1611689564-c292adb9a0ffac330f3ca30cdb684bd6 (826864)
Текст из файла
ÏðåäèñëîâèåÂû äåðæèòå â ðóêàõ ïåðåðàáîòàííûé êîíñïåêò ëåêöèé îäíîé èç äåâÿòè òåì, ÷èòàåìûõ íà ôèçè÷åñêîì ôàêóëüòåòå Íîâîñèáèðñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà â ðàìêàõ êóðñà ¾Îñíîâû ôóíêöèîíàëüíîãîàíàëèçà¿ â ïåðâîé ïîëîâèíå òðåòüåãî ñåìåñòðà. Òåìå ¾ÏðåîáðàçîâàíèåÔóðüå¿ îòâîäèòñÿ ïðèáëèçèòåëüíî ÷åòûðå ëåêöèè è òðè ñåìèíàðà. Ïîñîáèå ñîäåðæèò òó ÷àñòü îáøèðíîé òåîðèè ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå, êîòîðóþ ìîæíî ðåàëüíî èçëîæèòü è óñâîèòü çà îòâåäåííûé ó÷åáíûì ïëàíîì ïðîìåæóòîê âðåìåíè è êîòîðàÿ ðåàëüíî íåîáõîäèìà ñòóäåíòàì äëÿóñâîåíèÿ ôèçè÷åñêèõ êóðñîâ, ÷èòàåìûõ â ïîñëåäóþùåì.Êîðîòêî ïðîêîììåíòèðóåì êíèãè, èñïîëüçîâàííûå ïðè íàïèñàíèè íàñòîÿùåãî ïîñîáèÿ è ðåêîìåíäóåìûå äëÿ áîëåå ãëóáîêîãî îçíàêîìëåíèÿñ ïðåäìåòîì.Íàøå èçëîæåíèå íàèáîëåå áëèçêî ê ïðèíÿòîìó â ñëåäóþùåì øèðîêîðàñïðîñòðàíåííîì ó÷åáíèêå:• Çîðè÷ Â.
À. Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç. ×. 2. Ì.: Íàóêà, 1984.Íåñêîëüêî äàëüøå îò íàøåãî èçëîæåíèÿ íàõîäÿòñÿ êëàññè÷åñêèå ó÷åáíèêè:• Êîëìîãîðîâ À. Í., Ôîìèí Ñ. Â. Ýëåìåíòû òåîðèè ôóíêöèé è ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà. Ì.: Íàóêà, 1972.• Ôèõòåíãîëüö Ã. Ì. Êóðñ äèôôåðåíöèàëüíîãî è èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ. Ò. 3. Ì.: Íàóêà, 1969.Äëÿ áîëåå ãëóáîêîãî çíàêîìñòâà ñ ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå è åãî ðîëüþ â òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêå ìîæíî ðåêîìåíäîâàòü ïðåêðàñíóþ êíèãó:• Ðèä Ì., Ñàéìîí Á. Ìåòîäû ñîâðåìåííîé ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè.Ò. 2 / Ïåð. ñ àíãë.
Ì.: Ìèð, 1978.Òåì, êòî õî÷åò ãëóáæå ðàçîáðàòüñÿ â äèñêðåòíîì è áûñòðîì ïðåîáðàçîâàíèÿõ Ôóðüå, ìîæíî ðåêîìåíäîâàòü ñëåäóþùèå êíèãè:• Áàõâàëîâ Í. Ñ., Æèäêîâ Í. Ï., Êîáåëüêîâ Ã. Ì. ×èñëåííûå ìåòîäû.Ì.: Íàóêà, 1987.• Êíóò Ä. Èñêóññòâî ïðîãðàììèðîâàíèÿ äëÿ ÝÂÌ. Ò. 2 / Ïåð. ñàíãë. Ì.: Ìèð, 1972.Çàìåòíàÿ ÷àñòü ïðèâîäèìûõ â íàøåì ïîñîáèè çàäà÷ ïîçàèìñòâîâàíàèç ñëåäóþùèõ ñáîðíèêîâ:• Êóäðÿâöåâ Ë. Ä. è äð. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó àíàëèçó.Ôóíêöèè ìíîãèõ ïåðåìåííûõ. ÑÏá., 1994.• Âëàäèìèðîâ Â. Ñ. è äð. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî óðàâíåíèÿì ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. Ì.: Íàóêà, 1974.Òàì æå ìîæíî íàéòè äîïîëíèòåëüíûå çàäà÷è ê òåìå ¾Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå¿.3 1.
Èíòåãðàë Ôóðüå êàê ïðåäåëüíàÿ ôîðìà ðÿäà ÔóðüåÏóñòü f : R → R íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ. Íàîñíîâàíèè òåîðåìû î ïðåäñòàâèìîñòè ôóíêöèè â òî÷êå ñâîèì ðÿäîìÔóðüå ìîæåì äëÿ ëþáîãî l > 0 ðàçëîæèòü f â ðÿä Ôóðüå â ïðîìåæóòêå[−l, l]:¶∞ µπnxπnxa0 X+an cos+ bn sin,(1)f (x) =2lln=1ãäåZl1πntan =f (t) cosdt,n = 0, 1, 2, . . . ,ll−l(2)Zl1πntbn =f (t) sindt,n = 1, 2, . . .
.ll−lÐàçëîæåíèå (1) îáëàäàåò äîñàäíîé àñèììåòðèåé: åãî ëåâàÿ è ïðàâàÿ÷àñòè îïðåäåëåíû íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé, íî ðàâåíñòâî èìååò ìåñòîòîëüêî â ïðîìåæóòêå [−l, l]. Óñòðàíèì ýòîò íåäîñòàòîê, ïåðåéäÿ ê ïðåäåëó ïðè l → +∞. Ïðè ýòîì îãðàíè÷èìñÿ íàâîäÿùèìè ñîîáðàæåíèÿìè,îñòàâèâ ñòðîãèå ðàññóæäåíèÿ íà ïîòîì.Ïðåîáðàçóåì (1), ïîäñòàâèâ âìåñòî an è bn èõ âûðàæåíèÿ (2):f (x) =1lZl−l·¶¸∞ µ1 Xπntπnxπntπnxf (t) +coscos+ sinsindt =2 n=1llll=1lZl−l1=2lZl−l·¸∞1 Xπnf (t) +(t − x) dt =cos2 n=1l1 lf (t) dt + ·l πZlf (t)∞X(3)cos[yn (t − x)]∆yn dt,n=1−lãäå èñïîëüçîâàíû îáîçíà÷åíèÿ yn = πn/l è ∆yn = yn+1 − yn = π/l.Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ôóíêöèÿ f íå òîëüêî íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà, íî è ¾äîñòàòî÷íî áûñòðî óáûâàåò íà áåñêîíå÷íîñòè¿.
Òî÷íåå, áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî èíòåãðàë+∞Z|f (t)| dt−∞ñõîäèòñÿ.4Òîãäà èíòåãðàë, âõîäÿùèé â ïåðâîå ñëàãàåìîå â âûðàæåíèè (3), ñòðåìèòñÿ ê êîíå÷íîìó ïðåäåëó ïðè l → +∞, à ñàìî ïåðâîå ñëàãàåìîå ñòðåìèòñÿ ê íóëþ.Ïîñêîëüêó ∆yn → 0 ïðè l → +∞, òî âûðàæåíèå∞Xcos[yn (t − x)]∆ynn=1ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê ñóììó Ðèìàíà èíòåãðàëà+∞Zcos y(t − x) dy.0(Íàäî òîëüêî èìåòü â âèäó, ÷òî ýòî î÷åíü íåñòðîãîå ñîîáðàæåíèå; íåñòðîãîå õîòÿ áû ïîòîìó, ÷òî íàïèñàííûé èíòåãðàë çàâåäîìî ðàñõîäèòñÿ.) ðåçóëüòàòå ìû ìîæåì íàäåÿòüñÿ, ÷òî, ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïðè l →+∞ â âûðàæåíèè (3), ìû ïîëó÷èì1f (x) =π+∞+∞·Z¸Zf (t)cos y(t − x) dy dt.−∞0Ìåíÿÿ ïîðÿäîê èíòåãðèðîâàíèÿ è ðàçëàãàÿ êîñèíóñ ðàçíîñòè ïî èçâåñòíîé òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìóëå, ïîëó÷èì1f (x) =πèëèãäå+∞· Z+∞+∞¸ZZf (t) cos yt dt · cos yx +f (t) sin yt dt · sin yx dy,0−∞−∞+∞Z[a(y) cos yx + b(y) sin yx] dy,f (x) =(4)01a(y) =π1b(y) =π+∞Zf (t) cos ty dt,(5)−∞+∞Zf (t) sin ty dt.(6)−∞Îòìåòèì, ÷òî ïðè íàøèõ ïðåäïîëîæåíèÿõ îá f èíòåãðàëû â (5) è (6)ñõîäÿòñÿ, à èíòåãðàë â (4), âî âñÿêîì ñëó÷àå, íå ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëîì,5ðàñõîäèìîñòü êîòîðîãî áðîñàëàñü áû â ãëàçà.
Ïðè ýòîì ìû ìîæåì íàäåÿòüñÿ, ÷òî ôîðìóëà (4) áóäåò ñïðàâåäëèâà íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîéè áóäåò èãðàòü ðîëü ðàçëîæåíèÿ ôóíêöèè â ðÿä Ôóðüå.Ïðàâàÿ ÷àñòü ôîðìóëû (4) íàçûâàåòñÿ èíòåãðàëîì Ôóðüå, à ñàìàôîðìóëà (4) èíòåãðàëüíîé ôîðìóëîé Ôóðüå. Ôóíêöèÿ a : R → R,îïðåäåëåííàÿ ôîðìóëîé (5), íàçûâàåòñÿ êîñèíóñ-ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå ôóíêöèè f . Ôóíêöèÿ b : R → R, îïðåäåëåííàÿ ôîðìóëîé (6), íàçûâàåòñÿ ñèíóñ-ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå ôóíêöèè f .Îáðàòèòå âíèìàíèå, ÷òî ôîðìóëû (4)(6) óäèâèòåëüíî íàïîìèíàþòóæå ïðèâû÷íûå âàì ôîðìóëû ðàçëîæåíèÿ 2π -ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèèâ ðÿä Ôóðüå:∞a0 X+(an cos nx + bn sin nx),2n=1f (x) =1an =π(7)Zπf (t) cos nt dt,n = 0, 1, 2, . .
. ,(8)n = 1, 2, . . . .(9)−π1bn =πZπf (t) sin nt dt,−π ñàìîì äåëå, â ôîðìóëàõ (5)(6) è (8)(9) ó÷àñòâóåò îäèíàêîâûé êîýôôèöèåíò 1/π , à èíòåãðèðîâàíèå âåäåòñÿ ïî âñåìó ïðîìåæóòêó, íàêîòîðîì îïðåäåëåíà f . Âîò òîëüêî äèñêðåòíûé ïàðàìåòð n çàìåíåí íàíåïðåðûâíûé y . Àíàëîãè÷íî, ôîðìóëà (4) î÷åíü íàïîìèíàåò (7): íàäîëèøü çàìåíèòü äèñêðåòíûé ïàðàìåòð n íà íåïðåðûâíûé y è â ñâÿçèñ ýòèì çàìåíèòü ñóììó íà èíòåãðàë (â íåêîòîðîì ñìûñëå ñ òåìè æåïðåäåëàìè). 2. Òåîðåìà î ïðåäñòàâèìîñòè ôóíêöèè â òî÷êå ñâîèìèíòåãðàëîì ÔóðüåÍàøå îáîñíîâàíèå íåñòðîãèõ ðàññóæäåíèé, ïðèâåäåííûõ â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå, áóäåò îïèðàòüñÿ íà ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.Ëåììà (Ðèìàíà Ëåáåãà äëÿ áåñêîíå÷íîãî ïðîìåæóòêà).
Åñëè a ∈R è f : (a, +∞) → R àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìà íà (a, +∞), ò. å. åñëèR +∞|f (x)| dx < +∞, òîa+∞+∞ZZlimf (x) cos px dx = limf (x) sin px dx = 0.p→+∞p→+∞aa6Ìû ïðèìåì ýòî óòâåðæäåíèå áåç äîêàçàòåëüñòâà, ïîñêîëüêó îíî ëèøüòåõíè÷åñêèìè äåòàëÿìè îòëè÷àåòñÿ îò ëåììû Ðèìàíà Ëåáåãà, ðàññìîòðåííîé â ðàçäåëå ¾Ðÿäû Ôóðüå¿.Ôóíêöèþ f : R → R áóäåì íàçûâàòü êóñî÷íî-ãëàäêîé, åñëè îíà ÿâëÿåòñÿ êóñî÷íî-ãëàäêîé â ñìûñëå òåîðèè ðÿäîâ Ôóðüå íà ëþáîì êîíå÷íîì ïðîìåæóòêå [a, b], ò.
å. åñëè â [a, b] íàéäåòñÿ êîíå÷íîå ÷èñëî òî÷åêa = x0 < x1 < · · · < xn = b òàêèõ, ÷òî â êàæäîì îòêðûòîì èíòåðâàëå(xj , xj+1 ) ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà, à â êàæäîé òî÷êåxj ó f ñóùåñòâóþò êîíå÷íûå ïðåäåëû ñëåâà è ñïðàâàf (xj − 0) = lim f (xj − h),f (xj + 0) = lim f (xj + h),h→0+h→0+à òàêæå ñóùåñòâóþò è êîíå÷íû ñëåäóþùèå ïðåäåëû, ïîõîæèå íà ëåâóþè ïðàâóþ ïðîèçâîäíûålimh→0+f (xj − h) − f (xj − 0),−hlimh→0+f (xj + h) − f (xj + 0).hÒåîðåìà (î ïðåäñòàâèìîñòè ôóíêöèè â òî÷êå ñâîèì èíòåãðàëîì Ôóðüå). Ïóñòü f : R → R êóñî÷íî-ãëàäêàÿ àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìàÿôóíêöèÿ.
Òîãäà äëÿ ëþáîãî x ∈ R ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî+∞Z1[a(y) cos yx + b(y) sin yx] dy = [f (x + 0) + f (x − 0)],20ãäå1a(y) =πb(y) =1π+∞Zf (t) cos ty dt,−∞+∞Zf (t) sin ty dt.−∞Äðóãèìè ñëîâàìè, ýòà òåîðåìà îçíà÷àåò, ÷òî èíòåãðàë Ôóðüå êóñî÷íîãëàäêîé àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìîé ôóíêöèè ðàâåí ïîëóñóììå åå ïðåäåëîâ ñëåâà è ñïðàâà.  ÷àñòíîñòè, â òî÷êå íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè îí âòî÷íîñòè ðàâåí çíà÷åíèþ ôóíêöèè.Äîêàçàòåëüñòâî. ÏîëîæèìZAfA (x) = [a(y) cos yx + b(y) sin yx] dy0è óáåäèìñÿ, ÷òî fA (x) → [f (x + 0) + f (x − 0)]/2 ïðè A → +∞.7Äëÿ íà÷àëà ïðåîáðàçóåì A, ïîäñòàâèâ âìåñòî a(y) è b(y) èõ âûðàæåíèÿ ÷åðåç èíòåãðàëû è âîñïîëüçîâàâøèñü òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìóëîé äëÿ êîñèíóñà ðàçíîñòè:1fA (x) =πZA+∞½Z¾dyf (t)[cos ty · cos yx + sin ty · sin yx] dt =−∞01=πZA+∞½Z¾dyf (t) cos y(t − x) dt .−∞0Èçìåíèâ ïîðÿäîê èíòåãðèðîâàíèÿ â ïîñëåäíåì âûðàæåíèè, ïîëó÷èì1fA (x) =π+∞·ZZAf (t)−∞¸cos y(t − x) dy dt.(10)0Äëÿ îáîñíîâàíèÿ çàêîííîñòè èçìåíåíèÿ ïîðÿäêà èíòåãðèðîâàíèÿ âäàííîì ñëó÷àå åñòåñòâåííî èñïîëüçîâàòü òåîðåìó Ôóáèíè: åñëè ôóíêöèÿ èíòåãðèðóåìà ïî ñîâîêóïíîñòè ïåðåìåííûõ, òî âñå åå ïîâòîðíûåèíòåãðàëû ñóùåñòâóþò è íå òîëüêî ðàâíû ìåæäó ñîáîé, íî ðàâíûè åå êðàòíîìó èíòåãðàëó.
 íàøåì ñëó÷àå îáîñíîâàòü çàêîííîñòü èçìåíåíèÿ ïîðÿäêà èíòåãðèðîâàíèÿ êàê ðàç è çíà÷èò äîêàçàòü ðàâåíñòâîïîâòîðíûõ èíòåãðàëîâ. Òàêèì îáðàçîì, âñå äåëî óïèðàåòñÿ â èíòåãðèðóåìîñòü ôóíêöèè äâóõ ïåðåìåííûõ (t, y) 7→ f (t) cos y(t − x) ïî ìíîæåñòâóR × [0, A]. Ïîñêîëüêó âñÿêàÿ àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìàÿ ôóíêöèÿ èíòåãðèðóåìà, òî íàì äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî ìîäóëü ýòîé ôóíêöèè èíòåãðèðóåì. Îäíàêî ìîäóëü âåëè÷èíà íåîòðèöàòåëüíàÿ, à èç êóðñà ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà èçâåñòíî, ÷òî åñëè äëÿ íåîòðèöàòåëüíîé ôóíêöèèíåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ ñõîäèòñÿ õîòü îäèí ïîâòîðíûé èíòåãðàë, òîýòà ôóíêöèÿ èíòåãðèðóåìà ïî ñîâîêóïíîñòè âñåõ ïåðåìåííûõ. Çíà÷èò,äëÿ íàøèõ öåëåé äîñòàòî÷íî óñòàíîâèòü ñõîäèìîñòü ïîâòîðíîãî èíòåãðàëà+∞·ZA¸Z|f (t) cos y(t − x)| dy dt,−∞0ñõîäèìîñòü êîòîðîãî âûòåêàåò èç ñëåäóþùèõ î÷åâèäíûõ âûêëàäîê:+∞·ZAZ−∞¸|f (t) cos y(t − x)| dy dt ≤08+∞+∞·ZA ¸ZZ≤|f (t)|dy dt ≤ A|f (t)| dt < +∞,−∞−∞0ãäå ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî íàïèñàíî â ñèëó óñëîâèÿ òåîðåìû, ñîãëàñíî êîòîðîìó f àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìà.
Òåì ñàìûì ìû çàâåðøèëè îáîñíîâàíèå çàêîííîñòè èçìåíåíèÿ ïîðÿäêà èíòåãðèðîâàíèÿ è äîêàçàëèðàâåíñòâî (10).Ïðåîáðàçóåì ôîðìóëó (10):fA (x) =1=π1=π1π+∞·ZZAf (t)−∞¸cos y(t − x) dy dt =0¯y=A ¾sin y(t − x) ¯¯dt =f (t)t − x ¯y=0+∞½Z−∞+∞+∞ZZsin A(t − x)1sin Auf (t)dt =f (x + u)du.t−xπu−∞−∞Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ïîëó÷åíî ñ ïîìîùüþ ëèíåéíîé çàìåíû ïåðåìåííîét − x = u. Ïîëüçóÿñü àääèòèâíîñòüþ, ðàçîáüåì ïîñëåäíèé èíòåãðàë íàäâà (ïî ïðîìåæóòêàì (−∞, 0) è (0, +∞) ñîîòâåòñòâåííî) è ñäåëàåì âïåðâîì èç íèõ çàìåíó u → −u:1FA (x) =π1=πZ0−∞Z10−∞sin Au1f (x + u)du +uπ1=π1=π+∞Zsin Auf (x + u)du =u+∞Z0+∞Zsin Auf (x + u)du =u0f (x + u) + f (x − u)sin Au du =uf (x + u) + f (x − u)1sin Au du+uπ+∞Z1f (x + u) + f (x − u)sin Au du.uÎáîçíà÷èì ïåðâûé èç ýòèõ èíòåãðàëîâ ÷åðåç I1 , à âòîðîé ÷åðåç I2 .9Ïîñêîëüêó+∞¯¯Z¯ f (x + u) + f (x − u) ¯¯¯ du ≤¯¯u1+∞+∞+∞ZZZ≤|f (x + u)| du +|f (x − u)| du ≤ 2|f (v)| dv < +∞,1−∞1òî ôóíêöèÿ u 7→ [f (x + u) + f (x − u)]/u àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìà ïîïðîìåæóòêó [1, +∞) è ê I2 ìîæíî ïðèìåíèòü ëåììó Ðèìàíà Ëåáåãàäëÿ áåñêîíå÷íîãî ïðîìåæóòêà.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
