1611689564-c292adb9a0ffac330f3ca30cdb684bd6 (826864), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Íà÷íåì ñ îïðåäåëåíèé.Îïðåäåëåíèå 1. Ìóëüòèèíäåêñîì α íàçûâàåòñÿ âåêòîð (α1 , . . . , αn ),âñå êîìïîíåíòû αj êîòîðîãî íåîòðèöàòåëüíûå öåëûå ÷èñëà. Ïðè ýòîì÷èñëî n íàçûâàþò äëèíîé ìóëüòèèíäåêñà α, ÷èñëî |α| = α1 + α2 + · · · +αn åãî âåñîì è ÷àñòî èñïîëüçóþò îáîçíà÷åíèå α! = α1 ! · α2 ! · · · · ·αn !. Ñóììîé äâóõ ìóëüòèèíäåêñîâ α è β íàçûâàþò íîâûé ìóëüòèèíäåêñ(α1 + β1 , α2 + β2 , . .
. , αn + βn ), îáîçíà÷àÿ åãî ÷åðåç α + β . Ïèøóò α ≤ β ,åñëè äëÿ êàæäîãî j = 1, 2, . . . , n âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî αj ≤ βj . Äëÿα2αn1ëþáîãî âåêòîðà x ∈ Rn ïðîèçâåäåíèå xα1 ·x2 ·· · ··xn êðàòêî çàïèñûâàþòαêàê x , à äëÿ ëþáîé (äîñòàòî÷íî ãëàäêîé) ôóíêöèè f : Rn → C ååïðîèçâîäíóþ1∂xα1∂ |α| fαn2· ∂xα2 · · · · · ∂xnêðàòêî çàïèñûâàþò êàê Dα f . Ýòè îáîçíà÷åíèÿ ñóùåñòâåííî ñîêðàùàþòôîðìóëû.Îïðåäåëåíèå 2.
Ôóíêöèþ f : Rn → C íàçûâàþò áûñòðî óáûâàþùåé, åñëè 1) f áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìà â Rn è 2) äëÿ êàæäîãî ìóëüòèèíäåêñà α è êàæäîãî ïîëîæèòåëüíîãî ÷èñëà p íàéäåòñÿ ïîñòîÿííàÿ Kα,p < +∞ òàêàÿ, ÷òî |Dα f (x)| ≤ Kα,p /(1 + |x|p ) äëÿ âñåõx ∈ Rn . Çäåñü |x| îáîçíà÷àåò äëèíó âåêòîðà x = (x1 , x2 , .
. . , xn ): |x| =(x21 + x22 + · · · + x2n )1/2 .Îïðåäåëåíèå 3. Ôóíêöèþ f : Rn → C íàçûâàþò áûñòðî óáûâàþùåé, åñëè 1) f áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìà â Rn è 2) äëÿ ëþáûõìóëüòèèíäåêñîâ α, β ôóíêöèÿ x 7→ xα Dβ f (x) îãðàíè÷åíà â Rn (ò. å.íàéäåòñÿ ïîñòîÿííàÿ Cα,β < +∞ òàêàÿ, ÷òî |xα Dβ f (x)| ≤ Cα,β äëÿ âñåõx ∈ Rn ).Ëåììà. Îïðåäåëåíèÿ 2 è 3 ýêâèâàëåíòíû.Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû ìû îïóñêàåì, ïîñêîëüêó îíî íîñèò ÷èñòî òåõíè÷åñêèé õàðàêòåð.Ïðåæäå ÷åì ïðèâåñòè ïðèìåðû áûñòðî óáûâàþùèõ ôóíêöèé, íàïîìíèì ñëåäóþùèé ôàêò, èçâåñòíûé èç êóðñà ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà:26ôóíêöèÿ ω : R → R, çàäàííàÿ ôîðìóëîé½0,åñëè x ≤ 0,ω(x) =e−1/x , åñëè x > 0,îáëàäàåò ñâîéñòâàìè(a) ω(x) ≥ 0 äëÿ âñåõ x ∈ R;(b) ω(x) > 0 äëÿ x > 0;(c) ω(x) = 0 äëÿ x < 0;(d) ω áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìà â R.Íàïîìíèì, ÷òî ñâîéñòâî (d) óñòàíàâëèâàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì.Î÷åâèäíî, äëÿ ëþáûõ m ≥ 1 è x < 0 m-ÿ ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè ωâ òî÷êå x ñóùåñòâóåò è ðàâíà 0.
Èíäóêöèåé ïî m íåñëîæíî ïîêàçàòü,÷òî äëÿ ëþáûõ m ≥ 1 è x > 0 m-ÿ ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè ω â òî÷êå xñóùåñòâóåò è èìååò âèäµ ¶dm ω1 −1/x(x) = Pme,dxmxãäå Pm íåêîòîðûé ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè m. Ïîñêîëüêó íà ïëþñ áåñêîíå÷íîñòè ýêñïîíåíòà ðàñòåò áûñòðåå ëþáîãî ìíîãî÷ëåíà, òî ïîñëåäíååâûðàæåíèå ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè x, ñòðåìÿùåìñÿ ê íóëþ ñïðàâà. Îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî ôóíêöèÿ dm ω/dxm èìååò (ïåðâóþ) ïðîèçâîäíóþ â íóëåè îíà ðàâíà íóëþ. Çíà÷èò, ω èìååò âñå ïðîèçâîäíûå â íóëå, à çíà÷èò ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìîé.Íàïîìíèì òàêæå, ÷òî ôóíêöèÿ f : Rn → C íàçûâàåòñÿ ôèíèòíîé,åñëè îíà çàíóëÿåòñÿ âíå íåêîòîðîãî øàðà êîíå÷íîãî ðàäèóñà, ò. å.
åñëèñóùåñòâóåò ÷èñëî R < +∞ òàêîå, ÷òî f (x) = 0 äëÿ âñåõ x ∈ Rn , äëÿêîòîðûõ |x| > R.Èç ñêàçàííîãî ñëåäóåò, ÷òî ïðè ëþáîì âûáîðå x0 ∈ Rn è ε > 0 ôóíêöèÿ ωx0 ,ε : Rn → R, îïðåäåëåííàÿ ôîðìóëîé ωx0 ,ε (x) = ω(ε2 − |x − x0 |2 ),îáëàäàåò ñâîéñòâàìè:(i) ωx0 ,ε áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìà â Rn (êàê ñóïåðïîçèöèÿ ìíîãî÷ëåíà ε2 − |x − x0 |2 è áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìîé ôóíêöèè ω );(ii) ωx0 ,ε ôèíèòíà, òî÷íåå, ωx0 ,ε (x) = 0 äëÿ âñåõ x ∈ Rn òàêèõ, ÷òî |x−x0 | > ε (âåäü äëÿ òàêèõ x àðãóìåíò ε2 − |x − x0 |2 ôóíêöèè ω ñòàíîâèòñÿîòðèöàòåëüíûì);(iii) ωx0 ,ε ñòðîãî ïîëîæèòåëüíà â îòêðûòîì øàðå |x − x0 | < ε.Äðóãèìè ñëîâàìè, ôóíêöèÿ ωx0 ,ε ÿâëÿåòñÿ íåîòðèöàòåëüíîé (è íåðàâíîé òîæäåñòâåííîìó íóëþ) áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìîé ôèíèòíîé ôóíêöèåé. Òàêèå ôóíêöèè áóäóò íàì íóæíû íå òîëüêî ïðè èçó÷åíèè ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå; ìû âñåãäà áóäåì èñïîëüçîâàòü äëÿ íèõââåäåííîå îáîçíà÷åíèå ωx0 ,ε .27Òåïåðü ìû ãîòîâû ïðèâåñòè ïðèìåðû áûñòðî óáûâàþùèõ ôóíêöèé.1) Ëþáàÿ ôèíèòíàÿ áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ áûñòðî óáûâàþùåé.Äîêàçàòåëüñòâî.
Ôèêñèðóåì ìóëüòèèíäåêñû α è β è ïðåäïîëîæèì,÷òî íàì äàíà áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôèíèòíàÿ ôóíêöèÿ f , çàíóëÿþùàÿñÿ ïðè âñåõ |x| > R. Î÷åâèäíî, ïðè ýòîì è åå ïðîèçâîäíàÿDβ f çàíóëÿåòñÿ ïðè âñåõ |x| > R. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ìíîæåñòâî |x| ≤ Rêîìïàêòíî, à çíà÷èò (ïî òåîðåìå Âåéåðøòðàññà), íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ x 7→ |xα Dβ f (x)| äîñòèãàåò íà íåì ñâîåãî ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ.Îáîçíà÷èâ ýòî ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå ÷åðåç Cα,β , ìîæåì çàïèñàòüsup |xα Dβ f (x)| = sup |xα Dβ f (x)| ≤ Cα,β < +∞.x∈Rn|x|≤RÍà îñíîâàíèè îïðåäåëåíèÿ 3, îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî f áûñòðî óáûâàþùàÿ ôóíêöèÿ.2) Åñëè a1 , a2 , . . . , an ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà, òî ôóíêöèÿ f (x) =222f (x1 , x2 , .
. . , xn ) = e−a1 x1 −a2 x2 −···−an xn ÿâëÿåòñÿ áûñòðî óáûâàþùåé.Äîêàçàòåëüñòâî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî ëþáàÿ ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè fèìååò âèä ¾ìíîãî÷ëåí îò x1 , x2 , . . . , xn , óìíîæåííûé íà f ¿, à ýêñïîíåíòàíà ïëþñ áåñêîíå÷íîñòè ðàñòåò áûñòðåå ëþáîãî ìíîãî÷ëåíà.Îòìåòèì, ÷òî ôóíêöèÿ èç ïðèìåðà 2, ÿâëÿÿñü áûñòðî óáûâàþùåé, íåÿâëÿåòñÿ, îäíàêî, ôèíèòíîé.Îáñóäèì ïîëåçíûå äëÿ äàëüíåéøåãî èçëîæåíèÿ ñâîéñòâà áûñòðî óáûâàþùèõ ôóíêöèé.1) Åñëè f è g áûñòðî óáûâàþùèå ôóíêöèè, òî äëÿ ëþáûõ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë a è b ôóíêöèÿ af + bg ÿâëÿåòñÿ áûñòðî óáûâàþùåé.Äîêàçàòåëüñòâî. Òî, ÷òî ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ äâóõ áåñêîíå÷íîäèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìà õîðîøîèçâåñòíî.
Íåðàâåíñòâî æå, ó÷àñòâóþùåå â îïðåäåëåíèè 3, íåïîñðåäñòâåííî âûòåêàåò èç ñàìûõ îáùèõ ñâîéñòâ ñóïðåìóìà ôóíêöèè:sup |xα Dβ (af + bg)| = sup |axα Dβ f (x) + bxα Dβ g(x)| ≤x∈Rnx∈Rn≤ |a| sup |xα Dβ f (x)| + |b| sup |xα Dβ g(x)| < +∞.x∈Rnx∈Rn2) Åñëè f áûñòðî óáûâàþùàÿ ôóíêöèÿ, òî äëÿ ëþáîãî ìóëüòèèíäåêñà α ôóíêöèÿ Dα f òàêæå ÿâëÿåòñÿ áûñòðî óáûâàþùåé.Äîêàçàòåëüñòâî. Ëþáàÿ ïðîèçâîäíàÿ áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìîé ôóíêöèè ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìîé ôóíêöèåé. Ïîýòîìó Dα f áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìà.28Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïîñêîëüêó f áûñòðî óáûâàþùàÿ, òî, ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ 3, äëÿ ëþáûõ ìóëüòèèíäåêñîâ β è γ íàéäåòñÿ ïîñòîÿííàÿ Cβ,γ òàêàÿ, ÷òî |xβ Dγ f (x)| ≤ Cβ,γ äëÿ âñåõ x ∈ Rn .
Íî òîãäà|xβ Dγ [Dα f (x)]| = |xβ Dα+γ f (x)| ≤ Cβ,α+γ < +∞ äëÿ âñåõ x ∈ Rn . Àçíà÷èò, Dα f áûñòðî óáûâàþùàÿ ôóíêöèÿ.3) Åñëè f áûñòðî óáûâàþùàÿ ôóíêöèÿ, òî äëÿ ëþáîãî ìóëüòèèíäåêñà α ôóíêöèÿ xα f ÿâëÿåòñÿ áûñòðî óáûâàþùåé.Äîêàçàòåëüñòâî. Èç èçâåñòíîé âàì èç êóðñà ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà ôîðìóëû Ëåéáíèöà äëÿ ïðîèçâåäåíèÿ ôóíêöèédvdud(u · v) = u ·+·vdxdx dxñëåäóåò, ÷òîXDα (u · v) =Cαβ (Dβ u) · (Dα−β v),β≤αãäåCαβ íåêîòîðûå ïîñòîÿííûå.
ÏîýòîìóXDγ (xα f (x)) =Kγδ xα−δ (Dγ−δ f ),δ≤γãäå Kγδ íåêîòîðûå ïîñòîÿííûå. Ñëåäîâàòåëüíî,X|xβ Dγ (xα f (x))| ≤|Kγδ | sup |xα+β−δ (Dγ−δ f (x))| < +∞,δ≤γx∈Rnïîñêîëüêó êàæäîå ñëàãàåìîå â ïîñëåäíåé ñóììå êîíå÷íî ââèäó òîãî, ÷òîf áûñòðî óáûâàåò, à ÷èñëî ñëàãàåìûõ êîíå÷íî.4) Ïðîèçâåäåíèå áûñòðî óáûâàþùåé ôóíêöèè íà ìíîãî÷ëåí åñòü ôóíêöèÿ áûñòðî óáûâàþùàÿ.Äîêàçàòåëüñòâî íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò èç ñâîéñòâ 1 è 3.Çàìåòèì, ÷òî, ñîãëàñíî ñâîéñòâó 1, ñîâîêóïíîñòü âñåõ áûñòðî óáûâàþùèõ ôóíêöèé, çàäàííûõ â ïðîñòðàíñòâå Rn , îáðàçóåò âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî îòíîñèòåëüíî îáû÷íûõ îïåðàöèé ñëîæåíèÿ ôóíêöèé è óìíîæåíèÿ ôóíêöèè íà ÷èñëî. Ýòî ïðîñòðàíñòâî îáîçíà÷àþò ÷åðåç S(Rn )èëè S(Rn ).Çàäà÷èÑ÷èòàÿ α è β ìóëüòèèíäåêñàìè, äîêàæèòå ñëåäóþùèå ¾ìíîãîìåðíûåâàðèàíòû¿ èçâåñòíûõ âàì ôîðìóë.57.
Áèíîì Íüþòîíà:(x + y)α =Xβ≤αα!xβ y α−β ,β!(α − β)!29ãäå x, y ∈ Rn .58.Xβ≤αα!= 2|α| .β!(α − β)!59. Ôîðìóëà Ëåéáíèöà:Dα (f g) =Xβ≤αα!(Dβ f )(Dα−β g),β!(α − β)!ãäå f è g äîñòàòî÷íî ãëàäêèå ôóíêöèè â Rn .60. Ôîðìóëà Òåéëîðà:f (x + y) =X[Dα f (x)]|α|≤myα+ r(y)|y|m ,α!nãäå x, y ∈ R , à f è r ôóíêöèè â Rn , ïðè÷åì r(y) → 0 ïðè y → 0.61. Ïðîâåðüòå, ÷òî ôóíêöèÿ e−a|x| (a > 0), êàê è âñå åå ïðîèçâîä-íûå, îïðåäåëåííûå ïðè x 6= 0, óáûâàåò íà áåñêîíå÷íîñòè áûñòðåå ëþáîéñòåïåíè ïåðåìåííîé x è, òåì íå ìåíåå, ýòà ôóíêöèÿ íå ÿâëÿåòñÿ áûñòðîóáûâàþùåé. 8.
Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå áûñòðî óáûâàþùèõ ôóíêöèéÎïðåäåëåíèå. Áûñòðî óáûâàþùåé ôóíêöèè f : Rn → C ñîïîñòàâèìäâå íîâûå ôóíêöèèZfb(y) = (2π)−n/2f (x)e−i(x,y) dxRnè∨Zf (y) = (2π)−n/2f (x)e+i(x,y) dx,Rnãäå (x, y) =nPj=1xj yj ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå â Rn , à i ìíèìàÿåäèíèöà.Ïðåîáðàçîâàíèå, ïåðåâîäÿùåå ôóíêöèþ f â ôóíêöèþ fb, íàçûâàåòñÿ ïðÿìûì ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå è îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç F+ .
Ïðè ýòîìñàìó ôóíêöèþ fb = F+ [f ] íàçûâàþò ïðÿìûì ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüåôóíêöèè f .30∨Àíàëîãè÷íî ïðåîáðàçîâàíèå, ïåðåâîäÿùåå f â f , íàçûâàåòñÿ îáðàòíûì ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå è îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç F− . Ïðè ýòîì ôóíê∨öèþ f =F− [f ] íàçûâàþò îáðàòíûì ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå ôóíêöèèf.Îòìåòèì, ÷òî èíòåãðàëû, çàäàþùèå ïðÿìîå è îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå, ÿâëÿþòñÿ ñõîäÿùèìèñÿ, ïîñêîëüêó ìîäóëü ýêñïîíåíòû ñ÷èñòî ìíèìûì ïîêàçàòåëåì ðàâåí åäèíèöå è äëÿ ëþáîãî p > 0 áûñòðîóáûâàþùàÿ ôóíêöèÿ f äîïóñêàåò îöåíêó|f (x)| ≤C,1 + |x|pñïðàâåäëèâóþ ñ íåêîòîðîé ïîñòîÿííîé C < +∞ äëÿ âñåõ x ∈ Rn .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
