èì ôîðìóëó Ïóàññîíà.Ëåâóþ ÷àñòü ôîðìóëû (28) îáîçíà÷èì ÷åðåç F (x) è óñòàíîâèì íåîáõîäèìûå äëÿ äàëüíåéøåãî ñâîéñòâà ôóíêöèè F .1) Ôóíêöèÿ F ÿâëÿåòñÿ 2π -ïåðèîäè÷åñêîé.
Ýòî âûòåêàåò èç ñëåäóþùèõ âû÷èñëåíèé:F (x + 2π) =√2π+∞Xf (x + 2π + 2πn) =n=−∞=(äåëàåì çàìåíó èíäåêñà ñóììèðîâàíèÿ k = n + 1)==√2π+∞Xf (x + 2πk) = F (x).k=−∞2) Ôóíêöèÿ F íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà. ×òîáû óáåäèòüñÿ â ýòîì,ìîæíî èñïîëüçîâàòü òåîðåìó î ïî÷ëåííîì äèôôåðåíöèðîâàíèè ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà.
 íàøåì ñëó÷àå íåî÷åâèäíî âûïîëíåíèå òîëüêî îäíîãî óñëîâèÿ ýòîé òåîðåìû: íàì íàäî óáåäèòüñÿ, ÷òî ôóíêöèîíàëüíûéðÿä+∞Xdf(x + 2πn)(29)dxn=−∞ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà ïåðèîäå ôóíêöèè F , íàïðèìåð íà îòðåçêå [−π, π].Èç îïðåäåëåíèÿ áûñòðî óáûâàþùåé ôóíêöèè ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîãîp íàéäåòñÿ ïîñòîÿííàÿ Cp òàêàÿ, ÷òî íåðàâåíñòâ¯ df¯Cp¯ (x + 2πn)¯ ≤¯ dx¯ 1 + |x + 2πn|pñïðàâåäëèâî äëÿ âñåõ x ∈ R.
Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ âñåõ x ∈ [−π, π] èìåå쯯¯ df¯Cp¯ (x + 2πn)¯ ≤¯ dx¯ 1 + π p (|2n| − 1)p ,43ïðè÷åì, êàê èçâåñòíî, ðÿä+∞X|n|>111 + π p (|2n| − 1)pñõîäèòñÿ, åñëè òîëüêî p > 1. Òàêèì îáðàçîì, ìû íàøëè ñóììèðóåìóþìàæîðàíòó äëÿ îáùåãî ÷ëåíà ðÿäà (29) è, íà îñíîâàíèè òåîðåìû Âåéåðøòðàññà î ìàæîðèðîâàííîé ñõîäèìîñòè, ìîæåì çàêëþ÷èòü, ÷òî ðÿä(29) ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà [−π, π]. ×òî è çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâîñâîéñòâà 2.Ïðèñòóïèì òåïåðü ñîáñòâåííî ê äîêàçàòåëüñòâó ôîðìóëû Ïóàññîíà.Êàê âñÿêàÿ 2π -ïåðèîäè÷åñêàÿ íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ, F ðàçëàãàåòñÿ â ñõîäÿùèéñÿ ê íåé ðÿä ÔóðüåF (x) =+∞Xcn einx .n=−∞Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ôîðìóëû (28) íàì íóæíî òîëüêî óáåäèòüñÿ, ÷òîcn = fb(n).
À ýòî âûòåêàåò èç ïðÿìîãî âû÷èñëåíèÿ:1cn =2πZπF (x)e−π−inx1dx =2πZπ √−π2π+∞Xf (x + 2πn)e−inx dx =n=−∞=(èíòåãðèðóåì ðÿä ïî÷ëåííî)=+∞ ZX1=√f (x + 2πn)e−inx dx =2π n=−∞π−π=(äåëàåì çàìåíó ïåðåìåííîé y = x + 2πn è ïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî ýêñïîíåíòà 2πi-ïåðèîäè÷íà)=Z+∞ 2πn+πX1=√f (y)e−iny dy =2π n=−∞2πn−π=(çàìå÷àåì, ÷òî èíòåðâàëû [2πn − π, 2πn + π] ïîêðûâàþò âñþ ÷èñëîâóþïðÿìóþ, è ïîëüçóåìñÿ àääèòèâíîñòüþ èíòåãðàëà)=1=√2π+∞Zf (y)e−iny dy = fb(n).−∞×òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.44Çàäà÷è78. Îáîñíóéòå çàêîííîñòü ïî÷ëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ ðÿäà â ïðèâåäåííîì âûøå äîêàçàòåëüñòâå ôîðìóëû Ïóàññîíà.79.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
