1611689564-c292adb9a0ffac330f3ca30cdb684bd6 (826864), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Àíàëîãè÷íî ìîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî è ïîñëåäîâàòåëüíîå ïðèìåíåíèå ñíà÷àëà îáðàòíîãî, à çàòåì18ïðÿìîãî ïðåîáðàçîâàíèé Ôóðüå òàêæå íå èçìåíÿåò èñõîäíóþ ôóíêöèþ.Ñèìâîëàìè ýòè óòâåðæäåíèÿ çàïèñûâàþò êîðî÷å∨b∨f =fb= fèëèf = F+ [F− [f ]] = F− [F+ [f ]]è íàçûâàþò ôîðìóëàìè îáðàùåíèÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå. ñèëó ôîðìóë îáðàùåíèÿ, ôóíêöèè f è fb â îïðåäåëåííîì ñìûñëåðàâíîïðàâíû.
Îäíàêî (äàæå äëÿ âåùåñòâåííî-çíà÷íîé ôóíêöèè f ) fb,âîîáùå ãîâîðÿ, ÿâëÿåòñÿ êîìïëåêñíî-çíà÷íîé. ×òîáû èçáåæàòü òàêîéàñèììåòðèè, ïðè èçó÷åíèè ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå ìû áóäåì èçíà÷àëüíîïðåäïîëàãàòü, ÷òî ðàññìàòðèâàåìûå ôóíêöèè f ïðèíèìàþò êîìïëåêñíûå çíà÷åíèÿ.Çàäà÷è∨∨27. Äîêàæèòå, ÷òî fb(x) =f (−x) è f (x) = fb(−x). (Ýòî ïðîñòîåíàáëþäåíèå ïîçâîëÿåò âî âñåõ ïîñëåäóþùèõ çàäà÷àõ ðåàëüíî âû÷èñëÿòüòîëüêî ïðÿìîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå.)28. Äîêàæèòå ëèíåéíîñòü ïðÿìîãî è îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèé Ôóðüå, ò. å. óñòàíîâèòå, ÷òî äëÿ ëþáûõ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë a è b ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâàF+ [af + bg] = aF+ [f ] + bF+ [g]èF− [af + bg] = aF− [f ] + bF− [g].29. Äîêàæèòå, ÷òî ôîðìóëû îáðàùåíèÿ ñïðàâåäëèâû äëÿ êîìïëåêñíîçíà÷íûõ ôóíêöèé, à íå òîëüêî äëÿ âåùåñòâåííî-çíà÷íûõ, êàê áûëî äîêàçàíî â òåêñòå.Ñ÷èòàÿ a âåùåñòâåííûì ÷èñëîì, à f : R → C íåïðåðûâíîé àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìîé ôóíêöèåé, äîêàæèòå ñëåäóþùèå ðàâåíñòâà èíàéäèòå èõ àíàëîãè äëÿ îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå.30.
F+ [eiax f (x)](y) = F+ [f ](y − a), ò. å. ñäâèã ïî ôàçå ó ôóíêöèèïðèâîäèò ê ñäâèãó ïî àðãóìåíòó ó åå ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå.31. F+ [f (x − a)](y) = e−iax F+ [f ](y), ò. å. ñäâèã ïî àðãóìåíòó ó ôóíê-öèè ïðèâîäèò ê ñäâèãó ïî ôàçå ó åå ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå.32. F+ [f (x) cos ax](y) = [fb(y − a) + fb(y + a)]/2.33. F+ [f (x) sin ax](y) = [fb(y − a) − fb(y + a)]/(2i).1934. Ïóñòü ôóíêöèÿ f è åå ïåðâàÿ ïðîèçâîäíàÿ íåïðåðûâíû è àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìû íà R.
Äîêàæèòå ðàâåíñòâà· ¸· ¸dfdf(y) = (iy)F+ [f ](y)èF−(y) = (−iy)F− [f ](y),F+dxdxîçíà÷àþùèå, ÷òî ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ïåðåâîäèò (ñ òî÷íîñòüþ äî ÷èñëîâîãî ìíîæèòåëÿ) îïåðàöèþ äèôôåðåíöèðîâàíèÿ â îïåðàöèþ óìíîæåíèÿ íà íåçàâèñèìóþ ïåðåìåííóþ.35. Ïóñòü ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà íà R è ïóñòü, êðîìå òîãî, ôóíêöèèf (x) è xf (x) àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìû íà R.
Äîêàæèòå, ÷òî ôóíêöèè fb∨è f äèôôåðåíöèðóåìû, ïðè÷åì∨dfb(y) = −iF+ [xf (x)](y)dxèdf(y) = iF− [xf (x)](y).dxÝòè ðàâåíñòâà îçíà÷àþò, ÷òî ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ïåðåâîäèò (ñ òî÷íîñòüþ äî ÷èñëîâîãî ìíîæèòåëÿ) îïåðàöèþ óìíîæåíèÿ íà íåçàâèñèìóþïåðåìåííóþ â îïåðàöèþ äèôôåðåíöèðîâàíèÿ. 6. Ïðèìåð âû÷èñëåíèÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå2Ïóñòü a > 0 è ôóíêöèÿ f : R → R îïðåäåëåíà ôîðìóëîé f (x) = e−ax .∨Íàéäåì fb è f .Äëÿ íà÷àëà âû÷èñëèì âñïîìîãàòåëüíûé èíòåãðàë+∞Z2e−ax cos x dx.J(a) =(20)0Èíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòÿì äàåò+∞Z2e−ax d(sin x) =J(a) =0=e−ax2+∞+∞¯+∞ZZ¯22−axxe−ax d(cos x) =sin x¯¯xesin x dx == −2a+ 2a000+∞¯+∞ Z·¸¯222= −2a xe−ax cos x¯¯(e−ax − 2ax2 e−ax ) cos x dx =−0020+∞+∞ZZ2−ax22= 2aecos x dx − 4ax2 e−ax cos x dx.00Çàìåòèâ, ÷òî ïîñëåäíèé èíòåãðàë ìîæíî òðàêòîâàòü êàê âçÿòóþ ñî çíàêîì ìèíóñ ïðîèçâîäíóþ ïî ïàðàìåòðó a îò ôóíêöèîíàëà J(a), ìîæåìïåðåïèñàòü ýòî ðàâåíñòâî â âèäåJ(a) = 2aJ(a) + 4a2dJ.da(21)Ïðè âûâîäå ôîðìóëû (21) ìû âûïîëíèëè äèôôåðåíöèðîâàíèå ïîäçíàêîì èíòåãðàëà â (20).
Êàê èçâåñòíî èç êóðñà ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà, ýòà îïåðàöèÿ çàêîííà, åñëè èñõîäíûé èíòåãðàë ñõîäèòñÿ, åãî ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ èìååò ïðîèçâîäíóþ ïî ïàðàìåòðó, è ó ýòîé ïðîèçâîäíîé åñòü èíòåãðèðóåìàÿ ìàæîðàíòà. Ïðèìåíèòåëüíî ê èíòåãðàëóJ(a) ïðîáëåìó ñîñòàâëÿåò òîëüêî íàëè÷èå èíòåãðèðóåìîé ìàæîðàíòû óïðîèçâîäíîé ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè:2x 7→ x2 e−ax cos x.(22)22Ôèêñèðîâàâ a0 > 0, âèäèì, ÷òî íåðàâåíñòâî |x2 e−ax cos x| ≤ x2 e−a0 xñïðàâåäëèâî äëÿ âñåõ a ∈ [a0 /2, +∞) è âñåõ x ∈ R.
Òåì ñàìûì ôóíê2öèÿ x 7→ x2 e−a0 x ÿâëÿåòñÿ èíòåãðèðóåìîé ìàæîðàíòîé äëÿ ôóíêöèè(22) îòíîñèòåëüíî ïàðàìåòðà a, èçìåíÿþùåãîñÿ â èíòåðâàëå [a0 /2, +∞).Ñëåäîâàòåëüíî, ïî÷ëåííîå äèôôåðåíöèðîâàíèå èíòåãðàëà (20) çàêîííîâ ëþáîé òî÷êå ýòîãî èíòåðâàëà, â òîì ÷èñëå è â òî÷êå a0 . Îäíàêî, ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî a0 áûëî âûáðàíî ïðîèçâîëüíî. Ñëåäîâàòåëüíî, èíòåãðàë (20) ìîæíî äèôôåðåíöèðîâàòü ïîä çíàêîì èíòåãðàëà ïðè ëþáîìïîëîæèòåëüíîì a.Èòàê, ìû óáåäèëèñü, ÷òî óðàâíåíèå (21) ñïðàâåäëèâî äëÿ âñåõ a > 0.Ðåøàÿ ýòî óðàâíåíèå ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ ïåðåìåííûìè îáû÷íûì îáðàçîì, ïîñëåäîâàòåëüíî ïîëó÷àåì(1 − 2a)J(a) = 4a2ln J = −dJ,da1 − 2adJda =,24aJ11− ln a + C1 ,4a 2CJ(a) = √ e−1/4a ,a(23)ãäå C1 è C = eC1 íåêîòîðûå ïîñòîÿííûå.
Òàêèì îáðàçîì, ìû íàøëèâûðàæåíèå ôóíêöèè J(a) ñ òî÷íîñòüþ äî ïîñòîÿííîãî ìíîæèòåëÿ C ,êîíêðåòíîå çíà÷åíèå êîòîðîãî áóäåò íàéäåíî ïîçæå.21Îáðàòèìñÿ ñîáñòâåííî ê âû÷èñëåíèþ ïðÿìîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå2ôóíêöèè f (x) = e−ax :1fb(y) = √2π+∞+∞ZZ21−ax2 −ixy√eedx =e−ax [cos xy − i sin xy] dx.2π−∞−∞Ïîñëåäíèé èíòåãðàë ïîëó÷åí ñ èñïîëüçîâàíèåì ôîðìóëû Ýéëåðà eiϕ =cos ϕ + i sin ϕ. Ïîñêîëüêó ìíèìàÿ ÷àñòü åãî ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèèíå÷åòíà ïî x, òî èíòåãðàë îò íåå ðàâåí íóëþ. Âåùåñòâåííàÿ æå ÷àñòüåñòü ôóíêöèÿ ÷åòíàÿ, è èíòåãðàë îò íåå ïî ñèììåòðè÷íîìó îòíîñèòåëüíî íóëÿ ïðîìåæóòêó ðàâåí óäâîåííîìó èíòåãðàëó ïî ïîëîâèííîìó ïðîìåæóòêó. Ïîýòîìó2fb(y) = √2π+∞Z2e−ax cos xy dx.0Ñ÷èòàÿ y îòëè÷íûì îò íóëÿ, ñäåëàåì â ïîñëåäíåì èíòåãðàëå ëèíåéíóþ çàìåíó ïåðåìåííîé, ïîëîæèâ x|y| = z , è âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé(23) äëÿ èíòåãðàëà (20):fb(y) =2√|y| 2π+∞Z22e−az /y cos z dz =022C −y2 /4a2C|y|√ · √ e−y /4a = √e,(24)a|y| 2π2πaãäå ïîñòîÿííàÿ C âñå åùå îñòàåòñÿ íåîïðåäåëåííîé.Âûøå ìû âûâåëè ôîðìóëó (24) äëÿ âñåõ y , íå ðàâíûõ íóëþ.
Äîêàæåì òåïåðü, ÷òî îíà ñïðàâåäëèâà è äëÿ y = 0. Äëÿ ýòîãî ïðåæäå âñåãîçàìåòèì, ÷òî ïðàâàÿ ÷àñòü ôîðìóëû (24)=2C −y2 /4ay 7→ √e2πaåñòü ôóíêöèÿ íåïðåðûâíàÿ íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé. Äàëåå óáåäèìñÿ,÷òî è ëåâàÿ ÷àñòü ôîðìóëû (24)1y 7→ fb(y) = √2π+∞Z2e−ax e−ixy dx−∞òàêæå ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé, íåïðåðûâíîé íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé. Èçêóðñà ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà âû çíàåòå, ÷òî èíòåãðàë, çàâèñÿùèé îòïàðàìåòðà (â íàøåì ñëó÷àå îò y ), íåïðåðûâåí, åñëè ïîäûíòåãðàëüíàÿ22ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà ïî y è èìååò èíòåãðèðóåìóþ ìàæîðàíòó.  íàøåìñëó÷àå è íåïðåðûâíîñòü ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè2(x, y) 7→ e−ax e−ixyïî ïàðàìåòðó y , è íàëè÷èå ó íåå èíòåãðèðóåìîé ìàæîðàíòû2|e−ax e−ixy | ≤ e−ax2â ðàâíîé ñòåïåíè î÷åâèäíû.Òàêèì îáðàçîì, (24) óòâåðæäàåò, ÷òî äâå íåïðåðûâíûå ôóíêöèè ðàâíû ïðè âñåõ y 6= 0. Íî òîãäà ýòè ôóíêöèè ðàâíû è ïðè y = 0.
Ñëåäîâàòåëüíî, ðàâåíñòâî (24) ñïðàâåäëèâî äëÿ âñåõ y .×òîáû íàéòè ïîñòîÿííóþ C , ìû êàê ðàç è ïîäñòàâèì çíà÷åíèå y = 0â ôîðìóëó (24):2C1√= fb(0) = √2πa2π+∞Z2e−ax dx.−∞Ñäåëàâ â ïîñëåäíåì èíòåãðàëå çàìåíó ïåðåìåííîé t =2C1√=√2πa2πa√ax, ïîëó÷èì+∞Z2e−t dt.−∞Îòñþäà, èñïîëüçóÿ èçâåñòíîå èç êóðñà ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà çíà÷åíèå èíòåãðàëà Ïóàññîíà+∞Z√2e−t dt = π,íàõîäèì C =√−∞π/2 è21fb(y) = √ e−y /4a .2aÏðè a = 1/2 ýòà ôîðìóëà ñòàíîâèòñÿ îñîáåííî èçÿùíîé:2−x2 /2 (y) = e−y /2 .e\2Ñëîâàìè åå ìîæíî âûðàçèòü òàê: ôóíêöèÿ x 7→ e−x /2 ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì âåêòîðîì ïðÿìîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå, îòâå÷àþùèì ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ 1 (íóæíî ëèøü âñïîìíèòü, ÷òî ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ëèíåéíî, à â êóðñå ëèíåéíîé àëãåáðû âû íàçûâàëè íåíóëåâîé âåêòîðv , óäîâëåòâîðÿþùèé ðàâåíñòâó Av = λv , ñîáñòâåííûì âåêòîðîì ëèíåéíîãî îïåðàòîðà A, îòâå÷àþùèì ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ λ).232Íàêîíåö, íàéäåì îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå îò f (x) = e−ax .Íàèáîëåå ïðîñòî ñäåëàòü ýòî, âûðàçèâ îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüåôóíêöèè ÷åðåç åå ïðÿìîå ïðåîáðàçîâàíèå:1f (y) = √2π+∞Zf (x)e+ixy dx =∨1=√2π−∞+∞Z−∞21f (x)e−ix(−y) dx = fb(−y) = √ e−y /4a .2a ÷àñòíîñòè, ìû âèäèì, ÷òî ïðÿìîå è îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå2îò ôóíêöèè f (x) = e−ax ñîâïàäàþò ìåæäó ñîáîé.Çàäà÷èÍàéäèòå ïðÿìîå è îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå ñëåäóþùèõ ôóíêöèé.36.½f (x) =37.½f (x) =38.½f (x) =39.½f (x) =1,0,x, åñëè |x| ≤ 1,0, åñëè |x| > 1.|x|,0,åñëè |x| ≤ 1,åñëè |x| > 1.x2 ,0,åñëè |x| ≤ 1,åñëè |x| > 1.40.
f (x) = e−x2/2cos ax, a ∈ R.41. f (x) = e−x2/2sin ax, a ∈ R.42. f (x) = e−x2/2 iaxeåñëè |x| ≤ 1,åñëè x > 1., a ∈ R.43. f (x) = xe−a|x| , a > 0.2444.f (x) =d(xe−|x| ).dxf (x) =d 2 −|x|(x e).dx45.46.½eix ,0,f (x) =47.½f (x) =48.½f (x) =49.½50.½f (x) =cos x, åñëè |x| ≤ π,0,åñëè |x| > π.åñëè |x| ≤ π,åñëè |x| > π.sin x,0,eix ,0,f (x) =åñëè |x| ≤ π,åñëè |x| > π.åñëè x ∈ [0, π],â ïðîòèâíîì ñëó÷àå.1, åñëè |x| ∈ [1, 2],0, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå.51.f (x) =52.f (x) =1.1 + x2d31.3dx 1 + x253.
Äîêàæèòå, ÷òî ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ôóíêöèè f (x) = 1/(1+x12 )èìååò íåïðåðûâíóþ ïðîèçâîäíóþ äåñÿòîãî ïîðÿäêà.54. Äîêàæèòå, ÷òî ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ôóíêöèè f (x) = xe−|x|3ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìîé ôóíêöèåé.55. Äîêàæèòå, ÷òî ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìîéíåïðåðûâíîé ôóíêöèè f : R → C ÿâëÿåòñÿ âåùåñòâåííî-çíà÷íûì, åñëèè òîëüêî åñëè ðàâåíñòâî f¯(−x) = f (x) ñïðàâåäëèâî äëÿ âñåõ x ∈ R.56. Ïóñòü f : R → C àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìàÿ íåïðåðûâíàÿ∨ôóíêöèÿ. Äîêàæèòå, ÷òîfb =f , åñëè è òîëüêî åñëè f ÷åòíàÿ ôóíêöèÿ.25 7.
Áûñòðî óáûâàþùèå ôóíêöèèÏðåäûäóùèì ïàðàãðàôîì çàêîí÷åíî çíàêîìñòâî ñ ïåðâîíà÷àëüíûìèôàêòàìè òåîðèè ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå.  ïîñëåäóþùèõ ïàðàãðàôàõìû âñòàåì íà áîëåå ïðîäâèíóòóþ òî÷êó çðåíèÿ è ðàçâèâàåì òåîðèþ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå äëÿ òàê íàçûâàåìûõ áûñòðî óáûâàþùèõ ôóíêöèé.Ýòî ïîçâîëÿåò íàì íå äåëàòü ðàçëè÷èÿ ìåæäó ïðåîáðàçîâàíèÿìè Ôóðüå ôóíêöèé îäíîé èëè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ, à òàêæå ñóùåñòâåííîóïðîùàåò òåõíè÷åñêèå äåòàëè.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
