1611689327-cfeacb4815f71bfc7b0924db4bd61033 (826775), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Пойду перекушу. Если таки нужно,см. стр. 25-27.Билет 16. Теорема о неявнозаданной функции.: + → , Ω − открыто, Ω ⊆ + , (, ) ∈ Ω , (, ) = 0, F –непрерывно дифференцируема в Ω .(, )� ≠ 0det �Тогда существует U – открытое множество окр. (a,b) в + , существуетW – окр т.a в , существует непрерывно дифференцируемая : → ,т.ч. (, ) ∈ ⇔ (, ) = . ∈ и = () – неявная функция, определяемая уравнением (, ) = .

((, ( )) описывает все решения (, ) = )Доказательство. = (, ). Рассмотрим вспомогательное отображение 1 : + →+ , т.ч. 1 (, ) = (, ) = (, (, )). 1 определена на Ω и на нёмнепрерывно дифференцируема, т.к. все его координатные функциинепрерывно диффиренцируемы(n штук тривиальных 1 … , m штук ,которые непрерывно дифференцируемы по услловию)1 (, ) = (, )Выполнены все условия теоремы об обратном отображении, кроме,может быть, условия о якобиане. Проверим:0⋯01⋯0⋮⋱⋮⋮⋱⋮⎛⎞� 0⋯0 �⋯1 � 0⎜ 1 11 ⎟1⎟� = det ⋅ det � �⋯⋯det 1 ′(, ) = �⎜� 1 ⎟⎜ 1⋮⋱⋮⋮⋱⋮ ⎟��⎜ �⋯⋯ 1 ⎠⎝ 1= det( )det 1 ′(, ) = det �(, )� ≠ 0 по условию ⇒ выполнены условиятеоремы об обратном отображении ⇒ ∃ − окрестн.

(, ), −окрестн. (, ), ↔ .����1 :���взаимноодн.∃1−1 : → (непрерывно дифференцируема). Обозначим 1 = 1−11 (, ) = (,)�����0 (, )т.к. обязан нек.образомвыражаться через и 1 непрерывно дифференцируемо⇒ 0 − непрерывно дифференцируема1 (, ) = (, ) ⇒ 0 (, ) = В качестве искомого U возьмём U из теоремы об обратном отображении.В качестве W возьмём = { ∈ : (, 0) ∈ }. Т.к. V – открыто в+ ⇒ − открыто в .Построим : → : ∈ ⇒ (, ) ∈ ⇒ ∃1 (, ) = (, �����0 (, )). ( ) = 0 (, ) – непрерывно дифференцируемо, () = 0 (, ) = .Осталось проверить эквивалентность.(⇒) (, ) ∈ и (, ) = 0 ⇒ 1 (, ) = �, (, )� = (, 0) ∈ −? ∈ 1 (, 0) = (, ) = �, 0 (, )� = �, ( )� ⇒ ( ) = (⇐) ∈ , () = ⇒ (, ) ∈ ⇒ 1 (, ) = �, 0 (, )� = �, ( )�= (, ) ∈ 1 (, ) = 1−1 (, ) = (, )� ⇒ (, ) = 1 (, ) = �, (, )�∎Замечание1.

Пусть F – k раз непрерывно дифференцируема (k>1) ⇒ 1 ⇒ 1 ⇒0 ⇒ – непрерывно дифференцируема.2. Как найти () ()−?=?По теореме Дели ∈ , () = , то �, ( )� = ∀ ∈ .(∗) ⇒ �1 … , 1 (1 … ) … (1 … )� = 0, где ∈ , 1 ≤ ≤По теореме – непрерывно дифференцируема.: → , = (1 … ), = (1 … ), 1 ( ) = 0=⋅+ ⋯+⋅+��, ( )� 1 �������������������=1тут есть() = 0, 1 ≤ ≤ �, ()� + ��, ( )�=1(, ) + �(, )() = 0, 1 ≤ ≤ ������� �������знаем=1знаемЭто система решений относительно�(), где матрица системы равна(, )�, чей определитель по условию не равен 0.Следовательно, система имеет единственное решение, т.к.непрерывна, тонайти–(, ) ≠ 0 в некоторой окрестности (, ) ⇒ можемв некоторой окрестности т.a(если мы знаем G(x), где x изокрестности т.a) находим аналогично(дифференцируем (∗) тождественно k раз).Билет 17.

Многообразие размерности k в , ≤ ≤ .наГомеоморфизм - отображение : ⊂ → ⊂ ,котороевзаимнооднозначно, непрерывно и обратное также непрерывно. Тогда Uи V – гомеоморфны. = , и – открыты, F – гомеоморфизм, F дифференцируемо вкаждой точке U, а −1 , соответственно, в каждой точке V. Тогда F –диффеоморфизм.Замечание.Если F – диффеоморфизм, то det ′() ≠ 0, ∀ ∈ .Доказательство. = −1 � ()�; = −1 � ( )� ⋅ (), = ( ) ⇒ = −1 () ⋅ () | det(… )′( )(���1 = det −1 )� ⋅ det′()������������≠0≠0∎Кривая, поверхность – частный случай многообразия. И можно задаватьявно, неявно и через параметры.

Последнее наиболее универсально. ⊂ , – многообразие размерности ≤ (мы будем также считать,что ≥ 1), если выполняется следующее условие: ∀ ∈ ∃ –окрестность a в ; Ω – открытое множество в ; Φ: Ω → ∩ –гомеоморфизм. = ⎛…���1��⎞∈Ωпараметры Φ−параметризации⎝⎠ в окрестности т.1 = 1 (1 … )⋮Φ = (1 … ); �- система определяем ∩ = (1 … )(называется задание параметризации)Многообразие при = 1 называется кривой, при = 2 называетсяповерхностью.Примеры.1) Лемниеката Бернулли не является кривой в нашей определении.(Выглядит как знак бесконечности, где пересечение проходит черезцентр с.к., и две кратных точки внутри графика, ближе к краям)2) = ||. Построим глобальную параметризацию = 2 , Ω = 1 ; Φ() = (, ), = , = ||, Φ – непрерывна.1 ≠ 2 ⇒ Φ(1 ) ≠ Φ(2 ) ⇒ взаимнооднозначная функция; =Φ−1 (, ) = – непрерывна ⇒ Φ – гомеоморфизм.! Параметрищация не единственна.

! = || = 3�2 или � = ||3 или … = Данное множество можно параметризировать бесконечным количествомспособов.Гладкое многообразие – многообразие, где есть касательная в каждойточке.Гладкое многообразие - многообразие, где∀ ∈ 1) Φ – непрерывно дифференцируемо на Ω2) � ()� = ∀ ∈ Ω�������матрица ×Рассмотрим пример 2. Покажем, что оно не гладкое. Предпроржим, чтосуществует такая параметризация, которая требуется в определениигладкого многообразия.

= (0,0); Φ( ) = (0,0); Φ() = �1 (), 2 ()� – непрерывнодифференцируема ⇒обе производные одновременно неРассмотрим[1′ ( )]21′ ()– непрерывны и �′ ()�2равны 0 ⇒ (1′ )2 + (2′ )2 ≠ 0∃1′ (), 2 ′()+[2′ ( )]2=1⇒1′ ( ) ≠ 0≠0⇒��⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯� = = 1 () по т.об обр.отображении −1 () определена в некоторой окрестности , −1 – непрерывнодифференцируема.−1 ( ) = 2 () = � =�21���������непрерывнодифференцируема⇒ 2′ ( ) ≠ 0 ⇒|�|недифференц.в 0аналогично получим, чтоПротиворечие ⇒ 1′ ( ) = 0 = 1 (2−1 ()) – функция(одному y – один x), но у = | | нетединственный обратной функции в окрестности O ⇒ противоречие ⇒2′ ( )=0⇒[1′ ( )]2+[2′ ( )]=0⇒1′ () �′ ()�2= 0 противоречие,значит многообразие не гладкое.Билет 18. Теорема о явном способе задания многообразия.(x1 … ) ∈ : (1 … ), 1 ≤ ≤ – изменяется на открытом множествеΩ = Ω0 . Задано (n-k) непрерывно дифференцируемых функций1 (1 … )⋮, которые определены на Ω.

Тогда ⊂ =�− (1 … ){(1 … ), где (1 … ) ∈ Ω, + = (1 … ), = 1 … − } – гладкоемногообразие размерности k.Доказательство.Определим параметризацию Φ: → , = Φ(); ′ ≠ ′′ ⇒ ′ =Φ(′ ) ≠ ′′ = Φ(′′ ) ⇒ Φ – взаимнооднозначное, т.к. оно отображениена ⇒ Φ − биекция ⇒ ∃Φ−1 : → Ω, Φ−1 (1 … ) = (1 … ) –проектирование на координатную плоскость ⇒ Φ−1 линейно ⇒ Φ−1непрерывно ⇒ – многообразие.1 = 1⎧⋮⎪ = ⎨ +1 = 1 ()⋮⎪⎩ = − ()наΦ: Ω → – непрерывно дифференцируемо, теперь покажем, что M –гладкое.1⋮⎛0⎜ � � = ⎜ 11⎜ ⋮⎝первые k строк - .−1⋯⋱⋯⋯⋱⋯0⋮⎞11 ⎟= , т.к. это матрица × и ⎟⋮ ⎟−⎠∎Теорема о неявном способе задания многообразия.(1 … ) ∈ , 1 ≤ ≤ , = 0 ⊆ 1 (1 … ) = 0⋮� определена на D и непрерывно дифференцируема в D (1 … ) = 0Система имеет решение, и для любых решений (1 … ) выполняется � (1 , … , )� = .�����������матрица ×Тогда M – множество решений данной системы, которое являетсягладким многообразием размерности n-m.Доказательство.Пусть a – решение системы, т.е.

∈ (a существует, т.к. по условиюсистема имеет решение)11 ⎛ ⋮⋯⋱⋯1⋮ ⎞ () = ⇒ существует минор, равный ⇒ б.о.о.⎝ 1 ⎠будем считать, что это первые m столбцов, т.е.11� ⋮1⋯⋱⋯1⋮ � |=≠ 0 ⇒ Выполняется условие теоремы о неявномотображении⇒∃ – окрестность точки a, W – окрестность (+1 … ), : → , т. ч. ∈ , ( ) = 0 ( = 1 … ) ⇔ (+1 … ) ∈ , = (+1 , … , ), = 1 … По предыдущей теореме 1 … определяют гладкое многообразиеразмерности − .∎ЗамечаниеПо теореме о неявной функции непрерывно дифференцируема k раз,если непрерывно дифференцируема k раз, значит если непрерывнодифференцируема k раз в условиях последней теоремы, то можновыбрать в окрестности любой точки такую параметризацию, что она k разнепрерывно дифференцируема.Билет 19. Теорема об эквивалентности параметризаций.1) M – гладкое многообразие в размерности ⇒ ∀ ∈ ∃окр.

: ∩ – область значений некоторой Φ: Ω → ∩ , =(1 … )∆ ⊂ , = (1 … ), – диффеоморфизм, : ∆ → Ω, т.е. ( ) = –называется «замена переменных». Рассмотрим = Ψ( ) = Φ( ( ))– новая параметризация, причём M в параметризации Ψ такжегладкое.Из одной параметризации с помощью диффеоморфизма можнополучить другую.2) Указанным способом можно получить все параметризации и другихнет.Билет 20. Касательное пространство.M – гладкое многообразие размерности k в ,∈ ∃ ⊆ ,Ω⊂�Φ:Ωα →∩ Φ′ ()=уMсуществует гладкая параметризация.Φ( ) = , ∈ Ω, Φ( ): → ; Φ()(ℎ) – касательный вектор, ℎ ∈ ( ) [ ] ⇒ () – линейное подпространство в .

Характеристики

Список файлов вопросов/заданий