1611689327-cfeacb4815f71bfc7b0924db4bd61033 (826775), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

для неё выполняются все условия теоремы одифференцировании собственного интеграла с параметром.2 (2Φ( + ℎ) − Φ() , + ℎ) − (, ) � = �� ���ℎℎ11= {по формуле Лагранжа} = |Φ′ ( + Θℎ)|2= ��(, + Θℎ) � < 1 По критерию Коши для ∫(, ) , т.к. мы взяли из него 0 , 1 , 2 .∎Билет 49. Теорема о собственном интеграле несобственного интеграла спараметром(теорема о перестановке собственного и несобственногоинтеграла) () = ∫ (, ) ( − особая точка), удовлетворяет условиямтеоремы о непрерывном интеграле, зависящего от параметра, т.е.

(, )– непрерывна на [, ) × [, ], ∫ (, ) сходится равномерно на[, ]; ∫ () – собственный.Тогда ∃ ∫ () = ∫ ∫ (, ) = ∫ ∫ (, ) .Доказательство.() – непрерывна, т.к. f удовлетворяет условиям теоремы онепрерывности интеграла, зависящего от параметра (по условиютеоремы) ⇒ ∃ ∫ (). ∈ (, ). Тогда ∫ ∫ (, ) = ∫ ∫ (, ) по теореме оперестановке собственных интегралов, т.к. f – непрерывна на Π =[, ][, ] (выполняется в силу условия теоремы). � � (, ) = lim � � (, ) → = lim � � (, ) =(∗) � �lim � (, )� → = � � (, ) →(∗) (теорема о предельном переходе под знаком собственногоинтеграла) выполняется, если ∫ (, ) ⇉[,] ∫ (, ) , что верно всилу условия теоремы.→Билет 50. Теорема о перестановке несобственных интегралов. () = ∫ (, ) ( − особая точка), ∫ () – несобственный сособой точкой d.1) f(x,y) непрерывна на [, ) × [, )2) ∀ ∈ (, ) ∫ (, ) сходится равномерно на[, ](относительно )3) ∀ ∈ (, ) ∫ (, ) сходится равномерно на[, ](относительно )4) ∫ ∫ (, ) или ∫ ∫ (, ) сходится.Тогда ∃ ∫ ∫ (, ) , ∃ ∫ ∫ (, ) и ∫ ∫ (, ) =∫ ∫ (, ) .Доказательство.∎(∗) ∀ ∈ (, ) ∫ ∫ (, ) = ∫ ∫ (, ) по теореме особственном интеграле несобственного интеграла с параметром, условиякоторой выполняются в силу условий 1 и 3 данной теоремы.Перейдём к пределу при → : ∫ ∫ (, ) =lim ∫ ∫ (, ) =(∗)→ = lim � � (, ) =(∗∗) � �lim � (, )� → = � � (, ) →(∗∗) – теорема о предельном переходе под знаком несобственногоинтеграла, условия которой мы должны проверитьРассмотрим Φ(, ) = ∫ (, ).

Тогда (∗∗) = lim ∫ Φ(, ) =→∫ �lim Φ(, )� .→Это выполняется при следующих условиях:a) ∀ ∈ (, ) Φ(, ) ⇉[,] ∫ (, ) (условие 2)→b) ∫ Φ(, ) сходится равномерно относительно \.Докажем b) с помощью признака Вейерштрасса (|Φ(, )| ≤( ), ∫ () − сходится ⇒ ∫ Φ(, ) – сходится равномерно).| (, )| = ();Рассмотрим |Φ(, )| ≤ ∫ |(, )| ≤ ∫�� �������не зависит от ∫ ( ) = ∫ ∫ | (, )| – сходится по условию 4, значит условиявыполняются ⇒ ∫ Φ(, ) – сходится равномерно.∎Замечание:Проверку на равномерную сходимость можно заменить на проверкунепрерывности с помощью теоремы Дини.

Тогда условия 2 и 3 будутвыглядеть следующим образом:(, ) непрерывна на [, )[, ) и (, ) ≥ 0; ∫ (, )непрерывен на [, ) по y; ∫ (, ) непрерывен на [, ) по x.(∫ (, ) → ∫ (, ) – монотонность по , т.к. (, ) ≥ 0 инепрерывность ∫ (, ) ⇒ выполняются условия теоремы Дини)Билет 51.∞sin � =20∞sin −Рассмотрим () = ∫0 �����. () сходится равномерно на ≥ 0по признаку Абеля,непрерывна∞т.к. ∫0 − sin сходится равномерно по признаку∞Дирихле, значит F(t) непрерывна на [0, +∞) ⇒ (0) = ∫0 −lim ().→0Рассмотрим′∞− sin �∫0 �sin ∞ = = − ∫0 − sin – сходитсяравномерно на [, +∞) по признаку Вейерштрасса (| − sin | ≤ − ,∞∫ − – сходится) ⇒ ′ () = − ∫0 − sin .∞∞Посчитаем ∫0 − sin = − ∫0 − cos = −� − cos |∞0 −∞∞∞∫0 cos ( − )� = −�−1 + ∫0 cos − ⋅ � = 1 − ∫0 − sin =∞∞− )� = 1 + ⋅ ∫0 sin ( − ) = 1 −1 − � − sin |∞0 − ∫0 sin (∞ 2 ∫0 − sin .∞Значит ∫0 − sin =11+ 2⇒ ′ () = −11+ 2⇒ () = − + .Найдём C с помощью lim ().

Заметим, что подынтегральная функция→+∞не сходится равномерно, значит воспользуемся следующим:∞∞sin −−�� ≤ ⇒ | ()| ≤ ⋅ � = � = �⎯� 0 →∞Но () �⎯� − + => = (0) =→∞22π2002Билет 52. Интеграл Эйлера-Пуассона.∞2∞ sin ⇒ () = − + ⇒ ∫02 = = ∫0 − – сходится по критерию сравнения ( − ≤ − ).

Замена∞ = , y – параметр, t – новая переменная: = ∫0 −2 2.∞∞2� � − ��0 ��������∞= � � − � −20⋅∫0 − =⋅= 2∞∞= � �� −�1+0Т.е. 2 =4∞2∞0∞2 � 202 2� ∞∞� =(∗) � �� −�1+0∞02 � 2� 1111 π2 � 2−�1+2= � �� � = � = ⋅ =222 1 + 2 2 40⇒ =√.200(∗) - теорема о перестановке несобственных интегралов. Проверимупрощённую формулировку (из замечаний).4)условие выполнено, т.к. один из этих интегралов мы считали.∞ ∞lim � � −�1+→00 ∞2 � 2∞∞ =(∗∗) � �lim � −�1+= � �� −�1+00∞2 � 20→0� 2 � 2� (∗∗) – применение теоремы о предельном переходе под знакоминтеграла.

Рассмотрим её упрощённую форму, которая требует:∞1) ∫0 −�1+2 � 2 ≥ 0 и непрерывен по t∞ −�1+ 2 � 22) lim ∫0 →0– непрерывен по t, т.к. он равен12(1+ 2 )Что выполнено. Следовательно, равенство при переходе к пределувыглядит так:∞ ∞lim � � (… ) →0 0∞ ∞∞ ∞= lim � � (… ) ⇒по опр.и доказанному выше � � (… ) →00 ∞ ∞= � � (… ) 0 00 0∎.

Характеристики

Список файлов вопросов/заданий