1611689327-cfeacb4815f71bfc7b0924db4bd61033 (826775), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Теорема о перестановке дифференцирования по y иинтегрирования по x.∎Предположим, что = [, ], чтобы можно было дифференцировать по[, ] × ���y, обозначим через Π = ���[, ].(, ), ∀ ∈ [, ]; непрерывна по на [, ] ∃(, ) ∀ ∈[, ]; ∈ (, ) – обычная производная; = , = – односторонняяпроизводная;(, ) непрерывна на Π ⇒ – непрерывна на Π. Тогда ∀ ∈ [, ] ∃ ′ () = ∫(, ) , т.е. ∫ (, ) = ∫ Доказательство. – произвольная точка отрезка [, ], рассмотрим ′() поопределению:(, ) .

( + ℎ) − ()1 ) = lim= lim �� (, + ℎ) − � (, ) �ℎ→0ℎ→0 ℎℎ′(1= lim � ⋅ [(, + ℎ) − (, )] =(∗)�����������������ℎ→0ℎвыражение,похожее на(∗) Чтобы поменять местами интеграл и предел, нужно проверитьусловие теоремы о перестановке предельных переходов, т.е.равномерную сходимость выражения(,+ℎ)−(,)ℎ. (, + ℎ) − (, ) = � (, )= � limℎ→0ℎДокажем (∗), т.е.(,+ℎ)−(,)ℎ⇉[,]ℎ→0(, ). Мы знаем, чтонепрерывна на Π и Π – компакт, значит по теореме Кантора(, )равномерно непрерывна.Воспользуемся формулой Лагранжа для конечных приращений. (, + ℎ) − (, ) (, + Θℎ),Θ ∈ (0,1)=ℎТ.е.

надо показать, что(, + Θℎ) ⇉[,]ℎ→0(, )(, ). Определениеравномерной непрерывности для (, ): ∀ > 0 ∃ > 0 ′ , ′′ ∈[, ], ′ , ′′ ⊂ [, ] | ′ − ′′ | + | ′ − ′′ | < ⇒ | ( ′ , ′ ) −( ′′ , ′′ )| < . Положим, что ′ = ′′ = ∈ [, ] – произвольная, ′ = + Θℎ, ′′ = , где ∈ [, ]; |ℎ| < (т. е. |Θℎ| < ). Тогда ∀ > 0 ∃ >0 ∈ [, ], ∈ [, ], |ℎ| < ⇒ �(, + Θℎ) −(, )� < .Получили равномерную сходимостидоказали (∗) и саму теорему.(, + Θℎ) ⇉(, ), значитЗамечание.

Первое условие необходимо для существования интеграла∫ (, ) ∀.Теорема о дифференцировании функции с параметром, где пределыинтегрирования зависят от параметра.1. (, ) определена на Π = [, ][, ] и непрерывна на Π.2.∎(, ) непрерывна на Π; (), () на [, ], ≤ () ≤ () ≤(). () = ∫() (, ) .′( () (,)3. ∃ ), ′ () ∀; ∃ ′ () = ∫() ′ () ⋅ ( (), ).Доказательство.Зафиксируем = 0 ∈ [, ], тогда: + ′ () ⋅ ( (), ) − ′ (0 ) = lim ()→0 ()− (0 )∫( ) (, )0= lim−0→0 −0( )− ∫( 0) (, 0 ) �0(0 ) (, )∫→0 −0 ()lim11+( ) ( )�∫()0 (, ) + ∫( 0) (, ) +0( ) (,)−(,0 )= lim ∫( 0)−00→0 ()1lim(, ) .∫→0 −0 (0 ) +В первом слагаемом можно менять знаки предела и интегрирования, т.е.оно равно(0 ) (,)0)(0 )−()∫(−0.

По первой теореме о среднем второе слагаемое равно⋅ (, ), где лежит между ()и (0 ). При → 0 второеслагаемое стремится к − ′ (0 ) ⋅ ( (0 ), 0 ), т.к. непрерывна идифференцируема. Аналогично третье слагаемое стремится к ′ (0 ) ⋅( (0 ), 0 ). Если соберём все слагаемые, то получим утверждениетеоремы.∎Билет 42. Теорема о перестановке интегралов по x и по y.(, ) определена и непрерывна на Π; () = ∫ (, ) (существует,т.к. f непрерывна(в частности) по x). Т.к.

() – непрерывна, то∃ ∫ () = ∫(,), т.е. ∫ ∫ (, ) =������������� ∫повторный интеграл∫ ∫ (, ) .Доказательство. ∈ [, ]. Рассмотрим функцию ( ) = ∫ ∫ (, ) – зависит от ,и функцию ( ) = ∫ ∫ (, ) – зависит от . Если мы покажем,что ∀ эти функции совпадают, то и при = они совпадут. () = () = 0. Следовательно, если совпадают их производные, тоони и сами совпадают. Докажем с помощью теоремы одифференцировании, что ′ ( ) = ′().По теореме о дифференцировании интеграла с переменным верхнимпределом, при условии, что подынтегральная функция непрерывна (чтоверно по теореме о непрерывности интеграла от функции с параметром),следует: ′ ( ) = � (, )Запишем функцию ( ) = ∫ (, ) , где (, ) = ∫ (, ).

Чтобывоспользоваться теоремой о дифференцировании интеграла функции спараметром, надо проверить её условия:1. H непрерывна по x, что гарантируется теоремой о непрерывности.2. (и 3) ∃и непрерывна по совокупности переменных, проверим(, ) = (, ) – непрерывна по условию теоремы.Условия теоремы выполнены, значит можем ей воспользоваться: ′ ( ) = ∫ (, )= ∫ (, ) . Получаем, что ′ ( ) = ′(), т.е. () =() (как было показано выше).Пример использования теоремы – доказательство основной теоремыалгебры, которая гласит, что многочлен степени n имеет ровно nкорней(вещественных или комплексных).Опять же, далее(стр. 82-84) следует достаточно большеедоказательство, о котором в билетах ничего не говорится.Билет 43.

Несобственные интегралы функций одного переменного спараметром.Несобственный интеграл с одной особенной точкой – это () =∎∫ (, ) , где – особая точка(т.е. = +∞ или (, ) неограничена вокрестности точки b) () = � (, ) = lim � (, ) Непрерывна ли ()?→−0это можно посчитать���������������lim () = lim lim � (, ) =? lim lim→0→0 →−0→−0 →0� (, ) �� �������собственный интегралЗнак ? проверяется теоремой о перестановке предельных переходов,которая требует, чтобы∃ lim ∫ (, ) ; ∃ lim ∫ (, ) ; равномерная сходимость→−0→0первого или второго.Равномерная сходимость несобственных интегралов, зависящих отпараметра. () = ∫ (, ) , ∈ равномерно сходится относительно y намножестве E, если вспомогательная функция Φ(, ) = ∫ (, ) ,причём ∈ (, ), ∈ , сходится равномерно, т.е.

Φ(, ) ⇉ ().→−0Критерий Коши равномерной сходимости несобственных интегралов. () = ∫ (, ) ( − особая точка) сходится равномерно ⇔ ∀ >0 ∃Φ(1 , ) − Φ(2 , )| < .���������������������0 ∈ (, ): ∀1 , 2 ∈ (0 , ) ∀ ∈ ⇒ |�������������верно и для =+∞,в отл.от |− |<1�∫ 2 (,)�Замечание. Возможно, что a – особая точка, тогда Φ(, ) = ∫ (, ) .Билет 44. Признак Вейерштрасса.∫ (, ) , ∈ ; ∀ ∈ | (, )| ≤ (); ∫ () сходится ⇒∫ ( ) сходится равномерно на E.Доказательство.∫ () сходится, значит для него выполняется критерий Коши:∀ > 0 ∃0 ∈ (, ): ∀1 , 2 ∈ (0 , ) ⇒ �∫ 2 ()� < . Будем считать,1что 1 < 2 , тогда 1 , 2 ∈ (0 , ) ~ 0 < 1 < 2 < .∀ ( ) ≥ 0 ⇒ модуль в критерии Коши можно убрать, т.к.

∫ () ≥0.Итого: ∀ > 0 ∃0 ∈ (, ): 0 < 1 < 2 < ⇒ ∫ 2 ( ) < .2221� � (, ) � ≤ � | (, )| ≤ � ( ) < 111Рассмотрим интегралы вида ∫ (, )(, ) , ∈ .Признак Абеля.1. ∫ (, ) сходится равномерно на E.2. ∀ ∈ монотонна по x.3. ∀∀ |(, )| ≤ – равномерно ограничено.∎Доказательство.Т.к. ∫ сходится равномерно на E, значит для него выполняется критерийКоши ∀ > 0 ∃0 ∈ (, ): 0 < 1 < 2 < ⇒ ∀ ∈ �∫ 2 (, ) � < .Для тех же 1 , 2 рассмотрим:2� � (, )(, ) �12вторая теорема о среднем= 1 <<2 →0 <<1�(1 , ) � (, )12+ (2 , ) � (, )� ≤ ⋅ � � (, ) � + ⋅ �� (, ) �<����� ⋅���� + ⋅ 0 <<⇒восп.кр.Коши по 1= 2 ⋅ Признак Дирихле.1.

�∫ (, ) � ≤ ∀ ∈ (, ) ∀ ∈ – равномерно ограничен.∎2. ∀ ∈ монотонна по x.3. (, ) ⇉ 0→−0Доказательство.Т.к. g равномерно сходится на E, то для неё выполняется определение:∀ > 0 ∃0 ∈ (, ): ∀ ∈ (0 , ) ⇒ ∀ ∈ |(, )| < . Рассмотрим 0 <1 < 2 < .2� � (, )(, ) �12вторая теорема о среднем= 1 <<2 →0 <<+ (2 , ) � (, ) ��(1 , ) � (, )12≤ ⋅ � � (, ) � + ⋅ �� (, ) � ≤(∗) ⋅ 2 + ⋅ 21= 4 ⋅ (∗): �∫ � = �∫ − ∫ 1 � ≤ 2, аналогично �∫ 2 � ≤ 2.1∎Билет 45.

Теорема о пределе несобственных интегралов с параметром. () = ∫ (, ) ( − особая точка), ∈ , 0 – предельная точкамножества E.1) lim (, ) = ( ), (, ) ⇉(, ) ( ) ∀ ∈ (, ) .→0→02) ∫ (, ) сходится равномерно на E относительно∃ lim () , ∃ ∫ () и lim () = ∫ (). Т.е.→0→0lim ∫ (, ) = ∫ lim (, ) .→0→0y.Доказательство.Φ(, ) = ∫ (, ) ; lim Φ(, ) = (), в силу условия 2:→Φ(, ) ⇉ (); – фиксированная, тогда lim Φ(, ) =→→0(, �)��lim ∫ ���� = {по условию 1 и теореме о пределе собственных→0 ��собственный.интегралов} = ∫ ()По теореме о перестановке предельных переходов:∃ lim () , ∃ lim ∫ () и lim () = lim ∫ () . По→0→определению lim ∫ ()→→0→= ∫ ( ), т.е.

lim ()→0= ∫ ( )∎Билет 46. Теорема о предельном переходе для интегралов отнеотрицательных функций.«Условия» теоремы были записаны в виде замечаний(стр. 92). Вроде всёдолжно быть правильно. () = ∫ (, ) ( − особая точка), ∈ , 0 – предельная точкамножества E.1) lim (, ) = ( ), – непрерывна по , () – непрерывна.→02) (, ) ≥ 0, ∫ () сходится∃ lim () , ∃ ∫ () и lim () = ∫ (). Т.е.→0→0lim ∫ (, ) = ∫ lim (, ) .→0→0Доказательство.В условии предыдущей теоремы можно заменить равномернуюсходимость на интервале (, ) на равномерную сходимость на отрезке[, ].По теореме Дини: (, ) ↗ () ( → 0 ), – непрерывна по , () –непрерывна.Тогда (, ) ⇉ () на любом компактном множестве, значит условияравнозначны для данной теоремы.(, ) ≥ 0, (, ) ↗ ( ), ∫ ( ) сходится ⇒ ∫ (, ) сходитсяравномернопо признаку Вейерштрасса: 0 ≤ (, ) ≤ ( ) ⇒ |(, )| ≤ ().Получили условия предыдущей теоремы.Билет 47.

Теорема о непрерывности несобственного интеграла спараметром. () = ∫ (, ) ( − особая точка)1. Π = [, ] × [, ], (, ) непрерывна на Π.2. ∫ (, ) сходится равномерно на [, ].Тогда () непрерывна на [, ].Доказательство.0 ∈ [, ]; lim () =(∗) � lim (, ) = { непрерывна на Π}→0→0= � (, 0 ) = (0 )∎(∗) – применение теоремы о пределе несобственных интегралов спараметром; проверим её условия: 2 условие выполняется в силу условия2 данной теоремы, 1 условие (, ) ⇉(, ) (, 0 ) верно, т.к. f→0непрерывна на Π ⇒ f непрерывна на [, ] × [, ] ⇒ по теореме Кантораравномерно непрерывна, значит сходится равномерно.∎Билет 48.

Теорема о дифференцировании несобственного интеграла спараметром. () = ∫ (, ) ( − особая точка), Π = [, ) × [, ] .1) f – непрерывна на Π; ∃непрерывная на Π.2) ∫ (, ) сходится ∀ ∈ [, ]; ∫(, ) сходится равномерно на [, ] Тогда ∃ ′ () = ∫(, ) .Доказательство.По определению ′ () = lim (,+ℎ)−(,)lim ∫ℎ→0ℎ (+ℎ)− ()=ℎℎ→0(,+ℎ)−(,)=(∗) ∫ �lim� ℎℎ→0 =1 усл.

∫.(∗) – применение теоремы о пределе несобственных интегралов спараметром, проверим её условия:1.(,+ℎ)−(,)⇉[, ](, )(, ); ∈ [, ] − фиксирован.ℎℎ→0 (,+ℎ)−(,)2. ∫ – равномерноℎсходится относительно h (|ℎ| <, т. к. < − ).Первое условие уже проверяли в аналогичной теореме для собственногоинтеграла, второе проверим с помощью критерия Коши:∀ > 0 ∃0 < : 1 , 2 ∈ (0 , ) ⇒ ∀|ℎ|2 ( , + ℎ) − (, )< �� � < ℎ1 Запишем критерий Коши для ∫последнего условия теоремы:(, ) , который выполняется в силу2(, ) � < ∀ > 0 ∃0 : 1 , 2 ∈ (0 , ) ⇒ ∀ ∈ [, ] ��1Выберем, как сказано в этом критерии, 0 , 1 , 2 . Рассмотрим Φ() =2∫ (, ) – собственный интеграл. Рассмотрим Φ′ () =12 ∫1(, ) , т.к.

Характеристики

Список файлов вопросов/заданий