1611689327-cfeacb4815f71bfc7b0924db4bd61033 (826775), страница 5
Текст из файла (страница 5)
|∑=1 ( )| ≤ < ∞ ∀ ∀ ∈ 2. () монотонна по k3. () ⇉ 0→∞Доказательство.По лемме Абеля+� � () ( )� ≤=+1⏟константа+�|+1 ()| + �+ ()�� ⋅ max � � ( )�=+1≤⋯++Причём �∑=+1 ( )� = �∑=1 () − ∑=1 ()� ≤(1) 2 ⇒max|… | ≤ 2(3) ⇋ ∀ > 0 ∃( ): > ⇒ ∀ ∈ | ()| ≤ . Возьмём , ⇒ ⋯ ≤ ⋅ 2 ⋅ 2 ⇒ ряд равномерно сходится.∎Пример.∞sin 1()[]�; = , 2π − δ , δ > 0; uk = ; ( ) = sin =1Выполнены условия 2 и 3 признака Дирихле. Проверим 1:1� sin = � sin ⋅ sin 2 = ⋯sin =1=12 + − cos − cos = −2 sinsin; sin ⋅ sin 221= (cos( − ) − cos( + ))21cos−cos+�� 11122…= � �cos � − 2� − cos � + 2� � =sin =12 sin2221≤== sinsin22Значит ряд равномерно сходится(при = 0 нельзя).Билет 26.
Теорема о перестановке предельных переходов. (, ), ∈ ⊂ , ∈ ⊂ , − предельная т. , − предельная т. (, ) �⎯� ( ) (∀ ∈ ); (, ) �⎯� () (∀ ∈ )∞→→Если хотя бы в одном из двух случаев стремление равномерное, то тогда:∃ lim ( ) ,∃ lim () ; lim ( ) = lim ()→→→���������→������Доказательство.перестановка пределовДля определённости, пусть (, ) ⇉ (), т.е. выполняется критерий→Коши равномерной сходимости:∀ > 0 ∃ ( ) > 0: ′ , ′′ ∈ , 0 < ‖ ′ − ‖ < , 0 < ‖ ′′ − ‖ < ⇒ ∀ ∈ | (, ′) − (, ′′)| < Т.к. ∀ ∈ , то можно перейти к пределу lim � �(�,′�) − ����� (, ′′)� ≤��→ (∗)∃ lim ,т.к.−//−(∗) = �lim (, ′ ) − lim (, ′′ )� = |( ′ ) − ( ′′ )| ≤ →→′′Итого: ∀ > 0 ∃ ( ) > 0: , ∈ , 0 < ‖ ′ − ‖ < , 0 < ‖ ′′ − ‖ < ⇒ |( ′ ) − ( ′′ )| ≤ ⇒ выполняется критерий Коши для ⇒∃ lim () = .→′Проверим, что = lim () :по опр. |() − | = |( ) − (, 0 ) +→(, 0 ) − | = |() − (, 0 ) + (, 0 ) − ( 0 ) + ( 0 ) − | ≤|() − (, 0 )| + |(, 0 ) − ( 0 )| + |( 0 ) − | < ⋯По определению равномерной сходимости:∀ > 0 ∃1 > 0: 0 < ‖ − ‖ < 1 ⇒ ∀ ∈ | (, ) − ( )| < По определению предела :∀ > 0 ∃2 > 0: 0 < ‖ − ‖ < 2 ⇒ |() − | < Выберем 0 : 0 < ‖ 0 − ‖ < min(1 , 2 ), подставим его и зафиксируем… < 2 + | (, 0 ) − ( 0 )| < ⋯(, 0 ) �⎯� ( 0 ), т.
е. по опр ∀ > 0 ∃ > 0: 0 < ‖ − ‖ < ⇒→| (, 0 ) − ( 0 )| < , где = (, 0 ).Выберем 0 < ‖ − ‖ < как в предыдущем определении, тогда… < 3 ⇒ ∃ lim () = →Билет 27. Теорема о непрерывности предельной функции.• (, ) – непрерывна на (∀ ∈ ); (, ) ⇉ ( ) ⇒ ()непрерывна на .Доказательство.→∎( 0 , ) (∀ ∈(, ) – непрерывна на (∀ ∈ ) ⇒ ∃ lim0 (, ) = �����→() ); ≔ 0 ⇒ для f выполним теорему о перестановке предельных0переходов ⇒ lim (, ) = lim0 ()�����R→( 0 ),т.к.равн.сх.( 0)⇒ lim0 () = →→⇒ – непрерывна на D.Билет 28.
Теорема Дини о частичном обращении теоремы онепрерывности предельной функции. (, ), ∈ ⊂ , ∈ , компакт, f монотонна по y прификсированном , ↗ . На разных x может быть разный характермонотонности.∀ (, ) �⎯� ( ), (, ) и () непрерывна по на →⇒ (, ) ⇉ ()Доказательство.→∎Рассмотрим (, ) = | (, ) − ()| ≥ 0. При фиксированном y, g –непрерывна по x, g монотонна по y, причём по y монотонно убывает, т.к.≥ 0 и → 0, (, ) �⎯� 0.→От противного.
f не сходится равномерно, тогда g не сходитсяравномерно, тогда из определения равномерной сходимости: ∀ >0 ∃ ( ) > 0: ��0 <����� − ��< ⇒ ∀ ∈ (, ) <⏟ ⇒��↗(,)≥0∃0 > 0 ∀ > 0: ∃ ∈ , , 0 < − < , но ( , ) ≥ 011По = найдём , : ∈ , 0 < − < и ( , ) ≥ 0Пусть монотонно возрастает.
Этого всегда можно добиться. Пусть мыуже выбрали 1 … , 1 … , тогда выберем +1 следующим образом:10 < − +1 < min �, − � , +1 ∈ , (+1 , +1 ) ≥ 0 + 1Т.к. D – компакт, то из { } можно выбрать � � �⎯⎯� ∈ . Заметим,→∞что если < , то < ⇒ ( , ) ≥ � , �, т.к. gмонотонно убывает по y, т.е. при < � , � ≥ � , � ≥0 , зафиксируем, → ∞ ( непрерывна по ) ⇒ lim ( , ) =→∞(, ) ≥ 0 > 0, (, ) ↛ 0 → ∞, но (, ) �⎯� 0 ⇒→противоречие, значит f равномерно сходится.Теорему можно сформулировать также для последовательностейфункций и рядов.∎Билет 29. Теорема об интеграле предельной функции(о вынесениипредельного перехода под знак интеграла).(, ), ∈ = [, ] ⊂ , ∈ ⊂ , – предельная точка множества, (, ) ⇉ (),→∀ – интегрируема(∃ ∫ (, ) ). Тогда ∃ ∫ () =lim ∫ (, ).→Доказательство.Вспомним критерий интегрируемости: ∀ >−10 ∃ разбиение : ∑=0 ()∆ < , где = {0 … }, = 0 < 1 <⋯ < −1 < = , =sup( ) − ( ),,∈[ ,+1 ]∆ = +1 − И определение равномерной сходимости:∀ > 0 ∃ > 0: 0 < ‖ − ‖ < ⇒ ∀ ∈ [, ] | (, ) − ( )| < Зафиксируем 0 , т.к.
0 < ‖ 0 − ‖ < ⇒ |(, 0 ) − ( )| < ∀. f−1интегрируема, значит выберем , т. ч. ∑=0 � (, 0 )�∆ < .Рассмотрим насколько отличается () и � (, 0 )�. () =sup |( ) − ( )|,∈[ ,+1 ]= sup|( ) − (, 0 ) − ( ) + (, 0 ) + (, 0 ) − (, 0 )|≤ sup|( ) − (, 0 )| + sup|( ) + (, 0 )|+ sup| (, 0 ) − (, 0 )| ≤ ⋯sup|() − (, 0 )| < по выбору 0 .Следовательно,−1−1=0=0… ≤ 2 + �(, 0 )�� ()∆ ≤ � �2 + � (, 0 )�� ∆−1−1= � 2∆ + � � (, 0 )�∆=0=0−1= 2 ( − ) + � � (, 0 )�∆ <в силу выбора 2 ( − ) + =0= (2( − ) + 1)Т.е. выполняется критерий интегрируемости ⇒ ∃ ∫ ( ) .Докажем утверждение теоремы, проверив определение предела. Т.к.(, ) ⇉ (), т.е.→∀ > 0 ∃ > 0: 0 < ‖ − ‖ < ⇒ ∀ ∈ [, ] |(, ) − ( )| < То ∀ > 0 ∃ > 0: 0 < ‖ − ‖ < ⇒ ∀ ∈ [, ] �∫ (, ) −∫ ( ) � ≤∫ |(, ) − ()|lim ∫ (, )→< ∫ = ( − ) ⇒ ∫ ( ) =Билет 30.
Теорема о дифференцировании предельной функции.(, ), ∈ = (, ) ⊂ , ∈ ⊂ , – предельная точка ,∀ (, ) имеет производную, т.е. ∃(, );: ( 0 , ) имеет предел при → ⇒ (, )( ) ∀ ∈ .Доказательство. ∈ (, )∎(, ) ⇉ ( ). ∃ 0 ∈⇉→→′(( ), ) =Рассмотрим вспомогательную функцию (, ) =�⎯�→ (,)−(,)−; (, )(, ) . определена на ∈ (, ) ∖ {}, ∈ . Существует лиlim ? Докажем, что существует, притом равномерно. Проверим→критерий Коши равномерной сходимости.′)′)′′ )′′ )((((,,−,−,| (, ′ ) − (, ′′ )| = �−� − − |[(, ′ ) − (, ′′ )] − [(, ′ ) − (, ′′ )]|=⋯=| − |Пусть [(, ′ ) − (, ′′ )] = Φ(), ′ и ′′ фиксированы.Φ() − Φ()′)′( ) ��((, ′′ )� < , −…=��= Φ=���� − лежитмежду и Т.к.т.е.(, ) ⇉ (), то выполняется критерий равномерной сходимости,∀ > 0 ∃ > 0: 0 < ‖ ′ − ‖ < , 0 < ‖ ′′ − ‖ < ′(, ′′ )� < ⇒⇒ ∀ � (, ) −Выполняется критерий равномерной сходимости для (, ), т.е.
(, )) ∖���{} при → . Пусть = 0 , тогдаравномерно сходится на (��,����( 0� (, ) − , )� 0 (, ) =⇒ (, )0 − 0 (,��) (����� − 0 ) + �����( 0 , )= �����⇉ 0 …не зависит от ⇒⇉ 0 …имеет предел,не зависит от ⇉ 0 …�⎯�(,) ( ) ⇒→(, ) ⇉0 ()→⇒� ( 0 , ) ⇉(,) ( 0 )→∀ > 0 ∃1 > 0: 0 < ‖ − ‖ < 1 ⇒ ∀ ∈ 0 |(, ) − ()| < ⇒�∀ > 0 ∃2 > 0: 0 < ‖ − ‖ < 2 ⇒ |( 0 , ) − ( 0 )| < Если = min{1 , 2 }, то (, ) ⇉ ().→( ) − ()при → (, ) равномерно сходится на к−� (, ) �⎯�(, )→ По теореме о перестановке предельных переходов:( ) − ()∃ lim= lim(, )�����������→→������ − ���′()′(Т.к.
a – произвольная, то ∀ ) = ().()∎Билет 31.Вероятно, формулировка для последовательностей не нужна, либонужна в предыдущих билетах.1. Теорема о внесении предела под знак суммы рядаФормулировка теоремы для последовательностей: ( ) ⇉ (), ∈ ⊂ , − предельная т. , ( ) �⎯� ∈ →∞→Тогда ∃ lim () , ∃ lim ; lim () = lim . Доказательство→→∞→→∞аналогично предыдущему, нужно только заменить y на n.Формулировка теоремы для рядов:∞Тогда� () − равномерно сходится на ; ∃ lim ( ) = ()=1∑∞=1 ()→= lim ∑∞=1 ().
Для доказательства нужно→переформулировать через () и доказано по формуле дляпоследовательностей функций.2. НепрерывностьФормулировка для последовательностей функций: ( ) – непрерывна на ; () ⇉ () ⇒ () непрерывна на .→∞Формулировка для рядов:∀ – непрерывна ; ∑∞=1 () равномерно сходится на ⇒∑ () непрерывен на .3. ИнтегрированиеФормулировка для последовательностей функций: ( ) ⇉[,] ( ) ⇒ ∃ � () = lim � ()→∞→∞Формулировка для рядов:∑∞=1 () равномерно сходится на [, ], ( ) интегрируемы ⇒∞∫ ∑∞=1 ( ) = ∑=1 ∫ ( )4. ДифференцированиеФормулировка для последовательностей: ( ), = (, ), ∃′ ( ) ⇉ ( ); ∃ lim ( 0 ). Тогда→∞ ( ) ⇉ () и ∃ ′ ( ) = ().→∞→∞Формулировка для рядов:′′∞∑∞=1 ( ) , = (, ), ∃ ( ) на ; ∑=1 ( ) сходится равномерно на∞0D, ∑∞=1 ( ) сходится.
Тогда ∑=1 () сходится равномерно и′∞′(∑∞=1 ( )) = ∑=1 ().Билет 32.Сумма ряда ∑∞=1sin =−2, где ∈ (0,2) −разрывна, ���������ряд сходится равномерно на (, 2 − ).билет 25Если можно было бы дифференцировать, то производная ∑∞=1 cos –расходящийся ряд, но конечную сумму ∑=1 cos посчитать можно.−Рассмотрим вспомогательный ряд ∑∞⋅=1 sin = (). Зафиксируемx из отрезка длины 2, например ∈ (−, ). (0) = ∑sin – искомыйряд, который сходится.
− монотонна по k и ограничена единицей, значит по признаку Абеля() сходится по t и сходится равномерно по t также по признаку Абеляравномерной сходимости. (∑sin равномерно сходится по t, −монотонна по k и равномерно ограничена) − ⋅sin непрерывно, т.к. множители непрерывны, значит по теоремео непрерывности предельной функции(в формулировке ряда) () непрерывна ∀ 0 ≤ < ∞ ⇒ (0) = lim ().→0Проверим условия теоремы о дифференцировании предельнойфункции(в формулировке ряда):F сходится при всех t, покажем, что ряд из производных по t сходится−⋅равномерно, т.е. равномерно сходится ∑∞=1 −sin =−− ∑∞⋅ sin – сходится равномерно по признаку Вейерштрасса на=1 − − −[, ∞) (�⋅ sin � ≤ = � � – сходящийся ряд, т.к.геометрическая прогрессия, где � − � < 1).−⋅ sin (по теореме о⇒ ∃ ′ = ∑(… )′ = − ∑∞=1 дифференцировании предельной функции) ∀ > 0(т. к.
∀ ≥ , > 0).−Посчитаем ∑∞⋅ sin . Вспомним, что = cos + sin ⇒=1 sin = −� ������ = � − = �� − �веществ. мнимаясумма беск.геом.прогрессиипри комплексном = ���������−)(� �����=⋯ф−ла Муавра = −+ , || = − < 1−+… = ⇒ ′ () = −= = −+1 − 1 − − 1−1 −+ � −− − 1�= −+=⋯−−()()− 1 −12 −+ − 1 = − (cos + sin ) − 1; � −+ − 1� = ( − cos − 1)2 +( − sin )2 = −2 cos 2 − 2 − cos + 1 + −2 sin2 = −2 −2 − cos + 1 � −2 − −+ � − sin … = −2=− 2 − cos + 1 −2 − 2 − cos + 1Мы нашли ′(), теперь найдём () интегрируя ′().∫( − sin )−− }{ () = � ) = − −2==,=−− 2 − cos + 1= sin �= sin � 2( − cos )2 + sin2 − 2 cos + 11�==2 − cos sin �� +1sin − cos � =, =�=� 2= + sin sin + 1 − − cos = �� + sin ′(Найдём C. Заметим, что lim () = 0 ⇒ = − (−→∞cos sin ).
Т.к. F –периодическая функция, то достаточно показать для ∈ (0, ). Тогда С =−(− ) = − (− ) = { ( ) = ( − )} =− ( − ) = � + = � = − � − ( −22 )� = {0 < − < } = − � − ( − )� = − + − = − .2Следовательно, () = , тогда:2 − −cos sin 22+ − . Заметим, что21−cos sin = − 0< < (0) = + − = + − = 2 2 − =2 22 222 2sin −∞ sin ∑Итого: ∑∞=,0<<;= 0, = 0 или = .=1=12Сумма ряда не является непрерывной функций, значит ряд не можетсходиться равномерно на ∈ [0, ].Билет 33.Пример Вейерштрасса: ( ) = ∑∞=0 cos( ), причём 0 < < 1, −целое нечётное число, такое что > 1 +32.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
