1611689327-cfeacb4815f71bfc7b0924db4bd61033 (826775)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Билет 1. Дифференциальное исчисление в многомерно пространстве.В одномерном случае: ( + ℎ) − () = (ℎ) + (ℎ), где (ℎ) дифференциал, а (ℎ)�⎯� 0, (ℎ) = ′ () ∙ ℎℎ ℎ→0В многомерном случае дифференциал – линейная функция, котораяявляется «хорошим» приближением нелинейного отображения f в т. a: → – линейное отображение, если( + ) = () + ()() = ()Матрица линейных отображений A. если ( ) = , где x – векторстолбец, A размера × Лемма.

В конечномерном пространстве любое линейное отображениеявляется непрерывным.Доказательство.Выберем стандартный базис в : 1 … , где = (0, … ,1, … ,0),единичка стоит на i-том месте. = (1 , … , ) ⇒ = ∑=1 ⇒ () = ∑=1 ( ) ⇒ по свойствамнормы‖()‖ ≤ � | |�( )� ≤ ∙≤=1 ���∙ ∙ ‖��‖��т.к.все нормы эквивалентны� | |�����=1одна из вершинных норм в = max�( )�lim ( ) = () ← покажем непрерывность→‖( ) − ()‖ = ‖( − )‖ ≤ ∙ ∙ ‖ − ‖ �⎯� 0 ⇒ () �⎯� ()→Норма линейного отображения L(обозначается ‖‖) –наилучшая(наименьшая) константа, при которой выполняетсянеравенство, которая равна sup≠0‖()‖‖‖→‖‖ существует и конечно, что вытекает из нашего доказательства.∎∀ ∈ ‖()‖ ≤ ‖‖ ∙ ‖‖‖‖ – удовлетворяет все свойствам нормы(неотрицательность,однородность, неравенство ∆)‖()‖‖()‖|| sup== || ∙ ‖‖‖‖‖‖‖‖‖ ()+2 ()‖‖1 ()‖‖2 ()‖‖1 + 2 ‖ = sup 1≤sup�+�≤‖‖‖‖‖‖‖ ()‖‖ ()‖sup ‖1 ‖ +sup ‖2 ‖ = ‖1 ‖ + ‖2 ‖• ‖‖ = sup•‖()‖≤ sup : → , ⊆ − область определения, ∈ 0 − внутренняя точка, т.

е. () ⊂ ( ) − () – приращение отображения F в т. a.Дифференциал – это линейное отображение, т.е. ( + ℎ) − () − (ℎ) = (‖ℎ‖) () − () − ( − ) = (‖ − ‖) , т. е.‖ ( ) − () − ( − )‖lim=0→‖ − ‖‖ ( + ℎ) − () − (ℎ)‖lim=0ℎ→0‖ℎ‖Обозначается = () = (), т.е. ( − ) = ()( − )Обозначают ℎ = {Лейбниц, ℎ не зависит от }, ℎ = (ℎ1 , … , ℎ ) → = (1 , … , )Если такого L не существует, то F не имеет дифференциала,недифференцируемое отображение.Пример.: 2 → , т.ч.

(, ) = ⋅ ; (, ), ℎ = (ℎ1 , ℎ2 ) ( + ℎ1 , + ℎ2 ) − (, ) = ( + ℎ1 )( + ℎ2 ) − = ℎ�������1 + ℎ�2 + ℎ1 ℎ2(ℎ1 ,ℎ2 )(‖ℎ‖)1 2(ℎ1 + ℎ22 )|ℎ1 ℎ2 |1 22�ℎ1 + ℎ22≤lim=limlim(ℎ1 ,ℎ2 )→(0,0) �ℎ2 + ℎ2(ℎ1 ,ℎ2 )→(0,0) �ℎ2 + ℎ2(ℎ1 ,ℎ2 )→(0,0) 21212=0Билет 2. Теорема о единственности дифференциала.Пусть и – дифференциалы F в т.a, т.е. ()‖(ℎ) − (ℎ)‖ ‖ ( + ℎ) − () − (ℎ) − [ ( + ℎ) − () − (ℎ)]‖=‖ℎ‖‖ℎ‖‖ ( + ℎ) − () − (ℎ)‖‖ ( + ℎ) − () − (ℎ)‖≤�⎯⎯⎯� 0 +‖ℎ‖→0‖ℎ‖‖ℎ‖�⎯⎯⎯� 0‖ℎ‖→0‖( − )(ℎ)‖�⎯⎯⎯� 0; ≠ 0, ℎ‖ℎ‖→0‖ℎ‖‖( − )( )‖‖( − )( )‖= �⎯⎯⎯⎯⎯⎯�0 =→0(ℎ→0)‖‖‖‖ = ‖( − )()‖�⎯⎯⎯� 0 ∀ ≠ 0 ⇒ = .⇒‖‖→0‖ ‖∎Теорема.

Если F дифференцируема в т. a, то F непрерывна в т. a, т.е. надопоказать lim () = (); lim � ( ) − ()� = 0→Доказательство.→lim ‖ () − ()‖ = lim ‖ () − () − ( − ) + ( − )‖→→≤ lim [‖ ( ) − () − ( − )‖] �⎯� 0 + lim ‖( − )‖ → 0 = 0→L - непрерывен ⇒ lim ( ) = ()→→→Билет 3. Теорема о дифференциале суперпозиции.: → , (); : → , ( ); ∆ ⊂ Ω() = � ( )� ⇒ ∆ = Ω∃ () = , = () ∈ ,∃ () = ∃() = ⋅ {суперпозиция линейных отображений – линейноеотображение, действует из в }Доказательство.По определению () − () = ( − ) + (‖ − ‖)Т.к.(‖−‖)�⎯⎯⎯⎯⎯� 0‖−‖ ‖−‖→0�⎯� 0→(‖−‖)‖−‖⇒ (‖ − ‖) = �= φ(x)� ⋅ ‖ − ‖; ( )∎(1) ⇒ () − () = ( − ) + () ⋅ ‖ − ‖, доопределяем : () =0 ⇒ – непрерывное отображение.(2) аналогично: () − () = ( − ) + () ⋅ ‖ − ‖ {()�⎯� 0; доопределяем () = 0 ⇒ − непрерывное отображение}→() − () = ( − ) + (‖ − ‖) ( ) − () = � ()� − � ()� = () − () { = ( ), = ()}= ( − ) + () ⋅ ‖ − ‖ =(2) � ( ) − ()� + � ( )�⋅ ‖ () − ()‖ =(1) (( − ) + ()‖ − ‖)+ � ( )�‖ () − ()‖( −���( )�‖ − ‖ + ( ())‖ ( ) − ()‖= �������)� + ������������������������������(∘)(−)(∗)Осталось показать, что (∗) = (‖ − ‖)�()�‖ − ‖= �( )� �⎯� �lim ()� = (0) = 0→→‖ − ‖‖ ( ) − ()‖=‖ − ‖�( − ) + ()‖ − ‖� нер.

⊿≤‖ − ‖‖‖ ⋅ ‖( − )‖‖( − )‖{≤= ‖‖} + ‖( )‖ �⎯� 0{⇒ огр. в нек. окр. }−‖ − ‖‖ − ‖≤ − нек. (в нек. окр. т. )� ( )�‖ ( ) − ()‖≤ � ( )� ⋅ �⎯� {т. к. − непр. } () ⋅ = 0→‖ − ‖ − дифференцируема ⇒ − непрерывна ⇒ ( ) �⎯� →Следовательно, (∗) = (‖ − ‖) ⇒ ( ) − () = ( ∘ )( − ) +(‖ − ‖) ⇒ () = ⋅ ∎Замечание. -линейное отображение, () = ⋅ , где A – его матрица в некоторомбазисе.

Аналогично для , () = ⋅ . Тогда A и B – производные в т.a(если базисы стандартные), т.е. ′ () = и ′ () = ()(ℎ) = (ℎ) = ⋅ ℎ = ′ () ⋅ ℎ ()() = () = ⋅ = ′ () ⋅ По теореме () = ∘ , ′ () = ′ () ⋅ ′()Если ( ) = ∀ { − постоянное отображение} ⇒ ( ) = 0Линейное : → , ∈ , () =? ; ( + ℎ) − () =( + ℎ − ) = (ℎ) + 0 ⇒Если L-линейно, то () = ∀ ∈ Билет 4. Теорема. ( ) = �1 (), … , ( )�1 ( ) … (),: → ,∃ () ⇔ ∀ ≤ ∃ , причём ()(ℎ) = (1 ()(ℎ), … , ()(ℎ))Доказательство.⇒ ∃ ()Введём оператор проектирования : → 1, т. ч. �⋮ �= −линейное отображение ⇒ ∃ () = ∀, () = [ ( )]По теореме о дифференциале суперпозиции ∃ () = � ()� ⋅ () = [ ()] ()(ℎ) = [ ()(ℎ)] ∀ℎ; ()(ℎ) = �1 ()(ℎ), … , ()(ℎ)� ∀ℎ⇐ ∀ ∃ () ( + ℎ) − () = ()(ℎ) + (‖ℎ‖)1 ( + ℎ) − 1 ()� ( + ℎ) − () = �⋮ ( + ℎ) − ()=1 ()(ℎ)��⋮ ()(ℎ)���������(ℎ)−лин.отобр.,т.к.

∀ ()−лин.отобр.= (ℎ) + (‖ℎ‖)lim→0: → ,�+ �−()=1 (‖ℎ‖)+��⋮(‖ℎ�‖)��������(‖ℎ‖)�1 , … , −1 , + , +1 , … , � = ( + )() – частная производная по j-ой координате.Билет 5. Теорема о связи частной производной и дифференциала.: → , ⊂ , ∈ 0(), (ℎ) = ∑=1() ⋅ ℎ∃() = . Тогда ∀ = 1 … ∃∎Доказательство. () = 1 1 + ⋯ + ( + ℎ) − () (ℎ) + (‖ℎ‖)=; ℎ = ̅ (ℎ) �̅ ��== � � = ��� ��( + ℎ) − ()() = +() = �⎯��⎯� 0 ⇒→0 →0� �{= 1}⇒ (ℎ) = �=1() ⋅ ℎБилет 6. Обратная теорема с дополнениями.: → , ⊆ , ∈ 0Для нек. > 0 ∀ ∈ () ∃() и непр.

в т. a ∀ = 1 … . Тогда∃()∎Доказательство.Проверим, что ∑=1что() ⋅ ℎ является дифференциалом, т.е. проверим,(∗) ( + ℎ) − () − �() ⋅ ℎ = (‖ℎ‖)=1(∗) = �1 + ℎ1 , … , + ℎ � − �1 , 2 + ℎ2 , … , + ℎ �+ �1 , 2 + ℎ2 , … , + ℎ � − �1 , 2 , 3 + ℎ3 , … , + ℎ �+ ⋯ + �1 , … , −1 , + ℎ � − �1 , … , � −() ⋅ ℎ =−�=1Используем формулу Лагранжа: ( )= (, 2 + ℎ2 , … , + ℎ ), (1 + ℎ1 ) − (1 )= ′ (Θ1 ) ⋅ ℎ1 , где Θ1 ∈ (1 , 1 + ℎ)()(1 , Θ2 , … , + ℎ ) ⋅ ℎ2 + ⋯Θ1 , 2 + ℎ2 , … , + ℎ ⋅ ℎ1 +=12( , … , −1 , Θ ) ⋅ ℎ − �() ⋅ ℎ+ 1=1(∗)1()(1 , … , )� ⋅ ℎ1Θ1 , 2 + ℎ2 , … , + ℎ −=��‖ℎ‖ ‖ℎ‖ 11()(1 , … , )� ⋅ ℎ21 , Θ2 , … , + ℎ −+�22(1 , … , −1 , Θ ) −(1 , … , )� ⋅ ℎ �+�|ℎ1 ||ℎ ||ℎ1 |1⋅ |[… ]| ≤ �|[… ]| ⋅+ ⋯ + |[… ]| ⋅� , но< 1, т.

е.≤‖ℎ‖‖ℎ‖‖ℎ ‖‖ℎ‖т. к.непр. в нек. окр. т. ≤ �[… ] �⎯� 0 + ⋯ + [… ] �⎯� 0� ,ℎ→0ℎ→0∎Билет 7. Замечаниеℎ ↔ ∆ ↔ ; ℎ ↔ ∆ ↔ . Тогда ()() = ∑=1Для отображений:1. ( ) = �1 ( ) … ( )� , : → ∃ () ⇔ ∃ () ∀ = 1 … .()1()ℎ1 ()(ℎ)⎛⎞ ()(ℎ) = ��=⎜⋮⋮⎟ ()(ℎ)∑=1 ()ℎ⎝⎠11() ⋯()⎛ 1⎞ ℎ1′( )=⎜ ⋮⋅ℎ⋱⋮ ⎟⋅� ⋮ �=���матрица Якобиℎ() ⋯()1⎝⎠�����������������матрица Якоби∑=1 ()(ℎ) = ′ () ⋅ ℎ, () =обзн. () ⋅ = ′ () ⋅ , = (1 … )2. : → , (1 … ); : → , (1 … ); = ∘ : → , (ℎ1 … ℎ ) { ∘ = ( ())}()� ∘ () () = ( ��Т.к.

; (⇒ ) дифференцируемы, то ∃ ′ (), ′ (), ′ () ⇒ ′ () = ′ () ⋅ ′ () ⇒ℎ() = �()()�=1Если : → , т. е. : →∑=1�1 ( ), … , ()� ⋅агрументы ℎ() ⇒()=()−(0 )→0 ‖−0 ‖Билет 8. : → , lim−производная по направлению ̅ в т. 0(0 + ̅ ) − (0 )|̅ | = 1, > 0, = 0 + ̅, lim→0 ‖�‖1Функция может иметь производную по направлению, но может быть(приэтом) непрерывной или дифференцируемой.Пример. : → – дифференцируема в т. a ( + ℎ) − () = ()(ℎ) + (‖ℎ‖),ℎ → ℎ(‖ℎ‖)‖ℎ‖ ( + ℎ) − ()= ()(ℎ) +→0‖‖ ℎ(+ℎ)−()lim= ()(ℎ) – производная f по вектору h.→0Если ‖ℎ‖ = 1, то получаем производную по направлению.() ⋅ ℎ =()(ℎ) = �=1() ()�…������������1градиент в т.,обозн.

(),∇()⋅ℎ( (), ℎ) = | ()| ⋅ ‖ℎ‖ ⋅ cos Пусть ‖ℎ‖ = 1, тогда () ⋅ ℎ = | ()| ⋅ cos – проекцияградиента на напр. вектор h∇�∇,� = ‖∇‖‖∇ ‖Функция наиболее растёт в направлении градиента. Её скорость = ‖∇‖Надо показать, что ∇ не зависит от декартовой с.к.Билет 9. Частные производные высших порядков.()(): → , − непрерывна в ⇒ ∃∀ ∈ ().Пусть ( ) =2 ()() – непрерывна в т. a; ∃()=�( )� () =() называется непрерывно-дифференцируемой в т.a, если существуютвсе частные производные в т. a и они непрерывны.()(ℎ) = �=1()(ℎ ) ≠ ⇒ смешанная производная; = ⇒ производная 2 − го порядка по Рассмотрим2 ( ) = 2 ()Если она дифференцируема в т.a и определена в окрестности т.a, топродифференцируем её в т.a.

2 ( )() =�� () 2и т.д. до любого порядка.Но для дифференцируемости определённого порядка необходимо,чтобы все предыдущие производные существовали в некоторойокрестности т.a. 1 …() – n-ая производная функции f в т.a.Билет 10. Достаточное условие равенства смешанных производных.Теорема.

f: Rn → ; (, ), , – существуют и непрерывны, ∀(, ) ∈ (, ).Пусть2 иТогда2 2 – существуют ∀(, ) ∈ (, ) и непрерывны в т. (a,b)(, ) =2 (, )Доказательство. (ℎ, ) = ( + ℎ, + ) − (, + ) − ( + ℎ, ) + (, ), причём hи k достаточно малы, чтобы не выйти из (, ): √ℎ2 + 2 < 1) Рассмотрим ( ) = (, + ) − (, ), ∈ [, + ℎ] ⇒ (ℎ, ) =по формуле Лагранжа ( + ℎ) − () = ′( + Θ1 ℎ) ⋅ ℎ, Θ1 <1 ⇒ (ℎ, ) = �′ ( + Θ1 ℎ, + ) − ′ ( + Θ1 ℎ, )� ⋅ ℎРассмотрим () = ′ ( + Θ1 ℎ, ), ∈ [, + ]. (ℎ, ) = ( + ) − () =по формуле Лагранжа ′ ( + Θ2 ) ⋅ ⇒ (∗) (ℎ, ) =� ( + Θ1 ℎ, + Θ2 )� ⋅ ℎ ⋅ , Θ1 , Θ2 ∈ (0,1) 2) Аналогично рассмотрим () = ( + ℎ, ) − (, ), ∈ [, + ] (ℎ, ) = ( + ) − () = ′ ( + Θ3 ) ⋅ = �′ ( + ℎ, + Θ3 ) − ′ (, + Θ3 )� ⋅ () = ′ (, + Θ3 ), ∈ [, + ℎ] (ℎ, ) = ( + ℎ) − () = ′ ( + Θ4 ℎ) ⋅ ℎ ⇒ (∗∗) (ℎ, ) =� ( + Θ4 ℎ, + Θ3 )� ⋅ ℎ ⋅ , Θ3 , Θ4 ∈ (0,1) 3) (∗) = (∗∗), ℎ ⋅ сократится.Перейдём к пределу ℎ → 0, → 0.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов вопросов/заданий