1611689327-cfeacb4815f71bfc7b0924db4bd61033 (826775), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

() = Φ���линейноРазмерность образа линейного отображения равна рангу матрицы:dim () = Φ′ ( ) = Аффинное касательное пространство () + (перемещаем линейное вточку a). () проходит через !В определение явно входит параметризация Φ. Покажем, чтоопределение от её выбора не зависит.Пусть существует другая параметризация Ψ: ∆ → ∩ , = Ψ(), ∆ ⊂ , причём Ψ обладает такими же свойствами, что и Φ.Из теоремы об эквивалентности гладких параметризаций ∃ в ∆ → Ω, =() – диффеоморфизм.Ψ( ) = (Φ ∘ )( ) = Φ� ( )�; Ψ( ) = , ∈ ∆Ψ( )[ ] – новое линейное касательное пространство.Ψ( ) = Φ( (β)) ∘ dG(β)Т.к.

Ψ( ) = , Φ( ) = ⇒ ( ) = ⇒ Ψ( ) = Φ( ) ∘ ()Ψ( )[ ] = Φ( ) � ( )[ ]�= {det ′ ≠ 0 ⇒ ′ − невырождена ⇒ ( )[ ] = }= Φ( )[ ] = ()Следовательно, окрестность не зависит от выбора параметризации.Билет 21. Нахождение () без построения параметризации.Пусть M есть решение системы∎1 (1 … ) = 0⋮, которое удовлетворяет условию теоремы о неявном� (1 … ) = 0способе задания многообразия ⇒ – гладкое многообразиеразмерности n-m.

= (1 … ) ∈ . – окрестность точки a, т.к. на ней существуетгладкая параметризация Φ: Ω → ∩ ; = (1 … − ) ∈ Ω, = Φ( ).Тогда () = Φ( )[ ] = { ∈ : = Φ′ ( ) ⋅ ℎ, ℎ ∈ − } = Φ(), ∈ Ω ⇒ ∈ ⇒ – решение системы ⇒ �Φ()� ≡ 0 ∀ ∈Ω. Продифференцируем в т.: �Φ( )� ∘ Φ( ) = .

Возьмём ℎ ∈− , � �Φ( )� ∘ Φ( )�(ℎ) = 0, = 1 … �Φ( )�[Φ( )(ℎ)] = 0; ()[Φ′ ( ) ⋅ ℎ] = 0�=1()′( )�Φ ��⋅ ℎ������касат.вектор ∈ ()=0�=1() ⋅ = 0 , = 1 … (∗)Все касательные вектора удовлетворяют системе (∗). Других векторовтам нет, т.к.dim () = − ; �()� = ⇒ dim ∗ = − , где ∗ -пространство в решении системы (∗). Т.к. () ⊆ ∗ , dim () =dim ∗ ⇒ ∗ = ().∎Т.к. явное задание многообразия M есть частный случай неявного, то мынайдём () без построения параметризации и для явно заданного M.Другой вид:;…;� = ∇fi�1(∇ (), ) = 0 ∀ = 1 … – другой вид системы (∗) ⇒ ∇ () ⊥ ⇒∇ ���� ( ) ⊥ ( ) ⇒ штукразм. −∇ () – базис ортогонального дополнения к⊥ (), �∇1 (), … , ∇ ()� = � ()�А теперь тоже самое, но для () + . Пусть ∈ + () ⇔ − ∈ ()() ⋅ � − � = 0 , = 1 … �=1Пример.

(, , ) = 0 – плоскость(1 , 2 , 3 )( − 1 ) +(1 , 2 , 3 )( − 3 ) +0Билет 22. Условный экстремум.(1 , 2 , 3 )( − 3 ) =(), ∈ , , гладкое многообразие M, заданное системой уравнений ) =0 , = 1 … ,���� (���ограничение ≤ ; ∈ называется условным локальным максимумом, еслисуществует U – окрестность т.a, т.ч. ∀ ∈ ∩ выполняется ( ) ≤ ();-//- максимумом, если -//- () ≤ ().Необходимые условия.Введём параметризацию Φ() = , которая задаёт ∩ ; ∈ Ω ⊆− ; Φ( ) = ; �Φ()� = ().

Если a – максимум(минимум), то g(u)имеет максимум(минимум). Т.е. мы свели нахождение условногоэкстремума к поиску безусловного.( ) имеет условный экстремум в т. ⇒ () имеет безусловныйэкстремум в т. ⇒ ( ) = .( ) = �Φ( )� ∘ Φ( ) = () ∘ Φ( ), ℎ ∈ −⎡⎤⎥ = ()()( )(��0 = ( )(ℎ) = () ⎢⎢Φℎ)�����⎥⎢−произвольный вектор⎥⎣ касат.пр−ва,т.е ∈ () ⎦()( ) = ∑=1() ⋅ = (∇(), ) = 0 ⇒ ∇() ⊥ () –необходимое условие локального условного экстремума ⇒ ∇() ∈⊥� ()� .⊥Т.к. ∇ (), = 1 … – базис � ()� ⇒ ∇() = ∑=1 ∇ (). Потеореме Кронекера-Капелли система имеет решение, когда�∇ ()� = (���������∇ ()|∇()).расширенная – множители Лагранжа.Билет 23.

Достаточные условия.() имеет безусловный экстремум в т. ⇒ () имеет условныйэкстремум в т.a.Предположим, что и – дважды непрерывно дифференцируемы ⇒ ∃Φ– непрерывно дифференцируема дважды(по теореме о неявно заданиимногообразия) ⇒ () – непрерывно дифференцируема дважды ⇒ пустьвыполняются необходимые условия для ⇒ если ′()знакоопределённая, то экстремум:Выполняются необходимые условия для ⇒ ∇ () ⊥ (); = Φ()−() = �Φ()� = ��Φ()�−=1=1=1()� =()= � ���Φ � ⋅Φ() = �1 (), … , − ()� ⇒≔−=1=1() �=��Φ()� ⋅ � �2− () ��Φ()� � � () = � �� 2=1 =1−=1− 2 () � +() ��×���Φ()� ⋅ � � =1,=1Но считать это очень трудно, в том числе определятьзнакоопределённость этой матрицы.

Тем более, мы не знаем . Такжемы хотим исключить параметризацию из условия.2−−=1=1 (a) � �( ) � � �( ) � ( ) = � � 2=1 =1−=1,=1 2 (a) ⋅ � �( ) �+� �Φ()� ≡ 0. Если в уравнения, задающие многообразия, подставитьсамо многообразие, то получится тождественный 0.⇒ �Φ()� ≡ 0,2 �Φ()� ≡ 0,А нам надо найти 2 �Φ()�. Выражение 2 не отличается отвыражения для 2 , за исключением того, что вместо f в запись надоподставить . Т.к. 2 �Φ()� ≡ 0, то 2 �Φ()� − � 2 �Φ()� = 2 �Φ()�=1Из необходимого условия мы знаем, что() = ∑=1 () ⇒ вторые слагаемые сокращаются, значит в ответне войдут выражения, содержащие 2 ( )мы знаем,т.к.знаем , и 2 , т.е.−−���������������������22 ()()()( ) � − � � � � � � �= � � ,=1=1−=1=1 2 () − � ()� � �( ) � = 0+ �� =1 �����������������=1,=1из условия ЛагранжаΦ()(), где = (1 … − ) = ℎ ∈ −−∑=1( ) − -ый компонент Φ( )() ∈ ()2 2 () − � ()� , где ∈ ()= � � ,=1=1Квадратичная форма должна быть знакоопределена на () ⇒ задачаоб условной знакоопределённости квадратичной формы.Вспомним, что уравнения касательных пространства – это(∗) �() ⋅ = 0, = 1 … ; � � = =1Можем решить эту систему выразив m штук через другие n-m,подставить их в достаточные условия, значит квадратичная форма от n-m– переменных(уже независимых), значит можем проверитьзнакоопределённость с помощью алгоритма Сильвестра.Алгоритм поиска экстремума.1 () = 0 уравнений⋮1) �и 1 … + 1 … – m+n () = 0∇ () = ∑=1 ∇ () уравненийнеизвестных.Находим , 1 … (если система разрешима)2) Подставить , 1 … в квадратичную форму и проверить еёзнакоопределённость для всех , которые удовлетворяют условию ∑=1() ⋅ = 0, =1 … .

Как это делать описано выше (∗).Билет 24. Равномерная сходимость. ( ), ⊂ , будем говорить, что () при → ∞ равномерносходится на множестве D(обозначается () ⇉ ()), если ∀ >0 ∃( ): ∈ , > | () − ( )| < .→∞Пусть x – фиксирована, () → () ⇔ ∀ > 0 ∃(, ): ∈ , > | ( ) − ()| < Если последовательность сходится равномерно, то она сходится прилюбом фиксированном x.Другой вид определения равномерной сходимости:∀ > 0 ∃( ): > ⇒ ∀ ∈ | () − ( )| < Другой вид определения сходимости поточечной(не равномерной).∀ ∈ ∀ > 0 ∃(, ): > ⇒ | () − ( )| < Во всех определениях можно писать | … | ≤ , т.к. определение этого неизменится; также окрестность не изменится при → ( =) или ≥ .Теорема.( ) = lim ( ), Равномерно ли?→∞ = sup| ( ) − ()| ∈ , где = ; () ⇉ ( ) ⇔ �⎯⎯� 0.→∞→∞Доказательство.(⇒) ∀ > 0 ∃( ): > ⇒ ∀ ∈ | () − ( )| < ⇒ sup| () − ()| ≤ Итого ∀ > 0 ∃( ): > ⇒ ∀ ∈ 0 ≤ ≤ ⇒ �⎯⎯� 0.

Вобратную сторону аналогично.→∞Равномерная сходимость ряда∑∞=1 ( ) = ( ) (∀ ∈ – фиксированы). Этот ряд сходитсяравномерно на D, если ( ) = ∑=1 ( ) , ( ) ⇉ ( ) относительно x.→∞Равномерная сходимость функции с параметромРаньше = (, ) ≔ (), теперь = (, ), ∈ , ∈ .Фиксируем y(параметр), b – предельная точка множества ⇒ можемрассмотреть → .lim (, ) = () (∀ ∈ )→, ∈∎f(x,y) равномерно сходящаяся функция, если ∀ > 0 ∃ ( ) > 0: 0 <‖ − ‖ < ⇒ ∀ ∈ | (, ) − ()| < . При фиксированном x: =(, ).Теорема.

() = sup| (, ) − ( )|, если ( ) = lim (, ) , ∈ →lim () = 0 ⇔ (, ) равномерно сходится.→Доказательство аналогично предыдущей теореме. При ∈ , = ∞ получаем предыдущую теорему.Критерий Коши для равномерной сходимости. ( ), ∈ . Для ( ) ⇉ () ⇔ выполняется критерий Коши→∞Последовательности(для фиксированного x):∀ > 0 ∃(, ): , > ⇒ | () − ()| < равномерная сходимость:∀ > 0 ∃( ): , > ⇒ ∀ ∈ | () − ( )| < Для рядов:∀ > 0 ∃( ): , > ⇒ ∀ ∈ � () − ()� < +Пусть > > , ∈ , > 0 ⇒ = + ⇒ �∑=+1 ( )� < Для функций с параметром:∀ > 0 ∃ ( ) > 0: ′ , ′′ ∈ , 0 < ‖ ′ − ‖ < , 0 < ‖ ′′ − ‖ < ⇒ ∀ ∈ | (, ′) − (, ′′)| < Доказательство для функций с параметром.(⇒) (, ) ⇉ (), т.е.

по определению:→∀ > 0 ∃ ( ) > 0: 0 < ‖ − ‖ < ⇒ ∀ ∈ |(, ) − ()| < Пусть 0 < ‖ ′ − ‖ < , 0 < ‖ ′′ − ‖ < , тогда:| (, ′ ) − (, ′′ )| = |(, ′ ) − ( ) + () − (, ′′ )|≤ | (, ′ ) − ( )| + |(, ′′ ) − ()| < 2(⇐) выполнен критерий Коши, т.е.∀ > 0 ∃ ( ) > 0: ′ , ′′ ∈ , 0 < ‖ ′ − ‖ < , 0 < ‖ ′′ − ‖ < ⇒ ∀ ∈ | (, ′) − (, ′′)| < Фиксируем = 0 ⇒ (0 , ) – функция от y, а т.к. критерий Кошивыполнен для любого x из D, то ∃ lim (0 , ) = (0 ).→0 < ‖ − ‖ < , 0 < ‖ ′′ − ‖ < ⇒ |(0 , ) − (0 , ′′ )| < Переходя к пределу при ′′ → получаем: | (0 , ) − (0 )| ≤ ∀0 .Итого:)�>∀ �>��0���∃ (��0 : 0 < ‖ − ‖ < ⇒ ∀0 ∈ |(0 , ) − (0 )| ≤ ����из критерия⇒ (, ) ⇉ ()→Билет 25.

Признак Вейерштрасса.∑∞=1 ( ) , ∈ ; | ( )| ≤ ∀ ∈ . Если сходится, то∑∞=1 ( ) сходится равномерно на .Доказательство.∑ сходится ⇒ для него выполнен критерий Коши, т.е.∎+∀ > 0 ∃( ): > , > 0 ⇒ � � � < ≥ 0 ⇒ в критерии модуль можно убрать++=+1=+1=+1+� � ()� ≤ � | ()| ≤ � < =+1Признак Абеля равномерной сходимости ряда.∞� ( ) ( ) , ⊂ =11. ∑∞=1 ( ) - сходится равномерно на D2. () монотонна по k3.

() равномерно ограничена, т.е. | ()| ≤ ∀ ∈ Доказательство.∎+Надо показать, что ∀ > 0 ∃( ): > , > 0 ⇒ �∑=+1 () ()� < ⋅ По лемме Абеля+� � ( ) ( )�=+1≤⏟константа+�|+1 ()| + �+ ()�� ⋅ max � � ( )� ≤ ⋯1≤≤=+1Т.к. () равномерно сходится, то выполняется критерий Коши+∀ > 0 ∃( ): > , > 0 ⇒ � � ()� ≤ (∀ ∈ )=+1Возьмём из этого определения , , , , оценку суммы:… ≤ ⋅ 2 ⋅ ⇒ ряд равномерно сходится.∎Признак Дирихле равномерной сходимости ряда.∞� ( ) ( ) , ⊂ =11.

Характеристики

Список файлов вопросов/заданий