1611689564-c292adb9a0ffac330f3ca30cdb684bd6 (826864), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Ýòîò ìåòîä ïðèìåíèì è ê äðóãèì äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì. Îí íàçûâàåòñÿ îïåðàòîðíûì ìåòîäîì è åãî ïðîñòåéøèé âàðèàíòêîðîòêî ìîæåò áûòü èçëîæåí òàê.Ïóñòü èùåòñÿ ôóíêöèÿ u : R → R, óäîâëåòâîðÿþùàÿ äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþdn udn−1 udu+a+ · · · + an−1+ an u(x) = f (x)1nn−1dxdxdxñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè a0 , . .
. , an è èçâåñòíîé ïðàâîé ÷àñòüþf : R → R. Ïóñòü ôóíêöèè u è f òàêîâû, ÷òî äëÿ êàæäîé èç íèõ îïðåäåëåíî ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå è âûïîëíåíî ñâîéñòâî 3 ïðåîáðàçîâàíèÿÔóðüå: F+ [dk u/dxk ](y) = (iy)k F+ [u](y) (ìû çíàåì, ÷òî ýòè ïðåäïîëîæåíèÿ çàâåäîìî âûïîëíåíû äëÿ áûñòðî óáûâàþùèõ ôóíêöèé, íî ïîëåçíîèìåòü â âèäó, ÷òî îíè âûïîëíÿþòñÿ è äëÿ íåêîòîðûõ äðóãèõ ôóíêöèé).Ïðèìåíèâ ê íàøåìó äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ ïðÿìîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå, ïîëó÷èì ñëåäóþùåå, ÷òî îñîáåííî âàæíî àëãåáðàè÷åñêîå, óðàâíåíèå äëÿ ub£¤a0 (iy)n + a1 (iy)n−1 + · · · + an−1 (iy) + an ub(y) = fb(y).a0Ïðèìåíèâ òåïåðü îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ê ðåøåíèþub(y) =a0(iy)n+ a1fb(y)+ · · · + an−1 (iy) + an(iy)n−1ýòîãî àëãåáðàè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ, íàéäåì ðåøåíèå u èñõîäíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ.51Çàäà÷è82. Íàéäèòå ôóíêöèþ u : R2 → R, óäîâëåòâîðÿþùóþ îäíîìåðíîìóâîëíîâîìó óðàâíåíèþ∂2u∂2u= a2 22∂t∂xè íà÷àëüíûì óñëîâèÿì∂uu(0, x) = f (x),(0, x) = g(x).∂t83.
Íàéäèòå ðåøåíèå äâóìåðíîãî óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà∂2f∂2f+=0∂x2∂y 2â ïîëóïëîñêîñòè y ≥ 0, ïîä÷èíåííîå óñëîâèÿì à) f (x, 0) = g(x) äëÿâñåõ x ∈ R; á) ôóíêöèÿ x 7→ f (x, y) ÿâëÿåòñÿ áûñòðî óáûâàþùåé äëÿêàæäîãî y ≥ 0; â) f (x, y) → 0 ïðè y → +∞ äëÿ êàæäîãî x ∈ R. 14. Íà÷àëüíûå ñâåäåíèÿ î äèñêðåòíîì ïðåîáðàçîâàíèèÔóðüåÏóñòü f : R → R 2π -ïåðèîäè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ, êîòîðàÿ ìîæåò áûòüïðåäñòàâëåíà ñâîèì ðÿäîì Ôóðüå, ò.
å. òàêàÿ, ÷òî äëÿ âñåõ x ∈ R ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî+∞Xf (x) =cn einx ,(36)n=−∞ãäå1cn =2πZπf (x)e−inx dx.−πÊàê èçâåñòíî èç òåìû ¾Ðÿäû Ôóðüå¿, ýòî ðàçëîæåíèå çàâåäîìî èìååòìåñòî, åñëè f íåïðåðûâíàÿ êóñî÷íî-ãëàäêàÿ 2π -ïåðèîäè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ.Ïðè ÷èñëåííûõ ðàñ÷åòàõ f çàäàþò â êîíå÷íîì ìíîæåñòâå òî÷åê èíòåðâàëà [−π, π]. Îáû÷íî íà ðàâíîìåðíîé ñåòêå, ñîñòîÿùåé èç òî÷åêxk = πk/N , íàçûâàåìûõ óçëàìè ñåòêè. Çäåñü öåëîå ÷èñëî N çàäàåòñÿïðîèçâîëüíî è ðåãóëèðóåò êîëè÷åñòâî óçëîâ ñåòêè, à öåëîå ÷èñëî k (ñó÷åòîì òîãî, ÷òî f (−π) = f (π)) ìåíÿåòñÿ îò −N + 1 äî N è íóìåðóåòóçëû â ñåòêå. Ïðè ýòîì çàäàòü ôóíêöèþ çíà÷èò çàäàòü åå çíà÷åíèÿ âóçëàõ fk = f (xk ) = f (πk/N ). Ïîýòîìó äëÿ ôóíêöèè, çàäàííîé íà ñåòêå,èñïîëüçóþò îáîçíà÷åíèå {fk }.52Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî åñëè èíòåðåñîâàòüñÿ çíà÷åíèÿìè èñõîäíîé ôóíêöèè f òîëüêî â óçëàõ ñåòêè, òî èõ ìîæíî íàéòè ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû,óäèâèòåëüíî ïîõîæåé íà (36), íî ñóììèðîâàíèå â íåé áóäåò âåñòèñü ëèøüïî êîíå÷íîìó ìíîæåñòâó èíäåêñîâ.
Äëÿ ýòîãî íóæíî ëèøü ïðåäñòàâèòüïðîèçâîëüíîå öåëîå ÷èñëî n â âèäå n = m + 2N j , ãäå j è m öåëûå÷èñëà, ïðè÷åì −N +1 ≤ m ≤ N , è âîñïîëüçîâàòüñÿ 2πi-ïåðèîäè÷íîñòüþýêñïîíåíòû:µ ¶+∞Xπkπkfk = f=cn ein N =Nn=−∞=NX+∞Xcm+2N j eim πkN +2πijkm=−N +1 j=−∞=NXµ X+∞m=−N +1èëèNXfk =πk¶πkcm+2N j eim Nj=−∞Am eim N ,(37)cm+2N j .(38)m=−N +1ãäå èñïîëüçîâàíî îáîçíà÷åíèåAm =+∞Xj=−∞Íàáîð ÷èñåë A−N +1 , A−N +2 , . .
. , AN , íàéäåííûõ ïî ôîðìóëå (38), íàçûâàåòñÿ ïðÿìûì äèñêðåòíûì ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå ôóíêöèè {fk }.Åãî òàêæå ìîæíî òðàêòîâàòü êàê ôóíêöèþ {Am }, çàäàííóþ íà òîé æåñàìîé ñåòêå xm = πm/N (−N +1 ≤ m ≤ N ).  ÷àñòíîñòè, ìîæíî èñïîëüçîâàòü ôîðìóëó (37) äëÿ ïîñòðîåíèÿ ïî ôóíêöèè {Am } íîâîé ôóíêöèè{fk }, íàçûâàåìîé â ýòîì ñëó÷àå îáðàòíûì äèñêðåòíûì ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå ôóíêöèè {Am }.Èç óêàçàííîãî âûøå ðàññóæäåíèÿ, ïðèâåäøåãî íàñ ê ôîðìóëå (37),ñòàíîâèòñÿ ÿñíîé òàêàÿ åå èíòåðïðåòàöèÿ: åñëè ê ôóíêöèè ïðèìåíèòüñíà÷àëà ïðÿìîå, à ïîòîì îáðàòíîå äèñêðåòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå, òîïðèäåì ê èñõîäíîé ôóíêöèè.
Äðóãèìè ñëîâàìè, (37) ÿâëÿåòñÿ ôîðìóëîéîáðàùåíèÿ äëÿ äèñêðåòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå.Äëÿ ïðÿìîãî äèñêðåòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå èìååòñÿ áîëåå óäîáíàÿ ôîðìóëà, ÷åì (38). ×òîáû ïîëó÷èòü åå, ôèêñèðóåì öåëîå ÷èñëî l(−N + 1 ≤ l ≤ N ), óìíîæèì êàæäóþ èç ôîðìóë (37) íà e−ilkπ/N èïðîñóììèðóåì âñå ïîëó÷åííûå ðàâåíñòâà ïî ïàðàìåòðó k îò −N + 1 äîN:· X¸NNNXXkπkπ−il kπim−ilfk e N =e Ne N .Am(39)k=−N +1m=−N +153k=−N +1 êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ çäåñü ñòîèò ñóììà êîíå÷íîé ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè ñî çíàìåíàòåëåì q = ei(m−l)π/N .
Èñïîëüçóåì èçâåñòíóþ èç ñðåäíåé øêîëû ôîðìóëó äëÿ åå ñóììû:b + bq + · · · + bq M = b1 − q M +1,1−qñïðàâåäëèâóþ ïðè q 6= 1; çäåñü M +1 êîëè÷åñòâî ñóììèðóåìûõ ÷ëåíîâïðîãðåññèè. ôîðìóëå (39) ìû ñóììèðóåì 2N ÷ëåíîâ ïðîãðåññèè, çíàìåíàòåëüêîòîðîé îòëè÷åí îò 1 ïðè m 6= l. Çíà÷èò, ïðè m 6= l, ñóììà, ñòîÿùàÿ â(39) â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ, ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ 1 − q M +1 íà b/(1 − q).Íî1 − q M +1 = 1 − ei(m−l)2πNN= 1 − ei(m−l)2π = 0ââèäó 2πi-ïåðèîäè÷íîñòè ýêñïîíåíòû. Ïîýòîìó â ñóììå ïî m, ñòîÿùåé âïðàâîé ÷àñòè (39), âñå ñëàãàåìûå ðàâíû íóëþ, êðîìå, áûòü ìîæåò, òîãîåäèíñòâåííîãî, äëÿ êîòîðîãî m = l. Íî â ýòîì ñëó÷àå â êâàäðàòíûõñêîáêàõ ìû ñóììèðóåì 2N îäèíàêîâûõ ñëàãàåìûõ, êàæäîå èç êîòîðûõðàâíî 1.Îêîí÷àòåëüíî ìû ïîëó÷àåì èç âûðàæåíèÿ (39)Al =12NNXkπfk e−il N ,l = −N + 1, . .
. , N.(40)k=−N +1Ýòî è åñòü èñêîìûå ôîðìóëû ïðÿìîãî äèñêðåòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå, àíàëîãè÷íûå ôîðìóëàì (37). êà÷åñòâå õàðàêòåðíîãî ïðèìåðà èñïîëüçîâàíèÿ äèñêðåòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå îáñóäèì åãî ïðèìåíåíèå äëÿ ñæàòèÿ öèôðîâûõ èçîáðàæåíèé. Äëÿ îïðåäåëåííîñòè áóäåì âåñòè ðå÷ü î ôîòîãðàôèè, äåìîíñòðèðóåìîé íà ìîíèòîðå ñ ðàçðåøåíèåì 1200 × 1024 ïèêñåëåé.  òàêîìñëó÷àå îáðàç ýêðàíà òðàêòóþò êàê íàáîð èç 1024 âåêòîðîâ, êàæäûéèç êîòîðûõ èìååò 1200 êîìïîíåíò, ïðè÷åì êàæäàÿ êîìïîíåíòà åñòü öåëîå ÷èñëî, êîäèðóþùåå íîìåð öâåòà, êîòîðûì îêðàøåí äàííûé ïèêñåëü. Ñîõðàíèòü èëè ïåðåäàòü ôîòîãðàôèþ çíà÷èò ñîõðàíèòü èëèïåðåäàòü ýòîò íàáîð èç 1024 öåëî÷èñëåííûõ âåêòîðîâ.
Îñíîâíàÿ èäåÿóìåíüøåíèÿ êîëè÷åñòâà èíôîðìàöèè î÷åíü ïðîñòà: äàâàéòå âû÷åðêíåìèç êàæäîãî èç âåêòîðîâ âñå êîìïîíåíòû ñ íå÷åòíûìè íîìåðàìè è âòàêîì âèäå ñîõðàíèì èëè ïåðåäàäèì èíôîðìàöèþ. Äîñòèãíóòûé êîýôôèöèåíò ñæàòèÿ ðàâåí ïðèìåðíî 2. ×òîáû âîññòàíîâèòü ôîòîãðàôèþ,¾ðàçäóåì¿ ñæàòóþ èíôîðìàöèþ, äîáàâèâ ìåæäó êàæäûìè ñîñåäíèìèêîìïîíåíòàìè êàæäîãî âåêòîðà íîâóþ êîìïîíåíòó, ÷èñëåííî ðàâíóþ,54ñêàæåì, ïîëóñóììå åå ñîñåäåé. ßñíî, ÷òî â ðåçóëüòàòå òàêèõ ìàíèïóëÿöèé ìû ïîëó÷èì íå â òî÷íîñòè èñõîäíóþ ôîòîãðàôèþ, à íåñêîëüêîèñêàæåííóþ.Òåïåðü ñëåãêà óñëîæíèì ïðîöåññ ñæàòèÿ: ñíà÷àëà ê êàæäîìó 1200ìåðíîìó âåêòîðó ïðèìåíèì ïðÿìîå äèñêðåòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå,à çàòåì ðåçóëüòàò ¾ñîæìåì¿, âû÷åðêíóâ, êàê è ðàíüøå, íå÷åòíûå êîìïîíåíòû.
Ïðè ýòîì ïðîöåññ âîññòàíîâëåíèÿ, åñòåñòâåííî, âûãëÿäèò òàê:ñíà÷àëà ¾ðàçäóåì¿ ñæàòóþ èíôîðìàöèþ, âñòàâèâ äîïîëíèòåëüíûå êîìïîíåíòû, à çàòåì ñäåëàåì îáðàòíîå äèñêðåòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå.Êàê ìû çíàåì, ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå äèñêðåòíîé ôóíêöèè èìååòñòîëüêî æå êîìïîíåíò, ñêîëüêî èñõîäíàÿ äèñêðåòíàÿ ôóíêöèÿ è, íà ïåðâûé âçãëÿä, ïðåäëîæåííîå óñëîæíåíèå íèêàêîãî âûèãðûøà íàì íå äàåò.Îäíàêî ýêñïåðèìåíòàëüíî óñòàíîâëåíî, ÷òî îáñóæäàåìûé óñëîæíåííûéïðîöåññ ñæàòèÿ ïðèâîäèò ê ìåíüøèì èñêàæåíèÿì èçîáðàæåíèÿ! Çäåñüìû íå ñòàíåì àíàëèçèðîâàòü ìàòåìàòè÷åñêóþ ñóòü ýòîãî ôàêòà, îãðàíè÷èâøèñü ëèøü òàêèì ñîîáðàæåíèåì: ñîãëàñíî ôîðìóëå (37), ïîãðåøíîñòè, âîçíèêøèå â êîýôôèöèåíòàõ Ôóðüå Am , ¾ðàñïðåäåëÿþòñÿ¿ ïîâñåì fk è íå òàê ñèëüíî ¾áðîñàþòñÿ â ãëàçà¿.Îòìåòèì, ÷òî èìåííî îïèñàííàÿ âûøå èäåÿ èñïîëüçîâàíèÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå äëÿ ñæàòèÿ èçîáðàæåíèÿ ëåæèò â îñíîâå àëãîðèòìîâ ñæàòèÿ JPEG, ïðåäëîæåííûõ the Joint Photographic Experts Group(http://www.jpeg.org/public).
Íóæíî òîëüêî èìåòü â âèäó, ÷òî ê íàñòîÿùåìó âðåìåíè èçâåñòíà öåëàÿ ñåðèÿ àëãîðèòìîâ, íåêîòîðûå èç êîòîðûõèñïîëüçóþò äèñêðåòíûé àíàëîã ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå â êîìïëåêñíîéôîðìå (êàê ýòî ñäåëàíî ó íàñ), íåêîòîðûå äèñêðåòíûå àíàëîãè ñèíóñèëè êîñèíóñ-ïðåîáðàçîâàíèé Ôóðüå, à íåêîòîðûå äèñêðåòíûé àíàëîãäâóìåðíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå. Ïîäðîáíåå îá ýòîì ìîæíî ïðî÷èòàòü, íàïðèìåð, â ñòàòüå G. Strang The discrete cosine transform, îïóáëèêîâàííîé â æóðíàëå SIAM Reviews 41, no.
1 (1999) 135147.Âî âñÿêîì ñëó÷àå, òåïåðü âû çíàåòå, ÷òî, êîãäà âû ñîõðàíÿåòå ôàéëâ ôîðìàòå jpg, âàø êîìïüþòåð äåëàåò ïðÿìîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå,à êîãäà âû îòêðûâàåòå ôàéë *.jpg, îí äåëàåò îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèåÔóðüå. Ïðè ýòîì âàæíåéøèì ñòàíîâèòñÿ âîïðîñ î êîëè÷åñòâå îïåðàöèé,íåîáõîäèìûõ äëÿ íàõîæäåíèÿ ïðÿìîãî èëè îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿÔóðüå. Íå óãëóáëÿÿñü â äåòàëè, îòìåòèì, ÷òî îïåðàöèè ïåðåìíîæåíèÿèëè ñëîæåíèÿ äâóõ ÷èñåë ñ ïëàâàþùåé çàïÿòîé çàíèìàþò ó ïðîöåññîðàçíà÷èòåëüíî áîëüøå âðåìåíè, ÷åì âûçîâ ÷èñëà èç îïåðàòèâíîé ïàìÿòèèëè âû÷èñëåíèå ýêñïîíåíòû îò ÷èñëà ñ ïëàâàþùåé çàïÿòîé.
Ïîýòîìóáóäåì áðàòü â ðàñ÷åò òîëüêî àðèôìåòè÷åñêèå îïåðàöèè íàä ÷èñëàìè ñïëàâàþùåé çàïÿòîé. Íàïðèìåð, ñîãëàñíî ôîðìóëå (37), äëÿ íàõîæäåíèÿ55îäíîãî êîýôôèöèåíòà fk îáðàòíîãî äèñêðåòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüåíàì íåîáõîäèìî ñëîæèòü 2N ÷èñåë ñ ïëàâàþùåé çàïÿòîé, êàæäîå èçêîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ ïðîèçâåäåíèåì äâóõ ÷èñåë ñ ïëàâàþùåé çàïÿòîé. Òîåñòü äëÿ íàõîæäåíèÿ îäíîãî fk íàì íåîáõîäèìî âûïîëíèòü 2N óìíîæåíèé è 2N − 1 ñëîæåíèé; âñåãî 4N − 1 àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèé. Äëÿíàõîæäåíèÿ âñåõ êîìïîíåíò {fk } îáðàòíîãî äèñêðåòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå ïîòðåáóåòñÿ 2N (4N − 1) àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèé. ×òîáûóïðîñòèòü èçëîæåíèå è íå ñëåäèòü çà êîíêðåòíûìè ïîñòîÿííûìè, ìûáóäåì ãîâîðèòü, ÷òî äëÿ ýòîãî ïîòðåáóåòñÿ O(N 2 ) îïåðàöèé, ïîäðàçóìåâàÿ ïðè ýòîì, â ñîîòâåòñòâèè ñ îáùåé èäåîëîãèåé ìàòåìàòè÷åñêîãîàíàëèçà, ÷òî íàéäåòñÿ íåêîòîðàÿ ïîñòîÿííàÿ C òàêàÿ, ÷òî íåîáõîäèìîåíàì êîëè÷åñòâî îïåðàöèé íå ïðåâîñõîäèò C · N 2 .Åñòåñòâåííî âîçíèêàåò âîïðîñ î òîì, ìîæíî ëè è íàñêîëüêî óìåíüøèòü ÷èñëî îïåðàöèé, íåîáõîäèìûõ äëÿ íàõîæäåíèÿ äèñêðåòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå, çà ñ÷åò ðàöèîíàëüíîé îðãàíèçàöèè âû÷èñëåíèé? Îáýòîì ðå÷ü ïîéäåò â ñëåäóþùåì ïàðàãðàôå. 15.
Ïåðâûå ñâåäåíèÿ î áûñòðîì ïðåîáðàçîâàíèè ÔóðüåÁûñòðîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå åñòü ñïîñîá îðãàíèçàöèè âû÷èñëåíèé,ïðèìåíÿåìûé äëÿ íàõîæäåíèÿ äèñêðåòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå. Åãîèäåÿ ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû, íàïðèìåð, â ôîðìóëàõ (40) âûäåëèòü ãðóïïûñëàãàåìûõ, êîòîðûå âõîäÿò â âûðàæåíèÿ äëÿ ðàçëè÷íûõ êîýôôèöèåíòîâ Al . Ýêîíîìèÿ âû÷èñëåíèé äîñòèãàåòñÿ çà ñ÷åò òîãî, ÷òî êàæäàÿãðóïïà âû÷èñëÿåòñÿ òîëüêî îäèí ðàç.Äëÿ îïðåäåëåííîñòè ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìû ñîáèðàåìñÿ íàéòè ïðÿìîåäèñêðåòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ïî ôîðìóëàì (40), òî åñòü äëÿ äàííîéäèñêðåòíîé ôóíêöèè {fk } ìû ñîáèðàåìñÿ íàéòè ÷èñëàAn =12NNXkπfk e−in N ,−N + 1 ≤ n ≤ N.(41)k=−N +1Äîïóñòèì, ÷òî ÷èñëî N ÿâëÿåòñÿ ñîñòàâíûì è ïðåäñòàâëåíî â âèäåN = p1 · p2 .
Ïðèìåíÿÿ àëãîðèòì äåëåíèÿ ñ îñòàòêîì, çàïèøåì ïðîèçâîëüíîå öåëîå ÷èñëî n, ëåæàùåå ìåæäó −N +1 è N , â âèäå n = n1 +p1 n2 ,ãäå îñòàòîê n1 ëåæèò â ïðåäåëàõ îò −p1 äî p1 , à ÷àñòíîå n2 â ïðåäåëàõîò −p2 äî p2 :−p1 < n1 < p1 ,−p2 < n2 < p2 .(42)Ïðè ýòîì ìû ïîëó÷àåì íîâóþ âîçìîæíîñòü çàäàâàòü ÷èñëî n èç èíòåðâàëà îò −N +1 äî N : äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî çàäàòü ÷èñëà n1 è n2 , óäîâëåòâîðÿþùèå íåðàâåíñòâàì (42). Ïîëüçóÿñü ýòèì ñîîáðàæåíèåì, ââåäåìîáîçíà÷åíèå An = A(n1 , n2 ).56Îáðàòèòå âíèìàíèå, ÷òî, íàïèñàâ íåðàâåíñòâà (42), ìû èçëèøíå îãðàíè÷èëè ñåáÿ â âûáîðå âîçìîæíûõ ÷àñòíîãî è îñòàòêà, ñäåëàâ, íàïðèìåð,íåâîçìîæíûì ïðåäñòàâëåíèå ÷èñëà n = N = p1 p2 â âèäå n = n1 + p1 n2 .Íî ìû ñîçíàòåëüíî íå óãëóáëÿåìñÿ â îáñóæäåíèå ïîäîáíîãî ðîäà ¾ãðàíè÷íûõ ýôôåêòîâ¿, ÷òîáû íå çàãðîìîæäàòü èçëîæåíèå.Ïîäîáíûì æå îáðàçîì âñÿêîå öåëîå ÷èñëî k , ëåæàùåå ìåæäó −N + 1è N , ïðåäñòàâèì â âèäå k = k2 +p2 k1 , ãäå −p1 < k1 < p1 è −p2 < k2 < p2 .Òåïåðü ìû ìîæåì ïî-íîâîìó îðãàíèçîâàòü ñóììèðîâàíèå â (41):An = A(n1 , n2 ) ==12NpX1 −1pX2 −1NX12Nkπfk e−in N =k=−N +1πfk2 +p2 k1 e−i(n1 +p1 n2 )(k2 +p2 k1 ) p1 p2 .(43)k1 =−p1 +1 k2 =−p2 +1Ïðåîáðàçóåì ïîêàçàòåëü ýêñïîíåíòû:−i(n1 + p1 n2 )(k2 + p2 k1 )πnk2n1 k1= −iπ− iπ− iπn2 k1 .p1 p2Np1Ïîñêîëüêó ÷èñëî n2 k1 öåëîå, òî ýêñïîíåíòà â ñòåïåíè −iπn2 k1 ðàâíà ïëþñ èëè ìèíóñ åäèíèöå.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
